Программа вступительного экзамена в магистратуру по направлению 050200 «Физико-математическое образование», Магистерская программа «Математическое образование»

Вид материала

Содержание

Пояснительная записка
Требования к уровню подготовки, к поступающим в магистратуру по направлению 050200 Физико-математическое образование магистерска
Критерии оценки уровня подготовки экзаменуемого
Программа вступительного экзамена
Основные алгебраические структуры. Элементы теории групп, колец и полей. Числовые поля.
Векторные пространства. Евклидовы пространства.
4. Системы линейных уравнений. Матрицы и определители.
Линейные отображения.
Теория делимости в кольце целых чисел.
Теория сравнения. Диофантовы уравнения.
8. Теория многочленов от одной и нескольких переменных. Многочлены над числовыми полями.
9. Основные числовые системы.
10. Элементы теории алгоритмов.
Вопросы к вступительному экзамену по алгебре, теории чисел, числовым системам, математической логике, теории алгоритмов
II. Программа по геометрии
Вопросы к вступительному экзамену по геометрии
Программа по математическому анализу.
II. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
Вопросы к вступительному экзамену по математическому анализу
IV. Программа по теории и методике обучения математике
...
Полное содержание

Подобный материал:

1 2 3 4

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

«Утверждаю»

Руководитель педагогического института ФГОУ ВПО ЮФУ

д.п.н., профессор В.И. Мареев

ПРОГРАММА

ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА В МАГИСТРАТУРУ

по направлению 050200 «Физико-математическое образование»,

Магистерская программа «Математическое образование»

Ростов-на-Дону

2007 год

Составители:

Полякова Т.С. – доктор педагогических наук, профессор,

Чалов А.Н. – доктор педагогических наук, профессор,

Поляков Н.А. – кандидат физико-математических наук, профессор,

Князева Л.Е. – кандидат педагогических наук, доцент,

Романов Ю.В. – кандидат педагогических наук, доцент,

Куприянова Г.Я. – кандидат технических наук, доцент,

Бреус И.А. - кандидат педагогических наук, доцент,

Драгилева Л.Л. - кандидат физико-математических наук, доцент.

Программа утверждена ученым советом факультета математики и информатики педагогического института ФГОУ ВПО ЮФУ

Протокол №_____________ от «_________» ____________________2007 г.

Декан факультета: Князева Л.Е.- кандидат педагогических наук, доцент.

Программа принята в фонд учебно-методического управления педагогического института ФГОУ ВПО ЮФУ

_______________________________________ 2007 года

Программа утверждена ученым советом педагогического института

ФГОУ ВПО ЮФУ

Протокол №_____________ от «_________» _____________________ 2007 года

Председатель ученого совета педагогического института

ФГОУ ВПО ЮФУ

профессор В.И. Мареев

^ ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Программа вступительного экзамена в магистратуру по направлению 050200 Физико-математическое образования магистерская программа «Математическое образование» интегрирует программы фундаментальных математических курсов «Основы дискретной математики», «Математические модели, методы и теории», «Алгебра и теория чисел», «Математическая логика», «Геометрия», «Математический анализ» и курса «Технология и методика обучения математики». Она составлена в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по направлению 050200 «Физико-математическое образование», профессиональный образовательный профиль «Математика».

Основная цель вступительного экзамена в магистратуру по направлению 050200 магистерская программа «Математическое образование» - выявить уровень общей математической культуры абитуриентов, поступающих в магистратуру, проконтролировать их знания по всем фундаментальным математическим дисциплинам и теории и методики обучения математике которые обеспечивают содержательный компонент подготовки выпускника к продолжению обучения в магистратуре по направлению 050200 Физико-математическое образование магистерская программа «Математическое образование».

^ Требования к уровню подготовки, к поступающим в магистратуру по направлению 050200 Физико-математическое образование магистерская программа

«Математическое образование»

Выпускник, получивший квалификацию «Бакалавр физико-математического образования», должен быть готов

осуществлять обучение учащихся в соответствии с требованиями государственных образовательных стандартов;
использовать современные технологии обучения в практической деятельности;
участвовать в разработке образовательных программ (школьный компонент), нести ответственность за реализацию их в полном объеме в соответствии с учебным планом и графиком учебного процесса;
организовывать контроль знаний, умений и навыков учащихся по математике;
создавать учебно-методического базу по предмету;
поддерживать учебную дисциплину, контролировать режим посещения занятий;
соблюдать права и свободы учащихся;
повышать свою профессиональную квалификацию.

Выпускник, получивший квалификацию «Бакалавр физико-математического образования», должен знать

содержание и методику преподавания математики в общеобразовательных школах;
теоретические основы школьного курса математики;
современные технологии обучения математике;
научные основы организации учебного процесса в общеобразовательных учреждениях.

Выпускник, получивший квалификацию «Бакалавр физико-математического образования», должен уметь применять

прогрессивные методы преподавания математических дисциплин;
современные формы контроля знаний, умений и навыков учащихся;
различные формы организации внеклассных занятий по математике.

В ходе подготовки к вступительному экзамену по математике необходимо усвоить основные понятия алгебры, теории чисел, математической логики, геометрии, математического анализа, о которых нужно знать:

определение понятия;
символическую запись;
условие существования;
наличие модели понятия (если она существует);
свойства понятия, примеры.

Содержание понятия должно быть наполнено знанием аксиом, основных теорем, уравнений, формул и правил. При этом требуется знать:

формулировку аксиомы, теоремы, правила;
символическую запись аксиомы, теоремы, формулы, уравнения, правила;
доказательство теоремы, вывод формулы или уравнения, его решение;
условия, при которых данная формула, уравнение или теорема имеет данный вид;
смысл всех величин и символов, входящих в формулу (уравнение);
примеры применения аксиомы, теоремы, формулы, уравнения, правила.

^ Критерии оценки уровня подготовки экзаменуемого

При ответе на вопрос, поставленный в билете, абитуриент должен изложить основные теоретические сведения по данному вопросу: привести формулировки всех определений, аксиом, теорем, правил и формул (если теорем (лемм) уравнений или формул, требующих доказательств и выводов несколько, то доказывается одна теорема (лемма) или выводится одна формула (уравнение) либо по выбору студента, либо по указанию экзаменатора); кроме теоретических выводов ответ должен содержать пример (или примеры), подтверждающие теоретические выводы.

Оценка «отлично» - абитуриент обнаруживает глубокое, полное раскрытие содержания учебного материала, понимание сущности рассматриваемых явлений и закономерностей, законов и теорий, выделение существенных связей в рассматриваемых явлениях, умение давать точное определение основным понятиям, умение связывать теорию с практикой, решать практические задачи, умение высказывать свои суждения аргументировано, возможность профессионально грамотно излагать свой ответ.

Оценка «хорошо» - абитуриент обнаруживает достаточное овладение учебным материалом, владение понятийным аппаратом, верное использование понятийного аппарата, ориентацию в изученном материале, возможность демонстрировать знания для решения практических задач, но затрудняется в приведении примеров. При ответе допускает отдельные неточности.

Оценка «удовлетворительно» - абитуриент проявляет знания, излагает основное содержание учебного материала, но раскрывает материал не полно, не последовательно, допускает неточности в определении понятий, не умеет доказательно обосновать свои суждения.

Оценка «неудовлетворительно» - абитуриент демонстрирует разрозненные знания бессистемные знания, не выделяет главное и второстепенное, допускает ошибки в определении понятий, беспорядочно, неуверенно излагает материал, не может применять знания для решения практических задач, в соответствии с требованиями программы или вообще отказывается от ответа.

^ ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА

Программа по алгебре, теории чисел, основам дискретной математике,

математической логике.

Элементы математической логики, теории множеств, комбинаторики.

Понятие высказывания. Высказывательная переменная. Основные логические связки и логические операции над высказываниями. Формулы алгебры высказываний и их логические возможности. Равносильные формулы. Тавтологии и противоречия. Законы логики. Предикаты. Тождественно истинные, тождественно ложные предикаты. Область истинности предиката. Логические операции над предикатами. Область истинности отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции двух предикатов. Кванторные операции над предикатами.

Множество. Отношения между множествами, их свойства. Операции над множествами и их свойства. Декартово произведение множеств. Соответствия, свойства соответствий. Суперпозиция соответствий. Функции, отображения.

Бинарные отношения. Отношение эквивалентности и разбиение множества на классы. Фактор-множество. Теорема о связи отношения эквивалентности и разбиения множества

Различные виды соединений элементов и их количества.

^ Основные алгебраические структуры. Элементы теории групп, колец и полей. Числовые поля.

Алгебраические операции и алгебры. Бинарные операции и их свойства. Определение, примеры и простейшие свойства групп. Группы преобразований. Подстановки. Подгруппы группы, смежные классы группы по подгруппе. Нормальные делители. Примеры. Конечные группы Морфизмы полугрупп, групп. Основные теоремы об изоморфизмах полугрупп, групп.

Определение, примеры и простейшие свойства колец и полей. Подкольца и идеалы. Числовые кольца и поля. Наименьшее числовое поле. Морфизмы колец, полей. Основные теоремы об изоморфизмах колец, полей.

^ Векторные пространства. Евклидовы пространства.

Определение, примеры и простейшие свойства линейных (векторных) пространств. Арифметическое n-мерное векторное пространство над данным полем и его свойства. Линейная зависимость векторов. Свойства линейной зависимости, базис и размерность конечномерного векторного пространства.

Определение и свойства подпространства линейного пространства. Линейная оболочка и ее свойства. Базис и размерность конечномерных линейных пространств. Матрица перехода от одного базиса к другому. Изоморфизм линейных пространств. Определение и свойства евклидова пространства. Изоморфизм евклидовых пространств.

^ 4. Системы линейных уравнений. Матрицы и определители.

Системы линейных уравнений. Элементарные преобразования уравнений системы. Равносильные системы. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений, фундаментальная система решений. Связь между решениями неоднородной СЛУ и соответствующей однородной СЛУ. Ранг матрицы. Различные способы вычисления ранга матрицы. Критерий совместности СЛУ (теорема Кронекера-Капелли). Действия над матрицами и их свойства. Определитель квадратной матрицы и его свойства. Вычисление определителей. Обратная матрица и ее вычисление. Критерий обратимости квадратной матрицы. Различные методы решения СЛУ с квадратной матрицей (метод Гаусса, матричный метод, метод Крамера).

^ Линейные отображения.

Определение линейного преобразования (линейного оператора). Линейные операторы конечномерных линейных пространств. Ранг и дефект, ядро и образ линейного оператора. Связь между матрицами линейного оператора относительно различных базисов. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

^ Теория делимости в кольце целых чисел.

Области целостности. Примеры. Обратимые и ассоциированные элементы области целостности. Делимость в области целостности и ее свойства. НОД и НОК двух элементов области целостности и их свойства. Евклидовы кольца. Алгоритм Евклида для вычисления НОД в евклидовом кольце. Основная теорема арифметики.

^ Теория сравнения. Диофантовы уравнения.

Сравнения и их свойства. Функция Эйлера. Теоремы Эйлера и Ферма. Линейные сравнения и методы их решения. Диофантовы уравнения 1-ой степени с двумя неизвестными и их целочисленные решения. Арифметические приложения теории сравнений: вывод признаков делимости, определение длины периода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

^ 8. Теория многочленов от одной и нескольких переменных. Многочлены над числовыми полями.

