Общая теория линий второго порядка

Вид материала

Документы

Содержание Линии гиперболического типа и их канонические уравнения Линии параболического типа и их канонические уравнения Центр линии второго порядка Касательные к линии второго порядка Асимптотические направления. асимптоты. Домашнее задание Диаметры линии второго порядка. Сопряженные направления Геометрический смысл Домашнее задание Главные направления. главные диаметры. Вопросы для проведения отчёта (зачёта) Контрольная работа по теории линий второго порядка

Подобный материал:

• Дифференциальные эллиптические уравнения второго порядка. Слабое решение. Обобщенное, 106.04kb.
• Календарный план лекций по курсу «методы математической физики» Число недель, 26.17kb.
• Б. Д. Плющенков 1/2 года I. Общая теория дифференциального уравнения (нелинейного), 16.96kb.
• § 23. Центр линии второго порядка, 35.02kb.
• Векторы. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов. Векторное, 8.22kb.
• Решение дифференциального уравнения первого и второго порядка методом Рунге-Кутта 4-го, 55.71kb.
• Лекция №5 «Боровская теория водородоподобного атома», 181.56kb.
• Программа Курса «Высшая математика» для специальности 033300 Безопасность жизнедеятельности, 53.79kb.
• Метод прогонки решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения, 49.69kb.
• Институт философии ра н постоянный семинар исследовательской группы по прикладной философии, 303.41kb.

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА


Определение. Линией второго порядка называется множество всех точек плоскости, координаты которых в некоторой аффинной системе координат удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени

_ (1).

Пусть _ - линия второго порядка, заданная уравнением (1).

С каждым уравнением вида (1) связано число _, которое называется определителем линии _. Различают 3 типа линий второго порядка: если _{ } - линия эллиптического типа,

если _ - линия гиперболического типа,

если _{ } - линия параболического типа.

В свою очередь, каждый тип включает в себя несколько видов линий второго порядка (сопроводить примеры рисунками).


Линии эллиптического типа и их канонические уравнения:

Эллипс: _

Мнимый эллипс: _

Пара мнимых прямых, пересекающихся в вещественной точке:

_


^ Линии гиперболического типа и их канонические уравнения:

Гипербола с вещественной осью Ох: _

Пара пересекающихся прямых:_


^ Линии параболического типа и их канонические уравнения:

Парабола с осью Ох: _

Пара параллельных прямых:_

Пара мнимых параллельных прямых:_

Пара совпавших прямых:_0.

РЕКОМЕНДАЦИИ: 1. Полезно заготовить таблицу на развороте тетради со следующими столбцами: 1) тип и_; 2) каноническое уравнение; 3) название; 4) каноническая картинка в ПДСК; 5) центры; 6) асимптотические направления (асимптоты); 7) диаметры, сопряженные диаметры; 8) главные направления и главные диаметры (можно разбить на два столбца).

Таблица заполняется по мере изучения материала рисунками и небольшими комментариями.

2) Хороший результат даёт следующий приём: задавать студентам на дом изготовление шпаргалок по каждой теме: название объекта (например, ЦЕНТР ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА), аналитическое задание изучаемого объекта, если надо – рисунок.

Я разрешаю подсматривать в свои шпаргалки даже на контрольной работе. Но, как правило, к контрольной работе они уже не нужны…


^ ЦЕНТР ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Определение. Точка С называется центром линии _ второго порядка, если она является центром симметрии этой линии. Это означает, что для каждой точки М, принадлежащей линии _, симметричная ей относительно С точка также принадлежит линии _.

Теорема. Пусть _ - линия второго порядка, заданная уравнением (1).
Точка С(_) – центр линии _ тогда и только тогда, когда её

координаты удовлетворяют системе

_ (2)_

где _

Если система (2) имеет единственное решение, то есть линия _ имеет единственный центр, линия _ называется центральной.

В остальных случаях (если система (2) не имеет решений (то есть линия _ не имеет центров), или имеет бесконечно много решений (то есть линия _ имеет бесконечное множество центров)), линия _ называется нецентральной.

