Общая теория линий второго порядка
Вид материала | Документы |
СодержаниеКасательные к линии второго порядка Асимптотические направления. асимптоты. Домашнее задание Диаметры линии второго порядка. Сопряженные направления Геометрический смысл Домашнее задание |
- Дифференциальные эллиптические уравнения второго порядка. Слабое решение. Обобщенное, 106.04kb.
- Календарный план лекций по курсу «методы математической физики» Число недель, 26.17kb.
- Б. Д. Плющенков 1/2 года I. Общая теория дифференциального уравнения (нелинейного), 16.96kb.
- § 23. Центр линии второго порядка, 35.02kb.
- Векторы. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов. Векторное, 8.22kb.
- Решение дифференциального уравнения первого и второго порядка методом Рунге-Кутта 4-го, 55.71kb.
- Лекция №5 «Боровская теория водородоподобного атома», 181.56kb.
- Программа Курса «Высшая математика» для специальности 033300 Безопасность жизнедеятельности, 53.79kb.
- Метод прогонки решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения, 49.69kb.
- Институт философии ра н постоянный семинар исследовательской группы по прикладной философии, 303.41kb.
^ КАСАТЕЛЬНЫЕ К ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Напомним: точка, принадлежащая линии


Обсудить:
1. Назовите линии второго порядка, которые а) не имеют особых точек; б) имеют только одну особую точку; в) имеют более одной особой точки.
2. Как, зная уравнение линии второго порядка, найти координаты особой точки?
Определение. Касательной к линии



Обсудить:
Почему касательная определяется только в обыкновенной точке?
Ответ: Что считать касательной в точке, являющейся пересечением двух прямых? Нет однозначности, таких «касательных» будет бесконечно много.
Теорема. В каждой обыкновенной точке





ЗАДАЧИ.
5.


Указание. Запишите уравнение касательной в общем виде, а затем используйте два факта: 1) касательная проходит через точку N;
2) точка касания принадлежит линии

Получим квадратное уравнение, решив которое находим одну из координат (например,


Домашнее задание. [1] Атанасян Л.С., Атанасян. Сборник задач по геометрии. Часть 1. №927\а, 928, 914.
Шпаргалки (Линия второго порядка: уравнение, определитель, типы; Центр линии второго порядка: система для нахождения, количество по типам; Касательная).
^ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ. АСИМПТОТЫ.
Дана аффинная система координат

Определение. Направление, определяемое ненулевым вектором




? Сколько общих точек может быть у линии второго порядка и прямой асимптотического направления относительно этой линии?
В общей теории линий второго порядка доказывается, что если






(общий критерий асимптотического направления).
Для линий

если

если

если

Полезной оказывается следующая лемма (критерий асимптотического направления линии параболического типа).
Лемма. Пусть

Ненулевой вектор

относительно



(Задача. Доказать лемму.)
Определение. Прямая асимптотического направления называется асимптотой линии


Теорема. Если




Заполняем таблицу.
ЗАДАЧИ.
1. Найти векторы асимптотических направлений для следующих линий второго поря

а)


Решение.





Воспользуемся критерием асимптотического направления:



Если









б)

в)

(Можно рассмотреть два способа, так как линия – параболического типа.)
2. Выясните, имеют ли оси координат асимптотические направления относительно линий второго порядка:
а)

б)

в)

3. Напишите общее уравнение линии второго порядка, для которой
а) ось абсцисс имеет асимптотическое направление;
б) Обе оси координат имеют асимптотические направления;
в) оси координат имеют асимптотические направления и О – центр линии.
4. Напишите уравнения асимптот для линий:
а)

б)

5. Докажите, что если линия второго порядка имеет две непараллельные асимптоты, то их точка пересечения является центром данной линии.
Указание: Так как есть две непараллельные асимптоты, то существует два асимптотических направления, тогда

