Программа курса :«Линейная алгебра и аналитическая геометрия»
Вид материала | Программа курса |
- Линейная алгебра и аналитическая геометрия, 103.33kb.
- Рабочая программа дисциплины (модуля) «Линейная алгебра и аналитическая геометрия», 275.82kb.
- Рабочая программа учебной дисциплины линейная алгебра и аналитическая геометрия уровень, 426.51kb.
- Лекции, час, 202.55kb.
- Рабочая программа учебной дисциплины ен. Ф. 01. Аналитическая геометрия и линейная, 148.75kb.
- Программа по дисциплине Линейная алгебра для студентов 1 курса дневного отделения факультета, 212.1kb.
- Учебно-методический комплекс учебной дисциплины ен. Ф. 01 Математика (аналитическая, 542.76kb.
- Линейная алгебра и аналитическая геометрия (Все, что доказывалось на лекциях — доказывать), 35.13kb.
- Рабочая программа «Механика и основы механики сплошных сред» Специальность 010400 физика,, 141.09kb.
- Вопросы к зачету по математике для направления «Сервис» по разделу «Линейная алгебра, 22.33kb.
Программа курса :«Линейная алгебра и аналитическая геометрия»
Группа АМ-05-6, 2 семестр.
- Линейный оператор. Действия над операторами. Пространство операторов. Образ и ядро оператора (подпространства). Ранг и дефект. Их свойства.(Сумма ранга и дефекта- размерность пространства, неравенства, связанные с рангом произведения. )
- Обратный оператор. Условия существования обратного оператора.( Нулевое ядро, ранг равен размерности пространства , невырожденность ).
- Линейный оператор в конечномерном пространстве . Матричное представление линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при смене базиса. Подобные матрицы.
- Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Собственные подпространства. Линейная независимость собственных векторов с разными собственными значениями. Оператор простой структуры.
- Характеристический многочлен линейного оператора. Его коэффициенты ( при двух старших степенях и свободный член ). Инвариантность характеристического многочлена, определителя и следа матрицы оператора относительно выбора базиса. Характеристическое уравнение . Нахождение собственных значений и собственных векторов оператора.
- Инвариантные подпространства . Примеры инвариантных подпространств ( включая Ker Pn(A) и ImPn(A)) . Теорема о характеристическом многочлене сужения оператора на инвариантное подпространство .Матрица линейного преобразования клеточно-диагональна т. и т.т., когда базис есть объединение базисов инвариантных подпространств.
- Если операторы А и В перестановочны, то ядро и образ одного из них инвариантны относительно другого.
- Связь кратности корня характеристического уравнения и размерности соответствующего собственного подпространства.
- Линейный оператор диагонализуем т. и т.т. , когда р(А)=0 , где р(t) – некоторый многочлен без кратных ( а для действительного линейного пространства и без комплексных ) корней, причем все собственные значения оператора – корни многочлена.
- Теорема Гамильтона-Кэли.
- Теорема о разложении комплексного линейного пространства в прямую сумму корневых подпространств оператора А .Обоснование названия ; «корневое подпространство». Вложение собственного подпространства в соответствующее корневое подпространство.
- Строение корневого подпространства. Нильпотентные операторы, показатель нильпотентности. Высота вектора. Присоединенные вектора. Жорданова цепочка. Циклические подпространства. Жорданов базис корневого подпространства. Жорданов базис всего пространства. Жорданова клетка. Жордановы форма матрицы. Теорема Жордана.
- Приведение к жордановой форме.
- Теорема о существовании базиса комплексного линейного пространства , в котором матрица оператора верхнетреугольна ..
- Аналог жордановой формы в действительном линейном пространстве.
- Унитарное (эрмитово) пространство. Сопряженный оператор ( его существование и единственность ).
- Свойства сопряженного оператора. Матрица сопряженного оператора ( в произвольном базисе ).
- Сопряженный оператор для оператора проектирования.
- Нормальный оператор. Характеристическое свойство нормального оператора. Матрица нормального оператора.
- Унитарный оператор и унитарная матрица. Эквивалентные определения.
- Эрмитов оператор и его собственные значения. Эрмитова матрица. Положительные операторы. Квадратный корень из неотрицательного оператора. Полярное разложение оператора .
- Операторы в евклидовом пространстве. Канонический вид матрицы нормального оператора.
- Ортогональные операторы и матрицы. Эквивалентные определения.
- Симметричные операторы. Свойства . Матрица симметричного оператора.
- Билинейные формы. Представление билинейной формы в виде суммы симметричной и кососимметричной . Преобразование матрицы билинейной формы при смене базиса.
- Квадратичные формы. Их связь с билинейными формами(Полярная билинейная форма. Связь со скалярным произведением .) Матрица квадратичной формы.
- Канонический вид квадратичной формы . Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа .
- Канонический вид квадратичной формы .Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Якоби.
- Нормальный вид квадратичной формы. Закон инерции.
- Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.
- Связь множества всех линейных форм на евклидовом пространстве Е с самим пространством Е. Связь пространства линейных операторов на Е с множеством билинейных форм. Теорема о приведении к главным осям.
- Теорема о приведении к каноническому виду пары форм.
- Кривые и поверхности второго порядка. Приведение уравнения поверхности (кривой) к каноническому виду ( без уравнений центра).
- Кривые и поверхности второго порядка. Центр поверхности. Уравнения центра. Центральные поверхности.
- Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка. Конические и цилиндрические поверхности. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида.
- Инварианты кривых и поверхностей второго порядка.
Список литературы.
- В.А.Ильин, Э.Г.Позняк Аналитическая геометрия.
- В.А.Ильин, Э.Г.Позняк .Линейная алгебра.
- В.Т.Харин, Ю.И.Сухарев . Линейная алгебра и аналитическая геометрия.
- А.И.Кострикин. Линейная алгебра ( Введение в алгебру , т.2).
- Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре.
- Винберг Э.Б. Курс алгебры.
- Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
- Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры.
- Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия.
- Мальцев А.И. Основы линейной алгебры.
- И.В.Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре.
- Д.В.Клетеник. Сборник задач по аналитической геометрии.
- Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре.