Программа обсуждена на заседании кафедры Математики фнти

Вид материала

Программа

Содержание Линейные системы с постоянными коэффициентами 2 домашних задания Список основной литературы

Подобный материал:

• Программа обсуждена на заседании кафедры Математики фнти, 45.15kb.
• Программа обсуждена на заседании кафедры Математики фнти, 29.91kb.
• Программа обсуждена на заседании кафедры Математики фнти, 38.01kb.
• Программа обсуждена на заседании кафедры Математики фнти, 27.07kb.
• Программа обсуждена на заседании кафедры Математики фнти, 80.49kb.
• Программа обсуждена на заседании кафедры Математики фнти, 43.63kb.
• Программа обсуждена на заседании кафедры Математики фнти, 28.33kb.
• Программа обсуждена на заседании кафедры Математики фнти, 75.2kb.
• Программа обсуждена на заседании кафедры Математики фнти, 45.62kb.
• Программа обсуждена на заседании кафедры Математики фнти, 58.04kb.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ


Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Московский физико-технический институт

(государственный университет)


УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе

Ю.А. Самарский

____________________2008 г.


П Р О Г Р А М М А


по курсу:  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

по направлению  511600

факультет  ФНТИ

кафедра  МАТЕМАТИКИ ФНТИ

курс II

семестр 4

лекции   32 часа Экзамен  4 семестр

практические(семинарские)

занятия   32 часа Зачет  нет

лабораторные занятия – нет Самостоятельная работа 

  2 часа в неделю

Всего часов   64


Программу составил д.ф.-м.н., проф. А.И. Нейштадт


Программа обсуждена на заседании

кафедры Математики ФНТИ

25 декабря 2007 года


Заведующий кафедрой С.Ю. Доброхотов

^ Линейные системы с постоянными коэффициентами

1. Линейные однородные системы уравнений с  переменными коэффициентами: теорема о продолжении решений.
2. Пространство решений линейной однородной системы уравнений. Фундаментальная система решений, фундаментальная матрица, определитель Вронского, формула Лиувилля-Остроградского.
3. Линейные неоднородные системы уравнений с  переменными  коэффициентами: общие свойства, метод вариации постоянных.
4. Линейное однородное  уравнение n-ого порядка с  переменными коэффициентами: общие свойства, пространство решений, линейная независимость и зависимость решений, фундаментальная система решений, определитель Вронского, формула Лиувилля-Остроградского.
5. Линейное неоднородное  уравнение n-ого порядка с  переменными коэффициентами:   общие свойства, метод вариации постоянных, формула Коши для общего решения.
6. Линейное однородное  уравнение 2-ого порядка с  переменными коэффициентами: теорема Штурма о перемежаемости нулей решений.
7. Линейное однородное  уравнение 2-ого порядка с  переменными коэффициентами: теорема сравнения Штурма, теорема Кнезера.
8. Задача Штурма-Лиувилля, существование бесконечной последовательности собственных чисел.
9. Линейные однородные системы уравнений с  периодическими коэффициентами. Оператор монодромиии. Мультипликаторы.  

Вопросы теории устойчивости

10. Теория Флоке - Ляпунова: общий вид фундаментальной матрицы линейной периодической системы,  приводимость к системе с  постоянными коэффициентами.
11. Устойчивость линейных однородных систем: основные определения. Устойчивость систем с постоянными и периодическими коэффициентами.
12. Устойчивость и сильная устойчивость линейных  гамильтоновых  систем с постоянными коэффициентами. Расположение и структура множества собственных чисел.

13. Устойчивость и сильная устойчивость линейных гамильтоновых  систем с периодическими  коэффициентами. Расположение и структура множества мультипликаторов.

Параметрический резонанс.


14. Характеристические показатели Ляпунова.  Ляпуновский спектр линейной системы с непрерывной ограниченной матрицей.

15. Устойчивость по Ляпунову. Основные определения: устойчивость, асимптотическая устойчивость, неустойчивость. Устойчивость по Ляпунову в линейных системах.
16. Функции Ляпунова. Теорема Ляпунова об устойчивости.
17. Теорема Ляпунова об  асимптотической устойчивости.
18.  Функция Четаева.  Теорема Четаева о неустойчивости.
19.  Теорема об исследовании равновесия на асимптотическую устойчивость  по линейному приближению.

Линейные уравнения в частных производных первого порядка

20. Линейные уравнения в частных производных 1-го порядка, их характеристики и общее решение.


В курсе предусмотрены ^ 2 домашних задания (номера даны по задачнику [8] в списке литературы) и 2 контрольные работы.


1-е домашнее задание выдается на 1-oй неделе 4-го семестра, оно содержит задачи по темам: особые точки линейных систем на плоскости, линейные уравнения с переменными коэффициентами, фазовые портреты, краевые задачи, зависимость решений от начальных условий и параметров, приближенное решение дифференциальных уравнений. Срок сдачи – 9-я неделя 4-го семестра.


Задачи 1-го Задания


1. особые точки линейных систем на плоскости: [8] 963, 965, 967, 968, 973, 975, 985, 989, 999.


2. линейные уравнения с переменными коэффициентами: [8] 663, 667, 669, 679, 697, 703, 709, 713, 715, 721, 723, 725, 731, 733, 959, 960.


3. фазовые портреты: [8] 1025, 1027, 1045, 1048.


4. краевые задачи: [8] 759, 761, 771, 783, 785.


5. зависимость решений от начальных условий и параметров, приближенное решение дифференциальных уравнений: [8] 1069, 1071, 1073, 1075, 1081, 1083, 1089, 1095, 1123, 1129.

1-я контрольная работа проводится по завершении тем: особые точки линейных систем на плоскости, линейные уравнения с переменными коэффициентами, фазовые портреты, краевые задачи, зависимость решений от начальных условий и параметров, приближенное решение дифференциальных уравнений (9-я неделя 4-го семестра). Она содержит задачи на эти темы.


2-е домашнее задание выдается на 9-oй неделе 4-го семестра, оно содержит задачи по темам: теория устойчивости, линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка. Срок сдачи – 16-я неделя 4-го семестра.


Задачи 2-го Задания


6. теория устойчивости: [8] 887, 891, 901, 903, 905, 911, 919, 921, 927, 929, 945, 947, 957, 963, 965, 967, 968, 973, 975, 985, 989, 999.

7. линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка: [8] 1185, 1187, 1189, 1193, 1199, 1207, 1209.


2-я контрольная работа проводится по завершении тем: теория устойчивости, линейные уравнения в частных производных первого порядка (16-я неделя 4-го семестра). Она содержит задачи на эти темы.


^ СПИСОК ОСНОВНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Изд. третье. – М.: Наука, 1984.

2. Бабенко К.И. Основы численного анализа. – М.: Наука, 1986.

3. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. – М.: Наука, 1967.

4. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. шестое. – М.: Наука, 1970.

5. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. – М.: Физматгиз, 1961.

6. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1961.

7. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1969.


3

8. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Изд. четвертое. – М.: Наука, 1973.


СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. второе. – Ижевск: Удмуртский университет, 1984.

2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. Изд. третье. – М.: Наука, 1989.

3. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. – Гостехиздат. 1955.


Усл. печ. л. Тираж