Вероятность произведения событий. Условная вероятность

Вид материала

Документы

Содержание Условные распределения случайных величин Условные распределения дискретных случайных величин Условные распределения непрерывных случайных величин Условной плотностью распределения Плотность вероятности суммы двух случайных величин Плотность вероятности суммы двух случайных величин Распределение произведения двух случайных величин Математическое ожидание Математическое ожидание Условное математическое ожидание

Подобный материал:

• Основные простейшие теоремы теории вероятностей, 32.04kb.
• Программа курса лекций, 26.81kb.
• Лекция Условная вероятность, независимость, 67.33kb.
• Контрольная работа №4. по дисциплине «ТВиМС», 25.55kb.
• Лекция Управление рисками проекта, 216.18kb.
• Курс «Вероятность» является вторым в ряду вероятностно-эконометрических курсов Вероятность, 32.07kb.
• Основные виды случайных величин, 49.77kb.
• Введение, 58.17kb.
• Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники (тусур) Томский, 19.19kb.
• Программа обсуждена на заседании кафедры Математики фнти, 75.2kb.

^ Условные распределения случайных величин

 

Если две случайные величины  и  зависимы, то информация о том, какое значение на самом деле приняла одна из них, меняет наше представление о распределении другой. В связи с этим можно ввести понятие условного распределения.

 

^ Условные распределения дискретных случайных величин

 

Пусть дана двумерная случайная величина ( , ) с распределением

 

	y1	y2	...	ym
x1	p11	p12	...	p1m
x2	p12	p12	...	p2m
...	...	...	pij	...
xn	pn1	pn2	...	pnm

 

Тогда распределения случайных величин  и  имеют соответственно вид:

 

	x1	x2	...	xn
p	p1	p2	...	pn

 

	y1	y2	...	yn
	p 1	p 2	...	p n

 

точка  в индексе означает суммирование по строкам или по столбцам:

, .

Условным распределением случайной величины при условии, что случайная величина приняла значение , называется распределение:

 

	x1	x2	...	xn
p			...

Нетрудно убедиться, что сумма вероятностей величины в этом распределении равна единице: для всех j = 1, 2, …, m.

Совершенно аналогично условным распределением случайной величины при условии, что случайная величина приняла значение , называется распределение:

 

	y1	y2	...	yn
p			...

И для всех i = 1, 2, …, n.

Если условные распределения случайных величин  и  отличаются от их безусловных распределений, то случайные величины  и  зависимы.

 

^ Условные распределения непрерывных случайных величин

Если - плотность вероятностей совместного распределения двумерной случайной величины , то плотности вероятностей каждой ее компоненты вычисляются по формулам:

, .

^ Условной плотностью распределения случайной величины  при условии, что случайная величина  принимает значение  = y₀, называется функция переменной x, определяемая формулой

.

Аналогично, условной плотностью распределения случайной величины при условии, что случайная величина  принимает значение  = x₀, называется функция переменной y, определяемая формулой

.


^ Плотность вероятности суммы двух случайных величин ~ Распределение произведения двух случайных величин

 

Если  - случайная величина с областью значений X_ и функция f(x) определена на множестве X_ , то  = f(x) - тоже случайная величина. Задача об отыскании функции распределения случайной величины  по известной функции распределения случайной величины  легко решается, если f(x) - непрерывная монотонно возрастающая функция. Доказано, что тогда функция распределения F (x) случайной величины  задается формулой F (x)=F_ ([f(x)]^-1).

Здесь F_ (x) - известная функция распределения случайной величины  , а символом [f(x)]^-1 обозначена функция, обратная к функции f(x).

Плотность распределения случайной величины  для дифференцируемой f(x) вычисляется по формуле

.

^ Плотность вероятности суммы двух случайных величин

 

В теории вероятностей часто возникает необходимость в определении плотности вероятности суммы двух независимых случайных величин. Если  ₁ и  ₂ - непрерывные независимые случайные величины с плотностями вероятности соответственно p₁(x) и p₂(x), то плотность вероятностей суммы  =  ₁ +  ₂ вычисляется по формуле:

.

^ Распределение произведения двух случайных величин

 

Порядок построения распределения произведения двух дискретных случайных величин проще всего объяснить на примере.

