Общая теория линий второго порядка

Вид материала

Документы

Содержание Главные направления. главные диаметры. Вопросы для проведения отчёта (зачёта) Контрольная работа по теории линий второго порядка

Подобный материал:

• Дифференциальные эллиптические уравнения второго порядка. Слабое решение. Обобщенное, 106.04kb.
• Календарный план лекций по курсу «методы математической физики» Число недель, 26.17kb.
• Б. Д. Плющенков 1/2 года I. Общая теория дифференциального уравнения (нелинейного), 16.96kb.
• § 23. Центр линии второго порядка, 35.02kb.
• Векторы. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов. Векторное, 8.22kb.
• Решение дифференциального уравнения первого и второго порядка методом Рунге-Кутта 4-го, 55.71kb.
• Лекция №5 «Боровская теория водородоподобного атома», 181.56kb.
• Программа Курса «Высшая математика» для специальности 033300 Безопасность жизнедеятельности, 53.79kb.
• Метод прогонки решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения, 49.69kb.
• Институт философии ра н постоянный семинар исследовательской группы по прикладной философии, 303.41kb.

^ ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ. ГЛАВНЫЕ ДИАМЕТРЫ.

Определение. Направление называется главным относительно линии _ второго порядка, если оно сопряжено с перпендикулярным направлением.

Раз речь идёт о перпендикулярности, то линия _ должна быть задана своим уравнением вида (1) в ПДСК!


Критерий главного направления относительно линии второго порядка:

Ненулевой вектор _(_) задаёт главное направление относительно линии второго порядка, заданной в _ уравнением (1), <sub>

</sub> (9).

Такое аналитическое условие получается исходя из двух фактов:

1) _(_)_(-_); 2) условие сопряжённости двух направлений.

Ясно, что если _ задаёт главное направление относительно линии второго порядка, то и перпендикулярный ему вектор также задаёт главное направление относительно этой линии.


Теорема. Относительно любой линии второго порядка, отличной от окружности, существует два и только два главных направления. Относительно окружности любое направление является главным.


Определение. Диаметр линии второго порядка называется главным, если он перпендикулярен сопряженным хордам.


Обсудить:

1. Для эллипса, гиперболы и параболы, заданных каноническими уравнениями, найдите главные направления.

(Оси координат имеют главные направления!)

2. Может ли асимптотическое направление совпадать с главным?

(Да, для нецентральных линий это так: легко показать, используя критерий асимптотического направления нецентральной линии.)

3. . Если d – главный диаметр, какому направлению он сопряжён?

(Главному, но не асимптотическому.)

4. Верно ли, что главный диаметр является осью симметрии линии второго порядка?

(Верно, это следует из определения).

Верно ли, что ось симметрии всегда является главным диаметром?

(Нет, для пары параллельных прямых это не так.)

Почему любая линия второго порядка имеет хотя бы одну ось симметрии?

5. Как написать уравнение главного диаметра?

(Найти главные, но не асимптотические направления; записать уравнения диаметров, сопряжённых этим направлениям.)


Заполняем таблицу!


ЗАДАЧИ.


1.(946) Для линии _ определите, сколько существует главных диаметров. Напишите уравнения главных диаметров.

(Линия параболического типа, поэтому существует один главный диаметр с уравнением 2х – 4у – 5 = 0)

2.Найдите ось и вершину параболы _.

(4х + 4у + 3 = 0, А(_))


Домашнее задание.

[1] №№ 946 (в, г), 947 (в, г), 949, 952, 954; Шпаргалка


^ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ОТЧЁТА (ЗАЧЁТА)

ПО ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

1. Приведите примеры линий второго порядка, которые:
   

а) не имеют асимптотических направлений;

б) имеют одно асимптотическое направление;

в) имеют два асимптотических направления;

г) имеют более двух асимптотических направлений.

2. Приведите примеры линий второго порядка, которые имеют прямые асимптотического направления:
   

а) пересекающие линию только в одной точке;

б) пересекающие линию только в двух точках;

в) содержащиеся в линии;

г) не пересекающие линию.

3. Сформулируйте критерий того, что _{ } является вектором асимптотического направления относительно линии второго порядка.
   
