Geum.ru

Общая теория линий второго порядка

Вид материалаДокументы

Содержание


Касательные к линии второго порядка
Асимптотические направления. асимптоты.
Домашнее задание
Диаметры линии второго порядка.
Сопряженные направления
Геометрический смысл
Домашнее задание
Подобный материал:
1   2   3

^ КАСАТЕЛЬНЫЕ К ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА


Напомним: точка, принадлежащая линии второго порядка, называется особой точкой линии, если она является центром этой линии. В противном случае точка называется обыкновенной.

Обсудить:

1. Назовите линии второго порядка, которые а) не имеют особых точек; б) имеют только одну особую точку; в) имеют более одной особой точки.

2. Как, зная уравнение линии второго порядка, найти координаты особой точки?

Определение. Касательной к линии  второго порядка в обыкновенной точке , называется прямая, пересекающая линию  в двух совпавших точках, либо целиком содержащаяся в ней.

Обсудить:

Почему касательная определяется только в обыкновенной точке?

Ответ: Что считать касательной в точке, являющейся пересечением двух прямых? Нет однозначности, таких «касательных» будет бесконечно много.

Теорема. В каждой обыкновенной точке  линии второго порядка существует одна и только одна касательная. Если линия  задана общим уравнением (1), то касательная в точке  имеет уравнение (3)

.


ЗАДАЧИ.


5. . Составить уравнение той касательной к линии , которая проходит через точку N(3, 4).

Указание. Запишите уравнение касательной в общем виде, а затем используйте два факта: 1) касательная проходит через точку N;

2) точка касания принадлежит линии .

Получим квадратное уравнение, решив которое находим одну из координат (например, ) точек касания. Учитывая, что точка касания принадлежит линии , находим вторые координаты.


Домашнее задание. [1] Атанасян Л.С., Атанасян. Сборник задач по геометрии. Часть 1. №927\а, 928, 914.

Шпаргалки (Линия второго порядка: уравнение, определитель, типы; Центр линии второго порядка: система для нахождения, количество по типам; Касательная).


^ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ. АСИМПТОТЫ.


Дана аффинная система координат  .

Определение. Направление, определяемое ненулевым вектором  называется асимптотическим направлением относительно линии второго порядка, если любая прямая этого направления (то есть параллельная вектору ) либо имеет с линией  не более одной общей точки, либо содержится в этой линии.

? Сколько общих точек может быть у линии второго порядка и прямой асимптотического направления относительно этой линии?

В общей теории линий второго порядка доказывается, что если

, то ненулевой вектор ( задаёт асимптотическое направление относительно линии 

  (4)

(общий критерий асимптотического направления).

Для линий второго порядка

если  , то нет асимптотических направлений,

если  то существует два асимптотических направления,

если  то существует только одно асимптотическое направление.

Полезной оказывается следующая лемма (критерий асимптотического направления линии параболического типа).

Лемма. Пусть  - линия параболического типа.

Ненулевой вектор  имеет асимптотическое направление

относительно   . (5)

(Задача. Доказать лемму.)

Определение. Прямая асимптотического направления называется асимптотой линии  второго порядка, если эта прямая либо не пересекается с, либо содержится в ней.

Теорема. Если  имеет асимптотическое направление относительно , то асимптота, параллельная вектору , определяется уравнением

. (6)


Заполняем таблицу.


ЗАДАЧИ.


1. Найти векторы асимптотических направлений для следующих линий второго порядка:

а)  .

Решение.

4   - гиперболического типа  два асимптотических направления.

Воспользуемся критерием асимптотического направления:

 имеет асимптотическое направление относительно данной линии  4.

Если =0, то =0, то есть  - нулевой. Тогда  Поделим на  Получаем квадратное уравнение: , где t = . Решаем это квадратное уравнение и находим два решения: t = 4 и t = 1. Тогда асимптотические направления линии  .


б) ;

в) .

(Можно рассмотреть два способа, так как линия – параболического типа.)


2. Выясните, имеют ли оси координат асимптотические направления относительно линий второго порядка:

а) ;

б) ;

в) 


3. Напишите общее уравнение линии второго порядка, для которой

а) ось абсцисс имеет асимптотическое направление;

б) Обе оси координат имеют асимптотические направления;

в) оси координат имеют асимптотические направления и О – центр линии.


4. Напишите уравнения асимптот для линий:

а) ;

б) .

5. Докажите, что если линия второго порядка имеет две непараллельные асимптоты, то их точка пересечения является центром данной линии.

Указание: Так как есть две непараллельные асимптоты, то существует два асимптотических направления, тогда , а, значит, линия – центральная.

Запишите уравнения асимптот в общем виде и систему для нахождения центра. Всё очевидно.


6.(№920) Напишите уравнение гиперболы, проходящей через точку А(0, -5) и имеющей асимптоты х – 1 = 0 и 2х – y + 1 = 0.

Указание. Воспользуйтесь утверждением предыдущей задачи.