Пусть ( ,  ) - дискретный случайный вектор с распределением:

 

	1	2	3	4
0	0.01	0.02	0.03	0.04
1	0.1	0.1	0.2	0.4
2	0.05	0.01	0.01	0.03

 

Найдем распределение произведения случайных величин - случайной величины  =   ,

которая принимает значения 0, 1, 2, 3, 4, 6, 8. Вычислим соответствующие вероятности:

P( =    = 0) = P( = 0,  = 1) + P( = 0,  = 2) + P( = 0,  = 3) + P( = 0,  = 4) = 0.1;

P( = 1) = P( = 1,  = 1) =0.1; P( = 2) = P( = 1,  = 2) + P( = 2,  = 1) =0.15; и т.д.

В результате получим распределение случайной величины  =    :

 

	0	1	2	3	4	6	8
p	0.1	0.1	0.15	0.2	0.41	0.01	0.03

 

Для того чтобы найти распределение произведения непрерывных случайных величин, необходимо выполнить более громоздкие вычисления.

Пусть ( ,  ) - непрерывный двумерный случайный вектор с плотностью распределения p_{(  )}(x₁, x₂). Построим функцию распределения случайной величины  =   . Согласно определению

.

Для вычисления этой вероятности рассмотрим отдельно случаи x>0 и x<0. Области интегрирования для обоих случаев на рисунке закрашены.

Область D={ x₁x₂ < x, x > 0} изображена на рисунке слева, а область D={ x₁x₂ < x, x < 0} - справа.



При x>0 имеем: .

При x<0: .


^ Математическое ожидание ~ Дисперсия ~ Условное математическое ожидание ~ Ковариация ~ Корреляция

 

В этом разделе рассмотрены числовые характеристики только двумерных случайных величин, поскольку обобщение на случай не вызывает затруднений.

 

^ Математическое ожидание

 

Пусть ( ,  ) - двумерная случайная величина, тогда M( ,  )=(M( ), M( )), т.е. математическое ожидание случайного вектора - это вектор из математических ожиданий компонент вектора.

Если ( ,  ) - дискретный случайный вектор с распределением

 

	y1	y2	...	ym
x1	p11	p12	...	p1m
x2	p12	p12	...	p2m
...	...	...	pij	...
xn	pn1	pn2	...	pnm

 

то математические ожидания компонент вычисляются по формулам:

, .

Эти формулы можно записать в сокращенном виде.

Обозначим и , тогда и .

Если p_{( ,  )}(x, y)- совместная плотность распределения непрерывной двумерной случайной величины ( ,  ), то

и .

Поскольку -плотность распределения случайной величины  , то и, аналогично, .

Дисперсия

 

Понятие дисперсии обобщается на многомерные случайные величины нетривиальным образом. Это обобщение будет сделано в следующем разделе. Здесь лишь приведем формулы для вычисления дисперсии компонент двумерного случайного вектора.

Если ( ,  ) - двумерная случайная величина, то

D = M( - M )² = M ² - M( )², D = M( - M )² = M ² - M( )².

Входящие в эту формулу математические ожидания вычисляются по приведенным выше формулам.

 

^ Условное математическое ожидание

 

Между случайными величинами может существовать функциональная зависимость. Например, если  - случайная величина и  = ², то  - тоже случайная величина, связанная с  функциональной зависимостью. В то же время между случайными величинами может существовать зависимость другого рода, называемая стохастической. В разделе, посвященном условным распределениям уже обсуждалась такая зависимость. Из рассмотренных там примеров видно, что информация о значении одной случайной величины (одной компоненты случайного вектора) изменяет распределение другой случайной величины (другой компоненты случайного вектора), а это может, вообще говоря, изменить и числовые характеристики случайных величин.

Математическое ожидание, вычисленное по условному распределению, называется условным математическим ожиданием.

Для двумерного дискретного случайного вектора ( ,  ) с распределением

 

	y1	y2	...	ym
x1	p11	p12	...	p1m
x2	p12	p12	...	p2m
...	...	...	pij	...
xn	pn1	pn2	...	pnm

 

условное математическое ожидание случайной величины  при условии, что случайная величина  принимает значение y_j, вычисляется по формуле .

Аналогично, условное математическое ожидание случайной величины  при условии, что случайная величина  принимает значение x_i, равно .

Видно, что условное математическое ожидание случайной величины  является функцией значений случайной величины  , т.е. M( / = y) = f₁(y) и, совершенно аналогично, M( / = x) = f₂(x).

Функцию f₁(y) называют регрессией случайной величины  на случайную величину  , а f₂(x) - регрессией случайной величины  на случайную величину  .

Если p_{( , )}(x, y) совместная плотность вероятностей двумерной случайной величины ( , ), то

и .