Многочлены от одной переменной. Корни многочлена. Теорема Безу. Схема Горнера. Разложение многочлена по степеням линейного двучлена. Делимость многочлена и ее свойства. НОД, НОК многочленов и их свойства. Алгоритм Евклида. Многочлены над полем комплексных чисел. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена над полем комплексных чисел на линейные множители. Теорема Виета. Многочлены над полем действительных чисел. Неприводимые над полем действительных чисел многочлены. Разложение многочлена над полем действительных чисел на неприводимые линейные множители и множители второй степени с отрицательным дискриминантом. Многочлены над полем рациональных чисел. Теорема о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами. Достаточное условие неприводимости многочлена с целыми коэффициентами над кольцом целых чисел (над полем рациональных чисел) (критерий Эйзенштейна).

Простые алгебраические расширения полей и их строения. Алгебраические числа. Минимальный многочлен. Освобождение от иррациональности в знаменателе. Поле алгебраических чисел.

Многочлены от нескольких переменных. Симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах.

^ 9. Основные числовые системы.

Аксиомы Пеано. Аксиоматическое определение системы натуральных чисел. Принцип полной математической индукции. Сложение и умножение на множестве натуральных чисел и их свойства. Отношение порядка на множестве натуральных чисел и его свойства.

Алгебраическая мотивировка расширения множества натуральных чисел. Принцип минимального расширения. Определение, существование и единственность кольца целых чисел. Действия на множестве целых чисел и их свойства. Отношение порядка на множестве целых чисел и его свойства.

Алгебраическая мотивировка расширения кольца целых чисел. Определение, существование и единственность поля рациональных чисел. Свойства поля рациональных чисел. Действия на множестве рациональных чисел и их свойства. Отношение порядка на множестве рациональных чисел и его свойства.

Алгебраическая мотивировка расширения поля рациональных чисел. Фундаментальные последовательности и их свойства. Метод Кантора построения поля действительных чисел. Сечения Дедекинда. Свойства сечений. Метод Дедекинда построения поля действительных чисел. Свойства поля действительных чисел. Действия на множестве действительных чисел их свойства. Отношение порядка на множестве действительных чисел и его свойств.

Алгебраическая мотивировка расширения поля действительных чисел. Определение, существование и единственность поля комплексных чисел. Свойства поля комплексных чисел.

Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме (умножение, деление, возведение в натуральную степень (формула Муавра), извлечение корня натуральной степени из комплексного числа). Первообразные корни. Геометрическая интерпретация корня натуральной степени из единицы и из произвольного комплексного числа.

^ 10. Элементы теории алгоритмов.

Понятие алгоритма и его характерные черты. Необходимость уточнения понятия алгоритма, основные направления в подходах к определению понятия алгоритма. Построение класса рекурсивных функций. Простейшие функции. Операторы: суперпозиции, примитивной рекурсии, минимизации. Устройство и работа машины Тьюринга. Реализация в машине Тьюринга алгоритма вычисления функции f(n) = n+5, где n - натуральное число.

^ ВОПРОСЫ К ВСТУПИТЕЛЬНОМУ ЭКЗАМЕНУ ПО АЛГЕБРЕ, ТЕОРИИ ЧИСЕЛ, ЧИСЛОВЫМ СИСТЕМАМ, МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ, ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ

Понятие высказывания. Высказывательная переменная. Основные логические связки и логические операции над высказываниями.
Законы логики.
Множество. Отношения между множествами, их свойства. Операции над множествами и их свойства.
Соответствия, свойства соответствий. Суперпозиция соответствий. Функции, отображения.
Бинарные отношения. Отношение эквивалентности и разбиение множества на классы. Фактор-множество. Теорема о связи отношения эквивалентности и разбиения множества.
Определение, примеры и простейшие свойства групп.
Основные теоремы об изоморфизмах полугрупп, групп.
Определение, примеры и простейшие свойства колец и полей.
Основные теоремы об изоморфизмах колец, полей.
Определение, примеры и простейшие свойства линейных (векторных) пространств. Арифметическое n-мерное векторное пространство над данным полем и его свойства.
Линейная зависимость векторов. Свойства линейной зависимости, базис и размерность конечномерного векторного пространства.
Системы линейных уравнений. Элементарные преобразования уравнений системы. Равносильные системы. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Критерий совместности СЛУ (теорема Кронекера-Капелли).
Определение линейного преобразования (линейного оператора). Линейные операторы конечномерных линейных пространств. Ранг и дефект, ядро и образ линейного оператора.
Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
Основная теорема арифметики.
Сравнения и их свойства. Функция Эйлера. Теоремы Эйлера и Ферма.
Линейные сравнения и методы их решения.
Арифметические приложения теории сравнений: вывод признаков делимости, определение длины периода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.
Многочлены над полем комплексных чисел. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена над полем комплексных чисел на линейные множители. Теорема Виета.
Многочлены над полем рациональных чисел. Теорема о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами. Достаточное условие неприводимости многочлена с целыми коэффициентами над кольцом целых чисел (над полем рациональных чисел) (критерий Эйзенштейна).
Аксиомы Пеано. Аксиоматическое определение системы натуральных чисел. Принцип полной математической индукции. Сложение и умножение на множестве натуральных чисел и их свойства. Отношение порядка на множестве натуральных чисел и его свойства.
Алгебраическая мотивировка расширения множества натуральных чисел. Принцип минимального расширения. Определение, существование и единственность кольца целых чисел. Действия на множестве целых чисел и их свойства. Отношение порядка на множестве целых чисел и его свойства.
Алгебраическая мотивировка расширения кольца целых чисел. Определение, существование и единственность поля рациональных чисел. Свойства поля рациональных чисел. Действия на множестве рациональных чисел и их свойства. Отношение порядка на множестве рациональных чисел и его свойства.
Алгебраическая мотивировка расширения поля рациональных чисел. Фундаментальные последовательности и их свойства. Метод Кантора построения поля действительных чисел. Сечения Дедекинда. Свойства сечений. Метод Дедекинда построения поля действительных чисел. Свойства поля действительных чисел.
Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме (умножение, деление, возведение в натуральную степень (формула Муавра), извлечение корня натуральной степени из комплексного числа).

Литература

Алгебра и теория чисел

Курош А.Г. Курс высшей алгебры – М.: Просвещение, 1977.
Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел – М.: Высшая школа, 1978.
Куликов Л.Е. Алгебра и теория чисел – М.: Высшая школа, 1979.
Кострикин А.И. Введение в алгебру – М.: Наука, 1979.
Лысенко Ф.Ф. Алгебра и теория чисел. Конспект лекций – РГПУ, 2000.
Завало С.Т. и др. Алгебра и теория чисел – Киев: Высшая школа, 1980.
Энциклопедия элементарной математики. Арифметика – ГИТТЛ, 1951.
Виндебг Э.Б. Алгебра многочленов – М.: Просвещение, 1980.
Бухштаб А.А. Теория чисел – М.: Просвещение, 1966.
Фадеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебры – М.: Наука, 1979.
Куликов А.Я. и др. Сборник задач по линейной алгебре – М.: Наука, 1993.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре – М.: Наука, 1974.
Солодовников А.С., Родина М.А. Задачник – практикум по алгебре – М.: Просвещение, 1985.
Нечаев В.А. Задачник – практикум по алгебре – М.: Просвещение, 1983.
Михелович Ш. Теория чисел.
Виноградов И.М. Основы теории чисел – М.: Наука, 1976.

Основы дискретной математики

Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра. М., «Просвещение», 1981 г.
Эдельман С.Л. Математическая логика. М.: Наука, 1975.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. М., «Высшая школа», 2001г.
Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. М., «Высшая школа», 2000 г.
Курош А.Г. Курс общей алгебры. М., «Высшая школа», 2000 г.
Столл Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. М., «Мир», 1971 г.
Фрид Э. Элементарное введение в абстрактную алгебру. М., «Мир», 1989 г.