4. Как по общему уравнению линии второго порядка определить, сколько асимптотических направлений существует относительно этой линии?
   
5. Может ли не иметь асимптотических направлений линия второго порядка, для коэффициентов из общего уравнения которой выполняется условие:
   

а) _; б) _ и _?

6. Сколько асимптотических направлений существует относительно линии второго порядка, если члены второй степени _ xy+_ из её общего уравнения образуют _ полный квадрат?
   
7. Какой вид имеет общее уравнение линии второго порядка, для которой
   

а) ось Ох имеет асимптотическое направление;

б) ось Оу имеет асимптотическое направление;

в) Ох и Оу – прямые асимптотического направления?

8. Может ли линия второго порядка: а) иметь асимптоты и не иметь асимптотических направлений; б) иметь асимптотические направления и не иметь асимптоты?
   
9. Как, зная общее уравнение линии второго порядка, определить координаты центра этой линии?
   
10. Сколько центров может иметь линия второго порядка? Приведите примеры линий второго порядка:
    

а) имеющих только один центр;

б) имеющих только два центра;

в) имеющих бесконечно много центров;

г) не имеющих центров.

11. Центром линии второго порядка является начало координат. Как это отражается на коэффициентах в уравнении этой линии?
    
12. Может ли не иметь центров линия второго порядка, относительно которой:
    

а) не существует асимптотических направлений;

б) существует два асимптотических направления?

13. Может ли центр линии второго порядка принадлежать этой линии?
    
14. Существуют ли линии второго порядка, у которых:
    

а) нет центра и имеются две взаимно перпендикулярные оси симметрии;

б) есть три центра, не лежащие на одной прямой;

в) каждая точка линии является её центром?

15. Докажите, что если линия второго порядка имеет две непараллельные асимптоты, то точка их пересечения есть центр этой линии.
    
16. Существует ли параллелограмм, все вершины которого лежат на некоторой параболе?
    
17. Дано общее уравнение линии второго порядка, имеющей вещественные точки. Как определить вид этой линии?
    
18. Назовите все линии второго порядка, которые:
    

а) не имеют особых точек;

б) имеют только одну особую точку;

в) имеют только две особые точки;

г) имеют более двух особых точек.

19. Как по общему уравнению линии второго порядка определить координаты особой точки этой линии?
    
20. Почему касательную к линии второго порядка не определяют в особой точке?
    
21. Запишите уравнение касательной к линии второго порядка в обыкновенной точке _).
    
22. Существуют ли линии второго порядка, у которых касательная имеет асимптотическое направление?
    
23. Почему в определении диаметра линии второго порядка рассматривается вектор не асимптотического направления?
    
24. Запишите уравнение диаметра линии второго порядка, заданной общим уравнением. Объясните, почему это уравнение является уравнением прямой.
    
25. Любая ли линия второго порядка имеет хотя бы один диаметр? Почему?
    

26. Что можно сказать о диаметрах:
    

а) линий второго порядка, имеющих прямую центров;

б) центральных линий второго порядка;

в) нецентральных линий второго порядка?

27. У каждой ли линии второго порядка есть сопряженные диаметры? Почему?
    
28. Верно ли, что сопряженные диаметры линии второго порядка имеют сопряженные направления?
    
29. Сколько направлений сопряжено направлению вектора _, если
    

а) _ задаёт не асимптотическое направление;

б) _ - вектор асимптотического направления относительно центральной линии;

в) _ - вектор асимптотического направления относительно нецентральной линии второго порядка?

30. Сколько общих диаметров могут иметь:
    

а) эллипс и гипербола;

б) эллипс и парабола;

в) две параболы;

г) парабола и пара параллельных прямых?

31. В тех случаях, когда возможно, постройте общий диаметр двух линий второго порядка _ и_{ }:
    

а)



.. _{ }


б)

_


в) <sub>



</sub>


г)


_




д)



_


е)


_


ж) _

32. Изобразите прямую, содержащую ту хорду, для которой точка М является серединой:
    

М

33. Направления осей координат сопряжены относительно линии второго порядка. Как это скажется на общем уравнении этой линии?
    