Запишите уравнения асимптот в общем виде и систему для нахождения центра. Всё очевидно.
6.(№920) Напишите уравнение гиперболы, проходящей через точку А(0, -5) и имеющей асимптоты х – 1 = 0 и 2х – y + 1 = 0.
Указание. Воспользуйтесь утверждением предыдущей задачи.
^ Домашнее задание. [1], №915(в,д,е), №916 (в,г,д), №920 (если не успели);
Шпаргалки;
Силаев, Тимошенко. Практические задания по геометрии,
1 семестр. С.67, вопросы 1-8, с.70, вопросы 1-3 (устно).
^ ДИАМЕТРЫ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
СОПРЯЖЕННЫЕ ДИАМЕТРЫ.
Дана аффинная система координат

Определение. Диаметром линии





На лекции доказано, что диаметр – это прямая и получено её уравнение

или

Рекомендации: Показать (на эллипсе), как строится (задаём не асимптотическое направление; проводим [две] прямые этого направления, пересекающие линию; находим середины отсекаемых хорд; проводим через середины прямую – это и есть диаметр).
Обсудить:
1. Почему в определении диаметра берётся вектор не асимптотического направления. Если не могут ответить, то попросите построить диаметр, например, для параболы.
2. Любая ли линия второго порядка имеет хотя бы один диаметр? Почему?
3. На лекции доказано, что диаметр – это прямая. Серединой какой хорды является точка М на рисунке?








4. Посмотрите на скобки в уравнении (7). Что они напоминают?
Вывод: 1) каждый центр принадлежит каждому диаметру;
2) если существует прямая центров, то существует единственный диаметр.
5. Какое направление имеют диаметры линии параболического типа? (Асимптотическое)
Доказательство (наверно, на лекции).
Пусть диаметр d, заданный уравнением (7`) сопряжен вектору





6. Сколько диаметров у параболы? Их взаимное расположение? Сколько диаметров у остальных линий параболического типа? Почему?
7. Как построить общий диаметр некоторых пар линий второго порядка (см. вопросы 30, 31 далее).
8. Заполняем таблицу, обязательно делаем рисунки.
ЗАДАЧИ.
1.


2. Напишите уравнение диаметра d, проходящего через точку К(1,-2) для линии

Этапы решения:
1-й способ.
1. Определяем тип (чтобы знать, как ведут себя диаметры этой линии).
В данном случае линия центральная, тогда все диаметры проходят через центр С.
2. Составляем уравнение прямой, проходящей через две точки К и С. Это и есть искомый диаметр.
2-й способ.
1. Записываем уравнение диаметра d в виде (7`).
2. Подставив в это уравнение координаты точки К, находим зависимость между координатами вектора, сопряженного диаметру d.
3. Задаём этот вектор, учитывая найденную зависимость, и составляем уравнение диаметра d.
В данной задаче вычислять проще вторым способом.
3.

4. Найдите середину хорды, отсекаемой линией

на прямой x + 3y – 12 =0.
Указание к решению: Конечно, можно найти точки пересечения данных прямой и линии

Возьмём направляющий вектор данной прямой и запишем уравнение диаметра, сопряжённого этому вектору. Далее, найдём точку пересечения данной прямой и найденного диаметра.
^ СОПРЯЖЕННЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ
Определение. Пусть







Показать, как изобразить!
^ Геометрический смысл: два диаметра сопряжены, если каждый из них делит пополам хорды, параллельные другому диаметру.
Обсудить: У каждой ли линии второго порядка есть сопряжённые диаметры? Почему?
Определение. Направления ненулевых векторов





На лекции доказывается, что сопряжённые диаметры имеют сопряжённые направления.
ЗАДАЧИ.
5.(941)

Напишите уравнения двух сопряжённых диаметров линии


6.(940)

Напишите уравнения двух сопряжённых диаметров линии

Замечание. Прежде, чем приступать к вычислениям, сделайте иллюстрации к эти задачам!
Обсудить: Какому направлению сопряжено асимптотическое направление относительно а) центральной линии


Ответ: а) самому себе; б) любому направлению. (Возможно, это доказано на лекции. Если нет, можно рассмотреть в качестве задачи.)
^ Домашнее задание.
[1] №№ 923, 924, 926, 938, 939, 945.
Шпаргалки: 1) диаметры; 2) сопряженные диаметры.