Математическая логика и теория алгоритмов

1. Игошин В.И. Математическая логика и теория алгоритмов. Саратов: Изд. Сарат. ун-та, 1991.

2. Игошин В.И. Задачник-практикум по математической логике М.: Просвещение, 1986.

3. Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. М.: Наука, 1972.

4. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1976.

5. Новиков П.С. Элементы математической логики. М.: Наука, 1973.

6. Эдельман С.Л. Математическая логика. М.: Наука, 1975.

7. Лихтарников Л.М., Сукачёва Т.Г. Математическая логика. Курс лекций, задачник-практикум. С.-Пб, Изд-во «Лань», 1998.

8. Гетманова А.Д. Логика. М.: Новая школа, 1995.

Численные методы

Демидович Б.Н., Марон И.А. Основы вычислительной математики. -М., 1978.
Березин И.С., Жидов Н.П. Методы вычислений. Ч.1. М., 1966.
Заварыкин В.М., Житомирский В.Г., Лапчик М.П. Численные методы. -М., 1992.
Самарский А.А. Введение в численные методы. - М., 1987.
Абросимов Л.И. Конспект лекций по курсу моделирования систем. Модели с элементами алгебры логики. -М., 1978.
Колесников Г.С., Прохоров А.Г. Иммитационное моделирование систем. -М., 1990.
Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. -М.: Наука, 1987.
Амелькин В.В., Садовский А.Л. Математические модели и дифференциальные уравнения. - Минск: ВШ,1982.
Игнатенко В.Н., Краскевич В.Е., Юрченко Ю.П. Моделирование систем. Текст лекций. - Киев, 1978.

Исследование операций

Л.Я. Куликов, Алгебра и теория чисел – М.: Высшая школа, 1979.
Алманов С.А., Тихонов А.В. Теория оптимизации в задачах и упражнениях – М.: Наука, 1991.
Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г. Линейное программирование, теория, методы и приложения – М.: Наука, 1969.
Зуховицкий С.И., Авдеева Л.И. Линейное и выпуклое программирование – М.: Наука, 1967.
Карманов В.Г. Математическое программирование – М.: Наука, 1975.
Гасс С. Линейное программирование (методы и приложения) – М.: Физматгиз, 1961.
Сухарев А.Г., Тихонов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации – М.: Гл. ред. ф.-м. лит., 1986.
Вентцель Е.С. Исследование опрераций – М.: Советское радио, 1972.
Гермейер Ю.Б., Введение в теорию исследования операций, М.: Наука, 1971.
Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. Высшая математика: Математическое программирование: Учеб.- Под общ. ред. А.В.Кузнецова. – Мн.:Выш.шк.,2001.
Кузнецов А.В., Костевич
Вайда Ф. Теория игр и линейное программирование, в сборнике «Линейные неравенства и смежные вопросы» - М.: ИЛ, 1959.
Дрешер М. Стратегические игры – М.: Советское радио, 1964.
Льюс Р., Райфа Х. Игры и решения – М.: ИЛ, 1961.
Беллман Р. Динамическое программирование – М.: ИЛ, 1959.
Лейтман Д. Введение в теорию оптимального управления – М.: Наука, 1968.

^ II. Программа по геометрии

Дисциплина «Геометрия» состоит из следующих курсов:

1.Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.

2.Основания геометрии.

3.Дифференциальная геометрия и топология.

4.Проективная геометрия. Конструктивная геометрия. Методы изображений.

Пропедевтическим является курс «Математические модели, методы и теории».

I тема. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Векторное пространство. Умножение 2 и 3 и большего числа векторов, скалярное, векторное, векторно-скалярное и векторно-векторное произведения векторов. Роль, значимость векторов при изучении геометрии, в аксиоматическом построении научного знания.

II тема. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Преобразование плоскости. Группы и подгруппы преобразований. Преобразование движения плоскости. Подобие. Групповой подход к построению геометрии.

III тема. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Метод координат на плоскости и в пространстве. Уравнения, их геометрическое истолкование. Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Кривые и поверхности второго порядка.