Если каждое уравнение системы (2) рассматривать как уравнение прямой на плоскости, то становится очевидным (если забыли известные факты алгебры), что:

система (2) имеет единственное решение _прямые пересекаются в одной точке) _{ } следовательно, центральными являются линии эллиптического и гиперболического типа;

система (2) не имеет решения _ прямые параллельны) _{ };

система (2) имеет бесконечно много решений _ прямые совпадают) _{ } .

Для двух последних случаев _=0, следовательно, нецентральными являются линии параболического типа.

Точка, принадлежащая линии_ второго порядка, называется особой точкой линии_, если она является центром этой линии. В противном случае точка называется обыкновенной.

Рассмотрите рисунки линий второго порядка и выясните, какие линии имеют особые точки.


ЗАДАЧИ.

1. Найдите центр для каждой из линий. Выясните вид каждой линии.

а) _ 3_

Решение. Чтобы не делать «обидных» ошибок, подпишите под каждым коэффициентом в уравнении _ его обозначение: _, _, и т.д.



_

Следите за знаками и не забывайте про «двойки». В данной задаче

_=1, _=_, _=1, _, _, _ .

Обязательно вычисляйте определитель _ так как выяснение типа влечёт за собой, как мы узнаем, много информации:

_{ } – гиперболического типа _ существует единственный центр. Найдём центр, для этого составим систему вида (2):



Решая систему, находим единственное решение С(3, -2).

Чтобы определить вид линии, выясним, принадлежит ли центр С этой линии. Для этого подставим найденные координаты в уравнение линии _.

Вычисляя, получаем, что координаты не удовлетворяют уравнению линии, то есть С не принадлежит ей. Значит, данная линия – гипербола.


б) _{ }

Решение. _1_{ } - параболического типа _ либо не существует центра, либо существует бесконечно много центров.

Составим систему вида (2):



или
_.

Очевидно, существует бесконечно много решений, все они описываются уравнением _. Это означает, что существует прямая центров с уравнением _.

Выясним вид линии. Для этого найдём один из центров, например С(0,0), и выясним, принадлежит ли он линии _{ }. Подставляем координаты точки С в это уравнение и определяем, что С не принадлежит линии _. Значит, данная линия второго порядка представляет собой пару параллельных прямых. Мнимых или вещественных? Для ответа на этот вопрос попробуем найти вещественную точку, принадлежащую этой линии.

В данном случае это несложно сделать подбором: А_. Итак, окончательно получаем, что данная линия – пара вещественных параллельных прямых.

Подумайте, как быть, если не удаётся подобрать вещественную точку, принадлежащую линии.


2. _{ }. При каких _ и _:

а) _ - центральная линия;

б) _ имеет прямую центров;

в) _ не имеет центров.

Решение: а) _ - центральная линия _{   }9.

б) _ имеет прямую центров _{ }0 и <sub> 

</sub>=9 и _{ }=9 и b=9.

в) _ не имеет центров _{ }0 и _{ }=9 и b_9.


3. Как выглядит общее уравнение линии второго порядка, если ось Ох является прямой её центров?

Решение. Пусть _.

Так как существует прямая центров, то _=0.

Любая точка М(х, 0) является центром, поэтому

_ .

Точка О(0,0) – тоже центр, значит _{ }. Но тогда

_.

Так как _ - линия второго порядка, то _

Окончательно получаем уравнение линии _{ }.


4. Составьте уравнение линии второго порядка, проходящей через точки О(0, 0), А(0, 1), В(1, 0), если она симметрична относительно С(2, 3).

Решение. Пусть _.

О_

А_{ }+ _

В_{ }

С – центр _ 2_+_

2_ + 3_ + _{ }.

Будем решать систему из пяти уравнений, в которой шесть неизвестных.

Пусть _=0. Тогда из этих уравнений получаем, что и _ = _=0.

Но тогда _ - не линия второго порядка. Значит, _0. Удобно (в данном случае) считать _= 2. Решаем систему и находим уравнение <sub>

</sub>.