^ Домашнее задание. [1], №915(в,д,е), №916 (в,г,д), №920 (если не успели);

Шпаргалки;

Силаев, Тимошенко. Практические задания по геометрии,

1 семестр. С.67, вопросы 1-8, с.70, вопросы 1-3 (устно).


^ ДИАМЕТРЫ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

СОПРЯЖЕННЫЕ ДИАМЕТРЫ.

Дана аффинная система координат  .

Определение. Диаметром линии  второго порядка, сопряженным вектору  не асимптотического направления относительно , называется множество середин всех хорд линии , параллельных вектору .

На лекции доказано, что диаметр – это прямая и получено её уравнение

 (7)

или  (7`)


Рекомендации: Показать (на эллипсе), как строится (задаём не асимптотическое направление; проводим [две] прямые этого направления, пересекающие линию; находим середины отсекаемых хорд; проводим через середины прямую – это и есть диаметр).

Обсудить:

1. Почему в определении диаметра берётся вектор не асимптотического направления. Если не могут ответить, то попросите построить диаметр, например, для параболы.

2. Любая ли линия второго порядка имеет хотя бы один диаметр? Почему?

3. На лекции доказано, что диаметр – это прямая. Серединой какой хорды является точка М на рисунке?




М

4. Посмотрите на скобки в уравнении (7). Что они напоминают?

Вывод: 1) каждый центр принадлежит каждому диаметру;

2) если существует прямая центров, то существует единственный диаметр.

5. Какое направление имеют диаметры линии параболического типа? (Асимптотическое)

Доказательство (наверно, на лекции).

Пусть диаметр d, заданный уравнением (7`) сопряжен вектору  не асимптотического направления. Тогда его направляющий вектор

(-(), ). Покажем, что этот вектор имеет асимптотическое направление. Воспользуемся критерием вектора асимптотического направления для линии параболического типа (см.(5)). Подставляем и убеждаемся (не забываем, что .


6. Сколько диаметров у параболы? Их взаимное расположение? Сколько диаметров у остальных линий параболического типа? Почему?

7. Как построить общий диаметр некоторых пар линий второго порядка (см. вопросы 30, 31 далее).

8. Заполняем таблицу, обязательно делаем рисунки.


ЗАДАЧИ.

1. . Напишите уравнение множества середин всех хорд, параллельных вектору 


2. Напишите уравнение диаметра d, проходящего через точку К(1,-2) для линии .

Этапы решения:

1-й способ.

1. Определяем тип (чтобы знать, как ведут себя диаметры этой линии).

В данном случае линия центральная, тогда все диаметры проходят через центр С.

2. Составляем уравнение прямой, проходящей через две точки К и С. Это и есть искомый диаметр.

2-й способ.

1. Записываем уравнение диаметра d в виде (7`).

2. Подставив в это уравнение координаты точки К, находим зависимость между координатами вектора, сопряженного диаметру d.

3. Задаём этот вектор, учитывая найденную зависимость, и составляем уравнение диаметра d.

В данной задаче вычислять проще вторым способом.


3. . Напишите уравнение диаметра, параллельного оси абсцисс.


4. Найдите середину хорды, отсекаемой линией



на прямой x + 3y – 12 =0.

Указание к решению: Конечно, можно найти точки пересечения данных прямой и линии , а затем – середину полученного отрезка. Желание сделать так отпадает, если взять, к примеру, прямую с уравнением х +3у – 2009 =0.

Возьмём направляющий вектор данной прямой и запишем уравнение диаметра, сопряжённого этому вектору. Далее, найдём точку пересечения данной прямой и найденного диаметра.

^ СОПРЯЖЕННЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ


Определение. Пусть  - диаметр, сопряжённый вектору ;  - направляющий вектор этого диаметра;  - диаметр, сопряжённый вектору . Тогда диаметры  и  называются сопряжёнными диаметрами.

Показать, как изобразить!

^ Геометрический смысл: два диаметра сопряжены, если каждый из них делит пополам хорды, параллельные другому диаметру.

Обсудить: У каждой ли линии второго порядка есть сопряжённые диаметры? Почему?

Определение. Направления ненулевых векторов () и  называются сопряжёнными направлениями относительно линии  второго порядка, заданной уравнением (1), если

 (8)

На лекции доказывается, что сопряжённые диаметры имеют сопряжённые направления.


ЗАДАЧИ.

5.(941) .

Напишите уравнения двух сопряжённых диаметров линии ,если один из них проходит через точку М(-1,-2).


6.(940) .

Напишите уравнения двух сопряжённых диаметров линии , если один из них параллелен прямой x – 4y + 5 = 0.

Замечание. Прежде, чем приступать к вычислениям, сделайте иллюстрации к эти задачам!

Обсудить: Какому направлению сопряжено асимптотическое направление относительно а) центральной линии ; б) нецентральной линии ?

Ответ: а) самому себе; б) любому направлению. (Возможно, это доказано на лекции. Если нет, можно рассмотреть в качестве задачи.)


^ Домашнее задание.

[1] №№ 923, 924, 926, 938, 939, 945.

Шпаргалки: 1) диаметры; 2) сопряженные диаметры.