Разработка методики обучения интегрального исчисления функции двух переменных
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
переходе в двойном неравенстве
2. Пусть некоторая точка с имеет значение .
3. Разделим двойное неравенство пункта 1 на Р. Получим
4. С учетом пункта 2 из того, что следует, что и
[1].
Теорема 2. Если функция двух переменных непрерывна на замкнутой области (P), то существует такая точка , что будет выполняться:
Доказательство. Так как область (P) замкнута, то по теореме Вейерштрасса существуют наибольшее и наименьшее значения функции в области (P).
Пусть М - наибольшее значение функции , m - наименьшее значение функции в области (P).
Из теоремы 1 следует, что
Тогда по теореме Больцано-Коши непрерывная функция проходит через все промежуточные значения.
Значит, в области (P) существует точка такая, что .
Поэтому в соответствии с теоремой 1 получаем:
[1].
2.2 Вычисление двойного интеграла
Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием в случае прямоугольной области
Сначала рассмотрим двойной интеграл по некоторому прямоугольнику со сторонами, параллельными осям координат [1].
Теорема. Если для функции , определенной в прямоугольнике , существует двойной интеграл
и при каждом постоянном значении из существует определенный интеграл
,
то существует также повторный интеграл
,
и выполняется равенство
.
Доказательство. Изобразим область (рис. 17).
Разобьем отрезки и соответственно на и частичных отрезков
,
.
Тогда область разобьется на nk частичных прямоугольников.
Частичный прямоугольник определяется так:
.
Пусть
Обозначим через точную нижнюю и точную верхнюю грани функции в частичном прямоугольнике .
Тогда в каждом частичном прямоугольнике будет выполняться неравенство:
.
Выберем произвольно точку .
Проинтегрируем по y на частичном отрезке неравенство
.
Получим: , что равносильно
Суммируя последнее неравенство по всем , получим:
.
Так как по условию теоремы существует определенный интеграл
, то (2)
Пусть ?>0 (где ?-наибольший диаметр частичного прямоугольника ), тогда .
Крайние члены двойного неравенства (2) представляют собой верхнюю и нижнюю суммы Дарбу, а значит, они стремятся к двойному интегралу.
Таким образом, должен существовать предел от средней части двойного неравенства и он равен следующему двойному интегралу:
или .
Но по условию теоремы
[1].
Замечание. Если переменную х поменять на у в рассмотренной теореме, то будет доказано существование повторного интеграла
и справедливость формулы [1].
Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием в случае криволинейной области
Теорема. Если для функции , определенной в области , ограниченной снизу и сверху двумя непрерывными кривыми:
,
а с боков - двумя ординатами: и , существует двойной интеграл
и при каждом постоянном значении из существует определенный интеграл
,
то существует также повторный интеграл
и выполняется равенство
[1].
Доказательство. Изобразим область (рис. 18).
Пусть .
Заключим область в прямоугольник , где
.
Введем вспомогательную функцию
Функция удовлетворяет всем условиям предыдущей теоремы:
) интегрируема в области , так как
) интегрируема в области , так как =0.
На основании одного из свойств двойного интеграла:, и условия, что функция интегрируема на области , получаем:
.
По условию теоремы для всех существует определенный интеграл , так как существует каждый из трех определенных интегралов справа.
Действительно, на отрезках и областей вне области значение функции равно нулю.
Следовательно, первый и третий интегралы существуют и равны нулю, а второй интеграл существует по условию теоремы, так как в области . Следовательно, .
Таким образом, для функции выполняются все условия предыдущей теоремы.
Значит, и двойной интеграл от функции -может быть сведен к повторному: .
Замечание. Если в данной теореме поменять ролями переменные х и у, то теорема будет утверждать существование следующего повторного интеграла:
[1].
2.3 Замена переменных в двойном интеграле
Преобразование областей при регулярных отображениях
Этот раздел посвящен задаче преобразования двойного интеграла
с помощью замены переменных вида .
Окажется, что и удобно рассматривать как компоненты отображения некоторого открытого подмножества плоскости с координатами в координатную плоскость с координатами [33].
Если - некоторая замкнутая область, то будем обозначать - ее границу, - область вместе с границей, то есть .
Рассмотрим две плоскости и в них исследуем две замкнутые области и . Каждая из этих областей может быть и неограниченной, в частности может охватывать и всю плоскость. Контур или границу области (если область не охватывает всей области) будем предполагать кусочно-гладкой кривой.
Пусть и соответственно - границы указанных областей.
Допустим, что в области дана система непреры