Программа по дисциплине Линейная алгебра для студентов 1 курса дневного отделения факультета экономистов-международников специальности 080102. 65 «Мировая экономика»

Вид материала

Содержание

2. Распределение учебных часов по дисциплине 6
7. Литература по дисциплине 16
Задачи дисциплины
Место дисциплины в системе профессионального образования
Требования к знаниям, умениям и навыкам обучающихся
2. Распределение учебных часов по дисциплине
3. Оценка успеваемости студентов
Балльно-рейтинговая система оценки знаний
4. Содержание дисциплины
5. Перечень экзаменационных вопросов
6. Вопросы и задачи для подготовки к экзамену
7. Литература по дисциплине

Подобный материал:

Всероссийская академия внешней торговли

Кафедра информатики и математики

«Утверждаю»

Проректор по учебной работе

________________А.А. Вологдин

« » _________________2010 г.

Программа по дисциплине

Линейная алгебра

для студентов 1 курса дневного отделения

факультета экономистов-международников

специальности 080102.65 «Мировая экономика»

Обсуждена и рекомендована

к утверждению на заседании кафедры.

Протокол № 1 от « 26 » августа 2010 г.

Москва, 2010

Разработчики программы: д. т. н., профессор Бауман Е.В.

к. ф.-м. н., профессор Басистов А.А.

Рецензент программы: д. ф.-м. н., профессор МГУ Закалюкин В.М.

Содержание

^ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ УЧЕБНЫХ ЧАСОВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ 6

4. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ 8

5. ПЕРЕЧЕНЬ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ВОПРОСОВ 9

6. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ 11

^ 7. ЛИТЕРАТУРА ПО ДИСЦИПЛИНЕ 16

1. ОРГАНИЗАЦИОННО - МЕТОДИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ

Цель дисциплины:

познакомить студентов с ролью и местом ряда основных понятий, моделей и методов линейной алгебры в математике и ее приложениях,
обратить внимание на основные принципы и особенности математического знания (универсальность, единство абстрактного и конкретного и др.),
продемонстрировать возможность и важность применения понятий и методов линейной алгебры в экономике и других социальных науках,
подготовить студентов к практическому использованию математических моделей и методов в экономике и управлении.

^ Задачи дисциплины:

дать определение базовых понятий линейной алгебры; изложить ряд теоретических сведений об этих понятиях, лежащих в основе практических приложений; привести примеры их использования в экономике, управлении и других областях;
способствовать выработке у студентов устойчивых навыков работы с этими основными математическими понятиями на уровне, соответствующем их дальнейшему прикладному применению;
сформировать у студентов представление о теоретических основах тех экономико-математических методов и моделей, которые будут изучаться в дальнейшем.

^ Место дисциплины в системе профессионального образования:

Программа дисциплины «Линейная алгебра» разработана на основе действующих нормативных документов.

Тематика дисциплины соответствует разделам «Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии» рубрики «Математика» (индекс ЕН. Ф.01) Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования РФ (специальность – 080102.65 «Мировая экономика»; квалификация: экономист), утвержденного 17 марта 2000 года.

^ Требования к знаниям, умениям и навыкам обучающихся:

Студенты должны знать определения, свойства основных понятий дисциплины, применять их в решении задач учебного характера, понимать особенности использования этих понятий в практических целях. В частности, должны быть освоены алгебраические операции над данными в векторной и матричной форме, методы решения систем линейных уравнений, исследование линейной зависимости систем векторов, отыскание собственных значений и собственных векторов квадратных матриц, исследование их продуктивности, различные способы задания простейших линейных геометрических объектов и исследования их взаимного расположения.
^

2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ УЧЕБНЫХ ЧАСОВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

№ темы	Наименование темы	Количество часов
		всего	из них по видам учебной работы
		всего	лекции	практич. занятия	самост. работа
1	Системы линейных уравнений.	11	4	4	3
2	Линейная зависимость, понятие базиса.	13	4	6	3
3	Матричные операции.	7	2	3	2
4	Определители квадратных матриц и их применение.	11	3	5	3
5	Собственные векторы и линейные экономические модели.	10	3	4	3
6	Элементы векторной алгебры.	6	2	2	2
7	Элементы аналитической геометрии.	15	4	8	3
Итого:		73	22	32	19

Текущий контроль: 2 контрольные работы;

Итоговый контроль: экзамен.