34. Сколько главных направлений может существовать относительно линии второго порядка?
    
35. Что можно сказать о главных направлениях линии второго порядка, заданной каноническим уравнением?
    
36. Может ли главное направление линии второго порядка совпадать с её асимптотическим направлением?
    
37. Почему главный диаметр является осью симметрии линии второго порядка? Верно ли, что ось симметрии линии второго порядка является главным диаметром этой линии?
    
38. Сколько главных диаметров может иметь линия второго порядка?
    
39. Почему любая линия второго порядка имеет хотя бы одну ось симметрии?
    
40. Как, зная общее уравнение линии второго порядка, написать уравнение главного диаметра этой линии?
    
41. Дано изображение линии второго порядка γ. В каждом из случаев а)-в) изобразите такую ПДСК _,чтобы в этой системе координат линия γ задавалась общим уравнением, в котором:
    

а) _;

б) _;

в) _=_




а) б) в)







^ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕОРИИ ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

(Задачи повторяются!)

ВАРИАНТ 1

1. Напишите уравнение множества всех точек плоскости (в ПДСК), для каждой из которых абсолютное значение разности расстояний до точек А(0, -2) и В(0, 2) равно 3.
   
2. Напишите уравнение общего диаметра линий второго порядка, заданных уравнениями х² + 2ху + у² – 11=0 и (х – 2)² – 2(у + 2)² = 13.
   
3. При каких значениях к прямые у = kх + b пересекают линию
   

4х² – 4ху + у² + 6х + 1 = 0 не более чем в одной точке?

4. Через точку А(2, 0) проведена касательная к линии ху = 1. Составьте уравнение этой касательной.
   
5. Может ли линия второго порядка, заданная уравнением а₁₁х²+2а₁₂ху+а₂₂у²+а₀₀=0 не иметь центров? Ответ объясните.
   

ВАРИАНТ 2

1. Найдите угол между асимптотами гиперболы, у которой расстояние между фокусами вдвое больше расстояния между директрисами (ПДСК).
   
2. Для линии 3х² – 5ху + у² + 8х = 0 напишите уравнение множества середин хорд, принадлежащих прямым с угловым коэффициентом к = - 2/3.
   
3. Найдите ось симметрии и вершину параболы
   

х² + 4у² + 4ху – 6х – 2у + 1=0 (ПДСК).

4. Определите вид линии второго порядка у² – 6у + 4х + 5=0.
   
5. Почему любая линия второго порядка имеет хотя бы одну ось симметрии?
   

ВАРИАНТ 3

1. Напишите уравнение параболы, которая проходит через точки А(0,0), В(1, 4) и симметрична относительно оси абсцисс. Найдите координаты фокуса и уравнение директрисы этой параболы (ПДСК).
   
2. Напишите уравнение гиперболы, проходящей через точку А(-5, 0) и имеющей асимптоты у – 1 = 0 и х – 2у – 1 = 0.
   
3. Напишите уравнение какой-нибудь оси симметрии линии, заданной в ПДСК уравнением х² + 2х –у + 1=0.
   
4. Определите вид линии второго порядка: 4х² + у² – 4ху – 15=0.
   
5. Направления осей координат сопряжены относительно линии второго порядка. Как это скажется на общем уравнении этой линии?
   

ВАРИАНТ 4

1. Напишите уравнение гиперболы в ПДСК, если её асимптоты имеют уравнения 4у+3х=0 и 4у – 3х=0, а директрисы – уравнения 5х+16=0,
   

5х – 16=0.

2. Напишите уравнение линии второго порядка, если С(0,1) – её центр симметрии, линия проходит через точку А(3,0) и пересекает каждую из прямых 2х – 3у + 1 = 0 и х + у – 5=0 лишь в одной точке.
   
3. Найдите середину хорды, отсекаемой линией
   

2х² + 3у² + 4ху – 3х – 3у = 0 на прямой х+3у – 12=0.

4. Определите вид линии второго порядка: 2ху – 4х + 2у – 3 = 0.
   
5. Любая ли линия второго порядка имеет хотя бы один диаметр? Ответ объясните.
   