IV тема. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Моделирование проективной плоскости и проективного пространства. Группа проективных преобразований. Коллинеации и корреляции.

V тема. МЕТОДЫ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Центральное и параллельное проектирование. Метод Монжа. Проекционный чертеж. Требования к нему. Понятие полноты и метрической определенности чертежа. Позиционные и метрические задачи. Задачи на построение сечений геометрических тел.

VI тема. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Геометрия плоских и пространственных кривых. Сопровождающий трехгранник кривой. Уравнения касательной, главной нормали, бинормали, спрямляющей, соприкасающейся и нормальной плоскостей. Формулы Френе. Кривизна и кручение кривой.

Поверхности. Параметризация. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Первая квадратичная форма и ее приложения. (Длина линий на поверхности, угол между линиями на поверхности, площадь поверхности.). Вторая квадратичная форма поверхности. Кривизна линий на поверхности. Кривизна поверхности. Замечательные линии на поверхности. Внутренняя геометрия поверхности.

VII тема. ЭЛЕМЕНТЫ ТОПОЛОГИИ

Топологические пространства. Гомеоморфизм. Топологические свойства проективной плоскости. Топологическая классификация замкнутых поверхностей.

VIII тема. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ

Аксиоматический метод построения геометрии. Требования к системе аксиом. Системы аксиом Гильберта, Вейля. Аксиоматика школьного курса геометрии.

Геометрия Лобачевского. Историческая значимость. Непротиворечивость геометрии Лобачевского. Общее и различное в теории параллельных на плоскостях Евклида, Лобачевского и Римана.

^ ВОПРОСЫ К ВСТУПИТЕЛЬНОМУ ЭКЗАМЕНУ ПО ГЕОМЕТРИИ

Сущность координатного метода и координатно-векторного метода в геометрии. Пример исследования взаимного положения двух прямых на плоскости указанным методом.
Скалярное произведение векторов, его свойства, приложения.
Векторное произведение векторов, его свойства, приложения.
Смешанное произведение векторов, его свойства, приложения.
Изучение кривых второго порядка в канонической форме на примере одной из них.
Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
Метрические задачи теории прямой в пространстве: расстояние от точки до прямой, расстояние между прямыми в пространстве, угол между прямыми.
Взаимное расположение прямой и плоскости.
Движения и их частные виды. Группа движений и её подгруппы.
Группа подобий плоскости, её подгруппы. Приложение к решению задач.
Группа аффинных преобразований плоскости и её подгруппы. Приложение аффинных преобразований к решению задач.
Проективная прямая и проективная плоскость. Различные модели проективной прямой и проективной плоскости.
Принцип двойственности и его роль в проективной геометрии. Примеры двойственных фигур и теорем.
Проективные преобразования. Коллинеации и корреляции. Группа проективных преобразований. Групповой подход к построению геометрии.
Изображения плоских и пространственных фигур в параллельной проекции.
Позиционные и метрические задачи на проекционном чертеже.
Аксиоматический метод построение научного знания. Требования к системе аксиом.
Система аксиом Гильберта евклидова пространства и ее непротиворечивость.
Система аксиом Вейля евклидова пространства и ее непротиворечивость.
Плоскость Лобачевского. Непротиворечивость системы аксиом плоскости Лобачевского.
Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского. Основные свойства параллельных и расходящихся прямых на плоскости Лобачевского.
Линии в евклидовом пространстве. Теория кривизны плоских и пространственных кривых.
Сопровождающий трёхгранник кривой. Формулы Френе.
Поверхности в евклидовом пространстве. Полная и средняя кривизны поверхности.
Первая квадратичная форма поверхности и ее приложения.

Blog

Программа вступительного экзамена в магистратуру по направлению 050200 «Физико-математическое образование», Магистерская программа «Математическое образование»

Содержание

Руководитель педагогического института ФГОУ ВПО ЮФУ

д.п.н., профессор В.И. Мареев