^ 3. ОЦЕНКА УСПЕВАЕМОСТИ СТУДЕНТОВ

ПРОМЕЖУТОЧНЫЙ КОНТРОЛЬ: по дисциплине проводятся две контрольные работы по следующим темам:

Свойства множеств решений системы линейных уравнений: решение системы уравнений методом Гаусса и по правилу Крамера.
Исследование линейной зависимости (независимости) системы векторов, нахождение ранга матрицы.
Операции над векторами и матрицами, отыскание обратных матриц, решение матричных уравнений.
Вычисление определителя квадратной матрицы.
Отыскание собственных значений и собственных векторов.
Нахождение матрицы прямых затрат и вектора равновесных цен в межотраслевом балансе, исследование продуктивности квадратной матрицы.
Элементы аналитической геометрии: прямые и плоскости в пространстве.

ИТОГОВЫЙ КОНТРОЛЬ: экзамен в первом семестре.

^ БАЛЛЬНО-РЕЙТИНГОВАЯ СИСТЕМА ОЦЕНКИ ЗНАНИЙ

Вид работы	Количество данных форм контроля в семестре	Максимальное количество баллов	Общее число баллов по данной форме контроля
Выполнение текущих заданий		10	10
Контрольные работы	2	20	40
Итого:			50

Экзамен: 50 баллов.
^

4. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Раздел 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.

Системы линейных уравнений.
Общий вид и примеры систем линейных алгебраических уравнений. Основные определения, классификация. Свойства решений однородных и неоднородных систем. Решение систем специального вида. Элементарные преобразования строк. Алгоритм Гаусса. Вид общих решений однородных и неоднородных систем.
Линейная зависимость, понятие базиса.
Определения и свойства линейной зависимости и независимости систем строк и столбцов, примеры; критерий линейной зависимости. Фундаментальная система решений неопределенной однородной системы линейных уравнений. Понятия линейного пространства, базиса и размерности.
Матричные операции.
Линейные операции над матрицами (сложение, умножение на числа); умножение, транспонирование, обращение матриц и их свойства.
Определители квадратных матриц и их применение.
Формулы для вычисления определителей второго и третьего порядка. Свойства определителей. Индуктивное определение; разложения по строкам и столбцам, другие способы вычисления. Применения: условия обратимости и вырожденности матриц, понятие ранга матрицы, теоремы Кронекера – Капели и Крамера.
Собственные векторы и линейные экономические модели.
Модель бездефицитной торговли. Собственные векторы и собственные значения матриц: определения, примеры, основные свойства и способы вычисления. Межотраслевой баланс, уравнения Леонтьева, понятие продуктивности, равновесные цены.
Элементы векторной алгебры. Системы координат.
Векторы на плоскости и в пространстве: определения и свойства операций, геометрический смысл линейной зависимости. Базисы и системы координат.
Элементы аналитической геометрии (геометрическая интерпретация систем линейных уравнений).
Уравнение множества точек на плоскости и в пространстве. Прямая на плоскости; прямая и плоскость в пространстве: основные способы задания, различные способы их взаимного расположения.

