Geum.ru

Программа обсуждена на заседании кафедры Математики фнти

Вид материалаПрограмма

Содержание


II. Численное интегрирование
IV. Приближение дифференциальных и интегральных операторов
V.Нелинейные уравнения и задачи минимизации
VI. Прямые методы решения линейных систем и задач на собственные значения
Список литературы
Подобный материал:

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ


Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Московский физико-технический институт

(государственный университет)


УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе

Ю.А. Самарский

____________________2008 г.


П Р О Г Р А М М А


по курсу:  МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ

по направлению  511600

факультет  ФНТИ

кафедра  МАТЕМАТИКИ ФНТИ

курс III

семестр 5

лекции  32 часа Экзамен нет

практические(семинарские)

занятия  32 часа Зачет 5 семестр

лабораторные занятия – нет Самостоятельная работа

  2 часа в неделю

Всего часов  64


Программу составил к.ф.-м.н., доц. С.А. Горейнов

Программа обсуждена на заседании

кафедры Математики ФНТИ

25 декабря 2007 года


Заведующий кафедрой С.Ю. Доброхотов

I. Приближение функций
  1. Принцип максимального объема, теорема о выборе узлов интерполяции.
  2. Различные формы интерполяционного многочлена, оценка погрешности интерполяции на отрезке.
  3. Оценки констант Лебега. Теорема Фабера-Бернштейна. Оценка для чебышевской сетки (без доказательства). Эллипсы Бернштейна.
  4. Вариационное свойство естественных сплайнов.
  5. Погрешность сплайн-интерполяции, квазилокальность (на примере кубических сплайнов).
  6. Основные свойства B-сплайнов.
  7. Ортогональные всплеск-преобразования.
  8. Биортогональные всплеск-преобразования, адаптация (лифтинг).


II. Численное интегрирование
  1. Интерполяционные квадратурные формулы.
  2. Квадратура Гаусса-Якоби.
  3. Экстраполяция Ричардсона. Адаптивные формулы, правило Рунге.
  4. Интегрирование функций с особенностями, интегрирование быстроосциллирующих функций.


III. Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений
  1. Методы Монте-Карло, оценка погрешности.
  2. Линейные, инверсивные конгруэнтные генераторы, генератор И.М. Соболя.


IV. Приближение дифференциальных и интегральных операторов
  1. Одношаговые явные методы: Эйлера, Рунге-Кутты.
  2. Одношаговые неявные методы: Эйлера, Кранка-Николсон.
  3. Многошаговые, многозначные методы: Адамса, Гира.
  4. Краевые задачи. Жесткие системы. Метод прогонки.
  5. Конечные разности. Теорема Филиппова.
  6. Метод априорных оценок, неравенство Пуанкаре.
  7. Спектральный признак устойчивости.
  8. Принцип замороженных коэффициентов.
  9. Конечные элементы. Проекционная теорема, оценка точности для кусочно-линейного базиса.
  10. Проекционная теорема для компактно возмущенного оператора.


V.Нелинейные уравнения и задачи минимизации
  1. Метод Ньютона, метод секущих в одномерном случае. Отделение корней.
  2. Одномерная и многомерная минимизация. Релаксация, дробление шага.
  3. Метод скорейшего спуска.
  4. Квазиньютоновские методы, формула BFGS.


VI. Прямые методы решения линейных систем и задач на собственные значения
  1. Треугольное разложение матриц в симметричном и несимметричном случае.
  2. Итерации подпространств, понятие о QR-, LR-, qd- алгоритмах. Сходимость к верхне-треугольному виду для матриц с простым спектром.
  3. Сдвиги для QR- алгоритма, ускорение сходимости.
  4. Сингулярное разложение. Билинейные и мультилинейные приближения.


VII. Вариационные методы решения линейных систем и частичных спектральных задач
  1. Метод Ланцоша в симметричном и несимметричном случае. Оценки сходимости. Реортогонализация, обрыв метода в несимметричном случае.
  2. Метод Арнольди. Оценки сходимости.
  3. Нелинейная сходимость метода сопряженных градиентов, метода минимальных невязок. Оценки типа Аксельссона.


VIII. Быстрые иерархические методы
  1. Быстрый прямой метод для сепарабельных ленточных матриц.
  2. Метод вложенных рассечений, теорема о сепараторе.
  3. Основные элементы многосеточного метода Р.П. Федоренко.
  4. Быстрое дискретное преобразование Фурье.
  5. Матрично-векторное умножение и обращение циркулянтных, теплицевых матриц.



СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Федоренко Р. П. Введение в вычислительную физику. – М.: Изд. МФТИ, 1994.

2. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И. Вычислительные методы. Том I. – М.: Наука, 1976.

3. Тыртышников Е. Е. Краткий курс численного анализа. – М.: ВИНИТИ, 1994.

4. Чижонков Е.В. Лекции по курсу «Численные методы». – М.: Мехмат МГУ, 2006.

5. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. – М.: Мир, 2001.

6. Бахвалов Н. С., Лапин А. В., Чижонков Е. В. Численные методы в задачах и упражнениях. – М.: Высшая школа, 2000.


В курсе предусмотрены 2 контрольные работы и Лабораторный практикум.

1-я контрольная работа проводится по завершении раздела IV.

2-я контрольная работа проводится по завершении раздела VIII.


Лабораторный практикум.

Применение пакетов LAPACK, ARPACK, FFTPACK при решении модельных задач интегрирования обыкновенных уравнений, уравнений Пуассона, конвекции-диффузии, теплопроводности.


Усл. печ. л. Тираж