Программа обсуждена на заседании кафедры Математики фнти

Вид материала

Программа

Содержание Основные теоремы 2 домашних задания Список основной литературы

Подобный материал:

• Программа обсуждена на заседании кафедры Математики фнти, 45.15kb.
• Программа обсуждена на заседании кафедры Математики фнти, 51.85kb.
• Программа обсуждена на заседании кафедры Математики фнти, 29.91kb.
• Программа обсуждена на заседании кафедры Математики фнти, 38.01kb.
• Программа обсуждена на заседании кафедры Математики фнти, 27.07kb.
• Программа обсуждена на заседании кафедры Математики фнти, 80.49kb.
• Программа обсуждена на заседании кафедры Математики фнти, 43.63kb.
• Программа обсуждена на заседании кафедры Математики фнти, 28.33kb.
• Программа обсуждена на заседании кафедры Математики фнти, 75.2kb.
• Программа обсуждена на заседании кафедры Математики фнти, 45.62kb.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ


Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Московский физико-технический институт

(государственный университет)


УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе

Ю.А. Самарский

____________________2008 г.


П Р О Г Р А М М А

по курсу:  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

по направлению  511600

факультет  ФНТИ

кафедра  МАТЕМАТИКИ ФНТИ

курс II

семестр 3

лекции   32 часа Экзамен  3 семестр

практические(семинарские)

занятия   32 часа Зачет  нет

лабораторные занятия – нет Самостоятельная работа 

  2 часа в неделю

Всего часов   64


Программу составил д.ф.-м.н., проф. А.И. Нейштадт

Программа обсуждена на заседании

кафедры Математики ФНТИ

25 декабря 2007 года


Заведующий кафедрой С.Ю. Доброхотов


^ Основные теоремы

1. Основные определения и понятия: поле направлений, интегральная кривая, дифференциальное уравнение и его решение; векторное поле, фазовая кривая (траектория), автономное дифференциальное уравнение; фазовое и расширенное фазовое пространства; фазовый портрет, положение равновесия, предельный цикл.

2. Диффеоморфизмы. действие диффеоморфизмов на векторные поля и поля направлений, замена переменных в дифференциальном уравнении. Симметрия векторного поля и поля направлений. Однородные и квазиоднородные уравнения и их интегрирование.

3. Формулировка теоремы о выпрямлении поля направлений. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения, теорема о дифференцируемой зависимости решения от начальных условий и параметров. Уравнение в вариациях. Выпрямление векторного поля.

4. Теоремы о продолжении решений.

5. Преобразование сдвига вдоль решений. Фазовый поток автономной системы.

6. Теорема о сжатых отображениях.

7. Доказательство теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения. Непрерывная зависимость решения от начальных условий.

8. Доказательство теоремы о дифференцируемости решений по начальным условиям (случай гладкости С¹).

9. Доказательство теоремы о выпрямлении поля направлений.

10. Первые интегралы автономных и неавтономных систем. Локальные теоремы о первых интегралах.


Линейные системы с постоянными коэффициентами

11. Экспонента линейного оператора. Определитель экспоненты. Экспонента жордановой клетки.

12. Системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами. Пространство решений. Фундаментальная система решений. Характеристическое уравнение. Разложение фазового пространства в прямую сумму инвариантых подпространств. Общее решение.

13. Линейное однородное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами: пространство решений, характеристическое уравнение, общее решение. 2

14. Линейное однородное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами: пространство решений, характеристическое уравнение, общее решение.

15. Классификация особых точек линейных систем на плоскости.

16. Линейные неоднородные системы уравнений с постоянными коэффициентами: общие свойства, метод вариации постоянных.

17. Линейные неоднородные системы уравнений с постоянными коэффициентами и правой частью в виде квазимногочлена: теорема о виде частного решения.

18. Линейное неоднородное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами: общие свойства, метод вариации постоянных.

19. Линейное неоднородное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами и правой частью в виде квазимногочлена: теорема о виде частного решения.

20. Линейные однородные системы с дискретным временем, их общее решение. Рекуррентные последовательности.

21. Линейные неоднородные системы уравнений с дискретным временем и рекуррентные последовательности с неоднородностью в виде квазимногочлена.


В курсе предусмотрены ^ 2 домашних задания (номера даны по задачнику [8] в списке литературы) и 2 контрольные работы


1-е домашнее задание выдается на 1-й неделе 3-го семестра, оно содержит задачи по темам: уравнения с разделяющимися переменными, однородные и квазиоднородные уравнения, линейные уравнения первого порядка и приводимые к ним (Бернулли, Риккати), уравнения в полных дифференциалах, уравнения не разрешенные относительно производной, уравнения, допускающие понижение порядка. Срок сдачи – 8-я неделя 3-го семестра.


Задачи 1-го Задания


1. уравнения с разделяющимися переменными: [8] 55, 65, 69, 98, 100.


2. однородные и квазиоднородные уравнения: [8] 109, 119, 127, 129, 134.


3. линейные уравнения первого порядка и приводимые к ним: [8] 139, 147, 153, 159, 169, 171, 179, 180.


4. уравнения в полных дифференциалах: [8] 203, 209, 217.


5. уравнения не разрешенные относительно производной: [8] 271, 275, 279, 285, 289, 291, 295.


6. уравнения, допускающие понижение порядка: [8] 437, 441, 447, 459, 471.


1-я контрольная работа проводится по завершении тем: уравнения

с разделяющимися переменными, однородные и квазиоднородные

уравнения, линейные уравнения первого порядка и приводимые к

ним (Бернулли, Риккати), уравнения в полных дифференциалах,

уравнения не разрешенные относительно производной, уравнения,

допускающие понижение порядка: (8-я неделя 3-го семестра). Она

содержит задачи на эти темы.


2-е домашнее задание выдается на 8-й неделе 3-го семестра, оно содержит задачи по темам: линейные однородные и неоднородные системы уравнений с постоянными коэффициентами, линейные однородные и неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Срок сдачи – 16-я неделя 3-го семестра.


Задачи 2-го Задания

7. линейные однородные и неоднородные системы уравнений с постоянными коэффициентами: [1] 803, 805, 809, 811, 819, 821, 823, 839, 843, 847, 849, 855, 873, 875.


8. линейные однородные и неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами: [1] 529, 531, 535, 539, 541, 543, 547, 573, 577, 579, 591, 595, 597, 599.


2-я контрольная работа проводится по завершении тем: линейные однородные и неоднородные системы уравнений с постоянными коэффициентами, линейные однородные и неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами (16-я неделя 3-го семестра). Она содержит задачи на эти темы.


^ СПИСОК ОСНОВНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Изд. третье. – М.: Наука, 1984.

2. Бабенко К.И. Основы численного анализа. – М.: Наука, 1986.

3. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. – М.: Наука, 1967.

4. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. шестое. – М.: Наука, 1970.

5. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. – М.: Физматгиз, 1961.

6. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1961.

7. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1969.

8. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Изд. четвертое. – М.: Наука, 1973.


СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. второе. – Ижевск: Удмуртский университет, 1984.

2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. Изд. третье. – М.: Наука, 1989.

3. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. – Гостехиздат. 1955.


Усл. печ. л. Тираж