5. ПЕРЕЧЕНЬ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ВОПРОСОВ

Системы линейных уравнений: определения, классификация, примеры.
Однородные и неоднородные системы уравнений. Свойства множеств их решений. Примеры.
Решение систем линейных уравнений в случаях, когда матрица коэффициентов треугольная или ступенчатая.
Эквивалентные (равносильные) системы. Элементарные преобразования строк расширенной матрицы системы.
Алгоритм Гаусса решения систем линейных уравнений (общий случай).
Фундаментальная система решений: определение, применение.
Линейно зависимые системы векторов: определение, примеры, свойства. Критерий линейной зависимости.
Линейно независимые системы векторов: определение, примеры, свойства.
Понятие линейного пространства. Примеры линейных пространств.
Понятия базиса, размерности. Основные свойства базиса.
Координаты вектора: определение, примеры, свойства.
Линейные операции над матрицами, транспонирование матриц: определение, примеры, свойства.
Умножение матриц, транспонирование матриц: определение, примеры, свойства.
Обратная матрица: определение, свойства, способ отыскания. Решение матричных уравнений.
Формулы вычисления определителей второго и третьего порядка, важнейшие свойства.
Основные свойства определителя. Алгебраические дополнения. Общее определение.
Разложения определителей по строкам и столбцам. Способы вычисления определителей.
Применение определителей к системам линейных уравнений: теорема Крамера.
Условия существования обратной матрицы, формула для вычисления.
Ранг матрицы: определение, свойства, способы вычисления.
Миноры матрицы: применение к исследованию зависимости строк и столбцов: теорема о ранге матрицы. Условия вырожденности матриц.
Ранг матрицы: свойства, применение к системам линейных уравнений: теорема Кронекера – Капели.
Модель бездефицитной торговли.
Собственные векторы и собственные значения матриц: определения, свойства, примеры.
Нахождение собственных векторов и собственных значений матриц.
Межотраслевой баланс. Уравнения Леонтьева.
Понятие продуктивности. Условия продуктивности матриц. Примеры.
Теорема Перрона – Фробениуса, ее использование для исследования продуктивности.
Запас продуктивности: экономический смысл, определение, вычисление.
Модель равновесных цен.
Векторы на прямой, на плоскости, в пространстве: операции и их свойства.
Геометрический смысл линейной зависимости. Базисы и системы координат.
Уравнение множества точек на плоскости и в пространстве: определение, примеры.
Геометрическая интерпретация систем линейных уравнений: плоскость в пространстве. Различные формы уравнений плоскости в пространстве.
Геометрическая интерпретация систем линейных уравнений: прямая в пространстве. Различные формы уравнений прямой в пространстве.
Взаимное расположение плоскостей в пространстве.
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
Взаимное расположение прямых в пространстве.

6. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ

Разность двух решений однородной системы линейных уравнений будет ли решением той же однородной системы?
Сумма двух решений неоднородной системы линейных уравнений будет ли решением той же неоднородной системы?
Решением какой системы уравнений будет разность двух решений неоднородной системы линейных уравнений?
Приведите пример определенной системы трех линейных уравнений с двумя неизвестными.
Приведите пример несовместной системы двух линейных уравнений с тремя неизвестными.
Может ли быть определенной система двух линейных уравнений с тремя неизвестными?
Может ли быть неопределенной система трех линейных уравнений с двумя неизвестными?
Решите систему уравнений . Найдите фундаментальную систему решений (базис пространства решений) соответствующей однородной системы.
Решите систему линейных уравнений .
Решите систему уравнений .
Найдите два различных базиса пространства решений и общее решение системы .
Пусть . Можно ли утверждать,
что система векторов линейно зависима [независима]?
Пусть , – линейно зависимая система векторов. Можно ли утверждать, что система векторов линейно зависима [независима]?
Пусть – линейно независимая система векторов. Можно ли утверждать, что система векторов , линейно зависима [независима]?
Докажите, что частное решение неоднородной системы линейных уравнений и фундаментальная система соответствующей однородной системы образуют линейно независимую систему векторов.
Можно ли утверждать, что координаты одного вектора в двух различных базисах всегда различны?
Пусть . Какие из этих матриц можно перемножить? Найдите произведения.
Есть ли среди данных выше матриц А, В, С обратимые? Ответ обоснуйте; для каждой из таких матриц найдите обратную матрицу.
Зависимы ли системы строк [столбцов] матриц A, B, C ?
Чему равны ранги матриц A, B, C ? Каковы их базисные столбцы?
Предположим, что известны ранг матрицы коэффициентов при неизвестных и ранг расширенной матрицы системы линейных уравнений с n неизвестными. Сколько среди этих неизвестных свободных?
Пусть u, v – решения неоднородной системы линейных уравнений А х = b,
w – решение соответствующей однородной системы А х = 0.
Являются ли столбцы 3u – 2 v, 2u – 2 v –w, u – 2 w, решениями каких-либо из этих двух систем? Почему?
Существуют ли ненулевая матрица X, удовлетворяющая условию Х ² = 0?
Существуют ли матрицы А, X, Y, удовлетворяющие двум условиям
Существуют ли матрицы X, Y, удовлетворяющие двум условиям
Вычислите определитель матрицы .
Вычислите определитель матрицы .
Найдите ранг матрицы Н. Зависима ли система строк матрицы Н ?
С помощью элементарных преобразований найдите матрицу, обратную к матрицам G , .
Вычислив алгебраические дополнения, найдите матрицы, обратные к матрицам Е – D, Е –G.
Решите матричное уравнение .
Решите матричное уравнение .
Методом Крамера решите систему линейных уравнений .
Методом Крамера решите систему уравнений .
Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы K ², где .
Найдите собственные значения и собственные векторы матриц D, G.
Предположим, что известны все п собственных значений (действительных) и соответствующие собственные векторы квадратной матрицы М порядка п. Можно ли сразу указать собственные значения и собственные векторы матрицы М ² и выяснить, обратимы ли эти матрицы?
Распределение валового продукта первой группы отраслей таково: по 400 млн. усл. единиц идет на конечное потребление и на производственные нужды второй группы отраслей, а вдвое меньше – на производственные нужды первой группы. Аналогично: 200 млн. усл. единиц продукции второй группы отраслей идет на конечное потребление, столько же потребляется для производственных нужд в первой группе и вдвое меньше – во второй. Найдите соответствующую матрицу прямых затрат, ее число и векторы Фробениуса. Рассчитайте вектор равновесных цен в этом межгрупповом балансе в предположении, что средняя норма добавленной стоимости по группам отраслей равна соответственно 24% и 12%.
Проверьте, используя разные способы, продуктивны ли матрицы D, G .
Для каждой из матриц D, G найдите ее число Фробениуса, запас продуктивности и векторы Фробениуса.
Известно, что точки К(1; 2), М(3; 1), Р(–2; 3) являются вершинами параллелограмма. Единственным ли образом находятся координаты четвертой его вершины? Найдите все возможные решения.
Пусть – единичные взаимно перпендикулярные векторы. Найдите единичный вектор, ортогональный векторам , .
Найдите общее уравнение плоскости, проходящей через точки А(–1; 0; 4),
В(1; 0, 2), С(–1; 2; 0).
Найдите параметрические уравнения плоскости, проходящей через точку А
параллельно плоскости
Найдите параметрические уравнения прямой, проходящей через точки В и С.
Найдите общее уравнение плоскости, проходящей через точку А(–1; 0; 4)
перпендикулярно прямой .
Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через точку А
перпендикулярно плоскости .
Найдите канонические уравнения прямой, проходящей через точку А
параллельно прямой .
Каково взаимное расположение плоскостей ? Напишите параметрические уравнения их пересечения.
Каково взаимное расположение прямых , ? Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку В(1; 0; 2) параллельно этим прямым.
Каково взаимное расположение точек и прямой ? Напишите уравнение плоскости, проходящей через данные точки параллельно этой прямой.
Каково взаимное расположение прямой и плоскости ? Найдите уравнение плоскости, проходящей через эту
прямую перпендикулярно данной плоскости.
Каково взаимное расположение прямой и точки
F(–3; 0; 2)? Напишите уравнение плоскости, проходящей через данную точку и эту прямую.
Каково взаимное расположение прямых ? Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно данным прямым.
Каково взаимное расположение прямых ? Напишите уравнение плоскости, проходящей через эти прямые.

7. ЛИТЕРАТУРА ПО ДИСЦИПЛИНЕ

Основная

Методические разработки по линейной алгебре для курса “Математика” ВАВТ. / А.А. Басистов, Е.В. Бауман, Н.Е. Москаленко, Г.А. Шапошникова. - М.: ВАВТ, 2000. – 96 c.
Общий курс высшей математики для экономистовссылка скрыта (ред.). – М.: ссылка скрыта, 2010. – 656 с.
ссылка скрыта (ред.). – 2-е изд., испр. – М.: ссылка скрыта, 2007. – 576 с.

Дополнительная

Задачник по высшей математике: Учебн. пособие / В.С. ссылка скрыта. - М.: Высш. школа, 2008. – 304 с.
Математика в экономике. В трех частях. Часть 1: Учебн. пособие / А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов. – М.: Финансы и статистика, 2010. – 384 с.
Математика в экономике: Учебн. пособие / В.И. Малыхин. – М.: ИНФРА-М, 2002. – 352 с.
ссылка скрыта / Andrilli ссылка скрыта, Hecker ссылка скрыта– NY: Elsevier Academic Press, – 2009. – 737 p.

Интернет-ресурсы