ВАРИАНТ 5

1. Напишите уравнение гиперболы в ПДСК, если её асимптоты имеют уравнения 4у+3х=0 и 4у – 3х=0, а директрисы – уравнения 5х+16=0, 5х – 16=0.
   
2. Найдите ось симметрии и вершину параболы
   

х² + 4у² + 4ху – 6х – 2у + 1 = 0 (ПДСК).

3. Две пары прямых 2х – 3у = 0, х + 2у = 0 и х – у=0, 3х – 5у = 0 служат сопряженными диаметрами линии второго порядка. Составьте уравнение этой линии, зная, что она проходит через точку В(1, 1).
   
4. При каких значениях к прямая у = kх + b имеет асимптотическое направление относительно линии 4х² + у² – 4ху + 6х + 1 = 0?
   
5. Почему любая линия второго порядка имеет хотя бы один диаметр?
   

ВАРИАНТ 6

1. Напишите уравнение параболы, которая проходит через точки А(0,0), В(1, 4) и симметрична относительно оси абсцисс. Найдите координаты фокуса и уравнение директрисы этой параболы (ПДСК).
   
2. Напишите уравнение прямой, проходящей через середины хорд, отсекаемых линией 2х²-3у²+5ху+3х+16у=0 на прямых 4х+5у=0 и 4х+5у+2008=0.
   
3. Напишите уравнения тех касательных к линии
   

х² + у² + ху + 2х + 3у – 3 = 0, которые параллельны оси абсцисс.

4. Напишите уравнение какой-нибудь оси симметрии линии, заданной в ПДСК уравнением х²+2х – у + 1 = 0.
   
5. Может ли не иметь центров линия второго порядка, если в её общем уравнении а) а₁₂=0 и а₁₁а₂₂=0; б) а₁₂=0 и а₁₁а₂₂=0; в) а₁₂=0 и а₁₁а₂₂=0? Ответ объясните!
   

ВАРИАНТ 7

1. Напишите каноническое уравнение гиперболы, если угол между её асимптотами равен 60^о и гипербола проходит через точку А(6, 3) (ПДСК).
   
2. Напишите уравнение общего диаметра линий второго порядка:
   

4х² + у² – 4ху – 6х + 8у + 13 = 0 и 4х² + у² – 4ху – 1=0.

3. Для линии второго порядка у² = 8х напишите уравнение касательной, параллельной прямой 2х + 2у – 13 = 0.
   
4. Найдите оси симметрии линии второго порядка, заданной в ПДСК уравнением 2ху – 4х + 2у – 3 = 0.
   
5. Может ли не иметь асимптотических направлений линия второго порядка, для коэффициентов общего уравнения которой выполняется условие: а) а₁₁а₂₂=0; б) а₁₂=0 и а₁₁а₂₂<0? Ответ объясните!
   

ВАРИАНТ 1


1. Напишите уравнение множества всех точек плоскости (в ПДСК), для каждой из которых абсолютное значение разности расстояний до точек А(0, -2) и В(0, 2) равно 3.

2. Напишите уравнение общего диаметра линий второго порядка, заданных уравнениями х²+2ху+у²-11=0 и (х-2)²-2(у+2)²=13.
   
3. При каких значениях к прямые у=kх+b пересекают линию 4х²-4ху+у²+6х+1=0 не более чем в одной точке?
   
4. Через точку А(2,0) проведена касательная к линии ху=1. Составьте уравнение этой касательной.
   
5. Может ли линия второго порядка, заданная уравнением а₁₁х²+2а₁₂ху+а₂₂у²+а₀₀=0 не иметь центров?
   

ВАРИАНТ 2

1. Найдите угол между асимптотами гиперболы, у которой расстояние между фокусами вдвое больше расстояния между директрисами (ПДСК).
   
2. Для линии 3х²-5ху+у²+8х=0 напишите уравнение множества середин хорд, принадлежащих прямым с угловым коэффициентом к= - 2/3.
   
3. Найдите ось симметрии и вершину параболы х²+4у²+4ху-6х-2у+1=0 (ПДСК).
   
4. Определите вид линии второго порядка у²-6у+4х+5=0.
   
1. Почему любая линия второго порядка имеет хотя бы одну ось симметрии?