Разработка методики обучения интегрального исчисления функции двух переменных
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
при определении различных геометрических и физических величин [1].
Понятие двойного интеграла
Введем понятие интегральной суммы для функции двух переменных , заданной в ограниченной области . При этом данную функцию будем иногда называть функцией точки области , отождествляя совокупность значений аргументов с той точкой, для которой эти значения служат координатами. Например, будем иногда писать вместо , если , - координаты точки [6].
Для дальнейшего потребуется понятие диаметра области.
Определение 1. Диаметром замкнутой области называется наибольшее расстояние между двумя точками контура этой области или просто наибольшая хорда области (рис. 15) [6].
Например, диаметром прямоугольника будет длина его диагонали; диаметром параллелограмма является длина его большей диагонали; диаметром эллипса служит длина его большой оси.
Пусть в квадратируемой области определена некоторая функция . Разобьем область произвольным образом сетью кривых на конечное число частей , площади которых соответственно обозначим через (рис. 16).
В каждой из частичных областей () возьмем произвольную точку и составим сумму
,
которую будем называть интегральной суммой для функции в области .
Обозначим через ? наибольший из диаметров частичных областей . Эту величину, характеризующую, насколько мелко разбита область , иногда называют рангом произведенного разбиения [5].
Определение 2. Если интегральная сумма при имеет определенный конечный предел :
,
не зависящий ни от способа разбиения области , ни от выбора точек в частичных областях, то этот предел называется двойным интегралом функции по области и обозначается символом
или ,
функция же в этом случае называется интегрируемой в области .
Символ называют элементом площади. Иногда, говоря об элементе площади в прямоугольных координатах, . Такое представление напоминает выражение площади частичной области, если разбиение фигуры осуществить прямыми, параллельными координатным осям, и записать площадь маленького прямоугольника в виде произведения [5].
Определение 3. Интегральная сумма ? стремится к пределу I:
,
если каждому отвечает такое , что для любого разбиения области (P) на конечное число частей (Pi) лишь бы и при любом выборе точек имеет место неравенство [5].
Замечание. Если положить всюду в области , то получим выражение площади области в виде двойного интеграла:
.
Действительно, непосредственно из определения интеграла следует, что
.
Необходимое условие интегрируемости функции двух переменных
Теорема. Если функция интегрируема в области , то она ограничена в [5].
Доказательство. Если бы была не ограничена в области , то при любом разбиении области на части она была бы неограниченна хотя бы в одной из ее частей.
Тогда за счет произвольного выбора точки в этой части можно сделать значение функции , а с ним и интегральную сумму по абсолютной величине сколь угодно большой.
В этом случае интегральная сумма , очевидно, не будет иметь конечного предела и, следовательно, функция не будет интегрируема.
Замечание. 1. Обратное утверждение неверно, т.е. не всякая ограниченная функция интегрируема.
2. Это лишь необходимое, но не достаточное условие.
3. В дальнейшем будем всегда считать ограниченной в , т.е.
[5].
Суммы Дарбу
Как и в одномерном случае при изучении двойных интегралов существенную роль играют так называемые верхняя и нижняя суммы Дарбу
где через , обозначены соответственно точная нижняя и верхняя границы функции в i-й области .
Легко видеть, что суммы Дарбу являются более простыми суммами по сравнению с интегральными суммами, они однозначно определяются выбранным разбиением области на части; этого нельзя сказать об интегральных суммах. Для непрерывной функции, как легко заметить, суммы Дарбу при заданном способе разбиения области являются просто наименьшей и наибольшей из интегральных сумм [5].
Для данного способа разбиения области на части независимо от выбора точек будем иметь двойное неравенство:, которое сразу вытекает из очевидных неравенств , если члены обоих этих неравенств умножить на и просуммировать по i [5].
Свойства сумм Дарбу
10. При дальнейшем дроблении частей области с добавлением к старым линиям деления новых нижняя сумма Дарбу не убывает, верхняя не возрастает [1].
Доказательство. Для доказательства этого свойства достаточно ограничиться присоединением к уже имеющимся линиям деления еще одной линии деления.
Пусть эта линия разбивает частичную область на части и .
Если через обозначить новую верхнюю сумму, то от прежней она будет отличаться только тем, что в сумме частичной области отвечало слагаемое а в новой сумме этой частичной области отвечает сумма двух слагаемых
где и суть точные верхние границы функции f (x, y) в областях и . Так как эти частичные области являются частями области , то
так что
Складывая эти неравенства почленно, получим: Отсюда и следует, что Для нижней суммы Дарбу доказательство проводится аналогично.
0. Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждой верхней суммы Дарбу, даже если они соответствуют разным разбиениям области . [1].
Доказательство. Разобьем обл