Разработка методики обучения интегрального исчисления функции двух переменных
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
асть произвольным образом на части и составим для этого разбиения суммы Дарбу и .
Рассмотрим теперь некоторое другое, никак не связанное с первым, разбиение области на частичные области. Ему также будут отвечать его суммы Дарбу и .
Требуется доказать, что . С этой целью объединим те и другие точки деления; тогда получим некоторое третье, вспомогательное, разбиение, которому будут отвечать суммы и .
Третье разбиение получено из первого добавление новых линий деления; поэтому, на основании доказанного первого свойства сумм Дарбу, имеем
Сопоставив теперь второе и третье разбиения, точно так же заключаем, что .
Но , так что из только что полученных неравенств вытекает , ч. т.д.
Остается справедливым для функции двух переменных следующее неравенство:
, где [1].
Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции двух переменных
Теорема. Для существования двойного интеграла необходимо и достаточно, чтобы было или в других обозначениях , где есть колебание функции в частичной области [5].
Доказательство необходимости. Предположим, что существует двойной интеграл от функции f (x, y). Тогда по любому заданному найдется такое , что лишь только все диаметры частичных областей станут меньше , тотчас будет выполняться
или
при любом разбиении области на частичные подобласти и произвольном выборе точек в частичных областях . Но суммы s и S при заданном разбиении области , являются, как было установлено ранее, для интегральных сумм, соответственно, точными нижней и верхней гранями; поэтому для них будут иметь место неравенства
так что
откуда и следует, что [5].
Доказательство достаточности. Предположим, что выполняется условие Тогда из неравенства сразу ясно, что и, если обозначить их общее значение через I, то выполняется неравенство
Пусть теперь - одно из значений интегральной суммы, отвечающей тому же разбиению области (P), что и суммы s и S, тогда, как известно,
Согласно условию , если предположить все достаточно малыми, суммы s и S разнятся меньше, чем на произвольно взятое . Но в таком случае это справедливо и относительно заключенных между ними чисел и : , так что является пределом для , т.е. двойным интегралом [1]. ч. т.д.
Интегрируемость непрерывной функции
Теорема. Всякая непрерывная в области функция интегрируема [1].
Доказательство. Действительно, если функция непрерывна в (замкнутой) области , то по свойству равномерной непрерывности каждому отвечает такое , что в любой части области с диаметром, меньшим чем , колебание функции будет меньше чем . Пусть теперь область разложена на части , диаметры которых все меньше . Тогда все колебания и
,
откуда и следует выполнение необходимого и достаточного условия интегрируемости функции двух переменных. Этим интегрируемость функции доказана [1].
Основные свойства двойного интеграла
10. Если область , в которой задана непрерывная функция , непрерывной кривой разложена на две области и , то из интегрируемости функции во всей области следует ее интегрируемость в частичных областях и , и обратно - из интегрируемости функции в обеих областях и вытекает интегрируемость в области . При этом
.(1)
Доказательство. Разобьем области и на части. Это разбиение порождает разложение всей области на части, причем
(1*)
Так как непрерывна на , то она интегрируема на , и следовательно, существует предел от левой части выражения (1*), следовательно, будут существовать и пределы каждой части справа.
Перейдем к пределу при в выражении (1*) и получим формулу (1) [1].
0. Если умножить интегрируемую в области функцию на постоянную , то полученная функция также будет интегрируема в (Р), и при этом
Доказательство. Если перейти к пределу при в верном равенстве
, то получим нужную формулу [1].
0. Если в области интегрируемы функции и , то интегрируема и функция , причем
.
Доказательство. Свойство доказывается при предельном переходе при в верном равенстве
[1].
40. Если для интегрируемых в области функций и выполняется неравенство , то
Доказательство. Доказательство основано на предельном переходе при в верном неравенстве [1].
0. В случае интегрируемости функции в области (Р) интегрируема и функция , и имеет место неравенство
.
Доказательство. Пусть S' и s' верхняя и нижняя суммы Дарбу на области (Р) для функции |f (x, y)|, а S и s - верхняя и нижняя суммы Дарбу для функции f (x, y).
Составим разность S'-s' для функции |f (x, y)|:
,
так как .
При ?>0 разность S-s стремится к нулю, так как функция f (x, y) интегрируема на (Р) по условию, а, значит, и S'-s' стремится к нулю при ?>0 подавно.
Так как S'-s' стремится к нулю при ?>0, то функция |f (x, y)| интегрируема на (Р).
При ?>0 в очевидном неравенстве переходим к пределу и получаем формулу свойства [1].
Теорема о среднем значении
Теорема 1. Если функция интегрируема в замкнутой области (P) и выполняется неравенство , то:
. Справедливо неравенство , где m, M - наименьшее и наибольшее значения функции в области (P), а P площадь области (P).
. Существует такая точка с из отрезка , что выполняется:
Доказательство. 1. Первое утверждение теоремы получается при предельном