Программа обсуждена на заседании кафедры Математики фнти

Вид материала

Программа

Содержание Метрические, нормированные и банаховы пространства. Список основной литературы Список дополнительной литературы 2-е домашнее задание 3-е домашнее задание

Подобный материал:

• Программа обсуждена на заседании кафедры Математики фнти, 45.15kb.
• Программа обсуждена на заседании кафедры Математики фнти, 51.85kb.
• Программа обсуждена на заседании кафедры Математики фнти, 29.91kb.
• Программа обсуждена на заседании кафедры Математики фнти, 38.01kb.
• Программа обсуждена на заседании кафедры Математики фнти, 27.07kb.
• Программа обсуждена на заседании кафедры Математики фнти, 43.63kb.
• Программа обсуждена на заседании кафедры Математики фнти, 28.33kb.
• Программа обсуждена на заседании кафедры Математики фнти, 75.2kb.
• Программа обсуждена на заседании кафедры Математики фнти, 45.62kb.
• Программа обсуждена на заседании кафедры Математики фнти, 58.04kb.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ


Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Московский физико-технический институт

(государственный университет)


УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе

Ю.А. Самарский

____________________2008 г.


П Р О Г Р А М М А


по курсу:  ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

по направлению  511600

факультет  ФНТИ

кафедра  МАТЕМАТИКИ ФНТИ

курс III

семестр 5

лекции   32 часа Экзамен  5 семестр

практические(семинарские)

занятия   32 часа Зачет  нет

лабораторные занятия – нет Самостоятельная работа 

  2 часа в неделю

Всего часов   64


Программу составил к.ф.-м.н., доц. И.А. Шейпак

Программа обсуждена на заседании

кафедры Математики ФНТИ

25 декабря 2007 года


Заведующий кафедрой С.Ю. Доброхотов


^ Метрические, нормированные и банаховы пространства.

1. Метрические пространства. Линейные нормированные и банаховы пространства. Теорема о пополнении метрических пространств. Сепарабельность. Примеры.

2. Свойства полных метрических пространств. Теорема о вложенных шарах, теорема о сжимающих отображениях. Фракталы как неподвижные точки сжимающего отображения в соответствующем метрическом пространстве. Примеры.

3. Основные понятия теории меры: полукольцо, кольцо, алгебра, σ-алгебра множеств. Мера, счетно-аддитивная мера. Измеримые по Лебегу множества, измеримые функции. Мера Лебега--Стилтьеса, мера Винера, дискретная мера.

4. Конструкция интеграла Лебега. Основные свойства интеграла Лебега. Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла: Б.Леви, Лебега, Фату (без доказательства).

Контрпримеры.

5. Пространства L_p(a,b). Неравенство Гёльдера, неравенство Минковского.

6. Гильбертовы пространства. Теорема об ортогональном дополнении. Ортонормированные системы. Полные, замкнутые системы.

7. Теорема о существовании ортонормированного базиса в сепарабельном гильбертовом пространстве. Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пространств. Эквивалентность моделей Шредингера и Гейзенберга.


Компактные множества в метрических пространствах

8. Предкомпактные и компактные множества. Критерий Хаусдорфа предкомпактности.

9. Теорема Арцела и признаки предкомпактности в различных пространствах.

10. Эквивалентность норм в конечномерном пространстве. Некомпактность единичного шара в бесконечномерном банаховом пространстве.


Линейные операторы и функционалы в нормированных пространствах

11. Линейные отображения. Норма оператора. Пространство линейных ограниченных операторов. Полнота пространства L(X,Y), где Y -- банахово.

12. Сопряженные пространства. Теорема Хана-Банаха о продолжении линейного функционала.

13. Следствия из теоремы Хана-Банаха. Изометричность вложения пространства во второе сопряженное. Примеры незамкнутых линейных подпространств.

14. Сопряженное пространство к C (a,b).

15. Общий вид линейного непрерывного функционала в пространствах L_p(a,b) и l_p, при 1≤ p<∞.

16. Изоморфизм гильбертова пространства своему сопряженному. Общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве.

17. Слабо сходящиеся последовательности. Примеры. Теорема Банаха-Штейнгауза. Слабо ограниченные множества.

18. Слабая компактность. Теорема о слабой компактности единичного шара в сепарабельном гильбертовом пространстве. Пример последовательности элементов единичной сферы, слабо сходящейся к нулю.


Спектр оператора

19. Теорема Банаха. Обратимость оператора близкого к обратимому. Представление резольвенты в виде ряда. Спектральный радиус.

20. Спектр и резольвентное множество ограниченного оператора. Свойства спектра (ограниченность, замкнутость, непустота). Непрерывный, точечный, остаточный спектры. Примеры.

21. Сопряженный оператор. Спектр сопряженного оператора. Теорема о связи компактности оператора с компактностью сопряженного оператора (в гильбертовом пространстве).

22. Свойства спектра самосопряженного оператора. Квадратичная форма самосопряженного оператора.

23. Спектральный радиус самосопряженного оператора и норма самосопряженного оператора. Спектральный радиус интегрального оператора с треугольным ядром.

24. Унитарные операторы. Спектр унитарного оператора. Подобные операторы. Связь спектров подобных операторов. Подобные операторы в l₂(Z) и L₂(0,2π). Унитарно-подобные операторы в L₂(R).


Компактные операторы. Теория Фредгольма

25. Компактные операторы. Операции над операторами, не нарушающие компактность. Свойства компактных операторов.

26. Компактность интегральных операторов в пространствах C[a,b] и L_p(a,b).

27. Теорема Гильберта-Шмидта о полноте множества собственных векторов компактного самосопряженного оператора.

