Разработка методики обучения интегрального исчисления функции двух переменных
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
(рис. 22); легко видеть, что на плоскости ему отвечает замкнутый круг, описанный вокруг начала 0 радиусом R=OA. Но весь контур этого круга отвечает одной лишь стороне упомянутого прямоугольника; сторонам и (обеим!) отвечает один и тот же радиус ОА круга; наконец, всей стороне отвечает лишь точка О. Здесь явно не соблюдены указанные в предыдущем пункте условия. (радиуса ) и отрезок ОА
Однако если сдвинуть сторону на малую величину , а сторону на , то новому прямоугольнику будет отвечать на плоскости фигура , полученная из круга удалением малого круга радиусом и сектора iентральным углом , с соблюдением уже всех требований. При перемещении точки на плоскости по отрезкам соответствующая точка на плоскости Oxy опишет по порядку неполную окружность CO (радиуса r) и отрезок ОА.
Найдем первые частные производные функций :
.
Найдем якобиан: , т.е. Якобиан сохраняет положительный знак [1].
Прямые уравнения, связывающие прямоугольную декартову систему координат с полярной системой координат, имеют вид: .
Обратные уравнения, связывающие полярную систему координат с прямоугольной декартовой системой координат, имеют вид:
[1].
Замена переменных в двойном интеграле
1. Пусть функция непрерывна в замкнутой области с кусочно-гладкой границей.
. Пусть поле осуществляет преобразование области в область , имеет кусочно-гладкую границу.
. Пусть области и являются ограниченными.
4. Так как и имеют непрерывные границы, то они измеримы, а, следовательно, имеют площадь, т.е. квадратируемы.
5. Пусть поле задано двумя функциями: . Смешанные производные непрерывны в , т.е. на выполняется равенство . При всех указанных условиях справедлива следующая формула:
.(5)
Доказательство. Изобразим области и (рис. 23).
Разобьем область сетью кусочно-гладких кривых на частичные области , , причем каждая область имеет кусочно-гладкую границу [25].
Преобразование порождает разбиение области на частичные подобласти с помощью конечного числа кусочно-гладких кривых [25].
Между областями и существует простая связь:
а) они имеют кусочно-гладкие границы, следовательно, границы непрерывны и области измеримы;
б) частичные области имеют площади, т.е. они квадратируемы и
[25].
Это равенство будет получено при рассмотрении криволинейного интеграла и доказано. Площадь криволинейного частичного прямоугольника равна площади прямоугольника, умноженной на якобиан.
При исследовании определенного интеграла составляли интегральную сумму. Составим и в данном случае сумму вида
.(6)
Так как точка выбрана произвольно в области , то можно принять, что .
При таком условии правая часть интегральной суммы примет вид:
.
Если меру площади устремить к 0, то в пределе получим двойной интеграл по области :. Переходя к пределу в левой части выражения (6) при , получим двойной интеграл [25].
Значит, справедливость формулы (5) доказана. Существует предел от левой и правой частей интегральной суммы, так как функция непрерывна по области и непрерывным является каждый из сомножителей и в .
Замечание. Устремление меры площади к 0 приводит к устремлению к 0 наибольшего диаметра частичных областей, т.е. , - наибольший диаметр частичной области и , -наибольший диаметр частичной области [25].
Заключение
Результатом выпускной квалификационной работы являются разработанные методические рекомендации к проведению лекционных и практических занятий по теме Двойной интеграл, конспект фондовых лекций, обучающе-контролирующая программа.
При разработке лекционных и практических занятий соблюдались основные принципы дидактики: принцип наглядности, принцип научности, принцип систематичности и последовательности, принцип доступности, принцип связи теории с практикой.
Разработанные методики были апробированы на втором курсе факультета математики и информатики СГПИ в феврале - марте 2003-2004 учебного года. Также iелью выявления направленности учебной мотивации было проведено анкетирование, результаты которого учитывались при апробации. Результаты апробации показали, что новые образовательные технологии (в данном случае, педагогика сотрудничества и информационные технологии) целесообразно применять на занятиях по математическому анализу.
При разработке практических занятий и создании компьютерной программы учитывались психологические особенности студенческого возраста.
Материалы выпускной квалификационной работы будут полезны студентам второго курса математического факультета педагогического вуза, желающим расширить и систематизировать свои знания по теме Двойной интеграл, а также при самостоятельном изучении темы. В разработанных практических занятиях подробно рассматриваются методы решения всех основных типов задач на вычисление двойного интеграла, что позволит студентам лучше разобраться в сложных для них вопросах.
Кроме того, результаты исследования будут полезны преподавателям при подготовке и проведении лекционных занятий, поскольку содержат рекомендации к применению новейших информационных технологий; и практических занятий, так как включают в себя практические рекомендации по использованию метода сотрудничества на занятиях по математическому анализу.
Литература
1.Фихтенгольц Г.М.