28. Пример линейного непрерывного оператора с незамкнутым образом. Замкнутость образа оператора I-A, где A - компактный оператор. Первая теорема Фредгольма.

29. Вторая теорема Фредгольма.

30. Третья теорема Фредгольма.

31. Спектр компактного оператора. Интегральное уравнение Вольтерра.


Обобщённые функции и действия с ними.

32. Функции из L_1,loc(R) и их производные по Соболеву. Примеры: полиномы и экспоненты, δ-функция и ее производные, v.p.(1/x), 1/(x+i0).

33. Пространства Лорана Шварца: D и D', S и S'.

34. Преобразование Фурье в пространстве в L₁(R) и его свойства.

35. Преобразование Фурье в пространствах S и L₂(R). Теорема Планшереля.

36. Преобразование Фурье в S'. Преобразование Фурье

δ-функции, ее производных, полиномов, функции Хевисайда.

37. Пространства Соболева H_s(R) и их сопряжённые. Теоремы вложения (без доказательства).

38. Теорема об отображении спектра. Спектр оператора преобразования Фурье в L₂(R).


Неограниченные операторы.

39. Примеры неограниченных операторов. Понятие области определения оператора. Теорема Хеллингера-Теплица.

40. Оператор гармонического осциллятора как оператор из H₁(R) в

H_-1(R). Его спектр.


^ СПИСОК ОСНОВНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1976.

2. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики, т.1 Функциональный анализ. – М.: Мир, 1977.

3. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики, т.2 Гармонический анализ. Самосопряженность. – М.: Мир, 1978.

4. Канторович Л.В., Акилов Т.П. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1977.

5. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа. – М.: Наука, 1988.

6. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. – М.: Физматгиз, 1959.

7. Власов В.В., Коновалов С.П., Курочкин С.В. Задачи по функциональному анализу. – М.: Издательство МФТИ, 1998.

^ СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Рисс Ф., Надь Б.С. Лекции по функциональному анализу. – М.: ИЛ, 1954

2. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Издательство Московского университета, 1984.


Предусмотрены 3 домашних задания, 3 контрольные работы и лабораторный практикум..


1-е домашнее задание выдается на 1-й неделе, оно содержит задачи по темам: нормированные и метрические пространства, геометрия банаховых и гильбертовых пространств, нормы операторов и функционалов, предкомпактные множества. Срок сдачи – 6-я неделя.


Задачи 1-го Задания


Ограниченные операторы: [2] 6.2, 6 а), б), в), г), 6.7, 6.8, [5] 247, 346,


Ограниченные функционалы: [1] 230, 231, 232, 234, 238, 290.


Проверка является ли данное множество предкомпактным: [2] 3.6, 3.7, 3.8, 3.11, 3.13.


Вычисление ортогональных проекций вектора на подпространство: [1], 472 а), б), в), г).


1-я контрольная работа проводится по завершении тем: метрические и нормированные пространства, гильбертовы пространства, компактные множества, ограниченные операторы и их нормы (6-я неделя). Она содержит задачи на основные понятия метрических и нормированных пространств, проверку критерия предкомпактности множества в метрических пространствах, вычисление норм операторов и функционалов в различных пространствах.


^ 2-е домашнее задание выдается на 6-й неделе, оно содержит задачи по темам: спектр оператора и его классификация, ряд Неймана для резольвенты, вычисление спектрального радиуса оператора. Срок сдачи – 11-я неделя.


Задачи 2-го Задания


Вычисление спектра ограниченного оператора и его классификация: [1] 633, 634, 635, 636, 637, [2] 7.9 а) б), 7.10, 7.11, 7.12, 7.13, 7.14

Вычисление спектрального радиуса оператора: [1] 641,


Вычисление спектра с помощью подобных операторов [2] 7.15


2-я контрольная работа проводится по завершении тем: спектр и резольвентное множество ограниченного оператора, классификация спектра, резольвента оператора и её представление в виде ряда, спектральный радиус оператора, спектр самосопряжённого оператора, спектр унитарного оператора(11-я неделя). Она содержит задачи на вычисление спектра оператора и его классификацию, вычисление резольвенты оператора, вычисление спектрального радиуса, применение понятия подобных операторов для нахождения спектра.


^ 3-е домашнее задание выдается на 11-й неделе, оно содержит задачи по темам: теория Фредгольма, решение интегральных уравнений с помощью теории Фредгольма, теорема Гильберта-Шмидта. Срок сдачи – 16-я неделя.

Задачи 3-го Задания


Интегральное уравнение с вырожденным ядром: [1] 364, 365.


Спектр компактного оператора: [2] 12.9 а), б),


Решение интегрального уравнения с невырожденным ядром [1] 366


3-я контрольная работа проводится по завершении тем: компактные операторы и их свойства, теория Фредгольма. Она содержит задачи на применение свойств компактных операторов, решение фредгольмовых уравнений 2-го рода, применение теоремы Гильберта-Шмидта.


Номера даны по учебникам и задачникам:

1) А.А.Кириллов, А.Д.Гвишиани «Теоремы и задачи функционального анализа», Москва, "Наука", 1988.

2) В.В.Власов, С.П.Коновалов, С.В.Курочкин «Задачи по функциональному анализу», Издательство МФТИ


Л абораторный практикум.

Применение программ MATHEMATICA или MATLAB при решении задач с помощью методов функционального анализа. Задачи: вычислить норму оператора, вычислить норму функционала; локализовать спектр ограниченного оператора; решить с помощью преобразования Фурье задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.


Усл. печ. л. Тираж