Лекция Условная вероятность, независимость
Вид материала | Лекция |
СодержаниеПример 17 (пример 4.3. Формула полной вероятности Теорема 8 (формула полной вероятности). 4.4. Формула Байеса |
- Программа курса лекций, 26.81kb.
- Вероятность произведения событий. Условная вероятность, 395.39kb.
- Лекция Управление рисками проекта, 216.18kb.
- Программа обсуждена на заседании кафедры Математики фнти, 75.2kb.
- Д. Б. Гнеденко 1/2 года, 3 курс, экономический поток Лекция, 21.85kb.
- Контрольная работа №4. по дисциплине «ТВиМС», 25.55kb.
- Курс «Вероятность» является вторым в ряду вероятностно-эконометрических курсов Вероятность, 32.07kb.
- Основные простейшие теоремы теории вероятностей, 32.04kb.
- Основные виды случайных величин, 49.77kb.
- Введение, 58.17kb.
Лекция 4. Условная вероятность, независимость
- Условная вероятность
- Независимость
- Формула полной вероятности
- Формула Байеса

4.1. Условная вероятность
Пример 15.
Кубик подбрасывается один раз. Известно, что выпало более трех очков. Какова при этом вероятность того, что выпало четное число очков?
В данном случае пространство элементарных исходов состоит из трех равновозможных элементарных исходов:





Посмотрим на этот вопрос с точки зрения первоначального эксперимента. Пространство элементарных исходов при одном подбрасывании кубика состоит из шести точек:







![]() | Мы хотим вычислить отношение числа исходов, благоприятствующих ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Какое отношение требуется вычислить, если элементарные исходы не являются равновозможными?
Определение 15.
Условной вероятностью события



Будем считать, что условная вероятность определена только в случае, когда

Следующее свойство называется "теоремой умножения":
Теорема 6.

если соответствующие условные вероятности определены (то есть если


Теорема умножения для большего числа событий:
Теорема 7.

если соответствующие условные вероятности определены.
Доказать теорему 7 методом математической индукции.

4.2. Независимость
Определение 16.
События



Пример 16.
1. Точка с координатами

Доказать, что для любых



2. Точка с координатами

Доказать, что события



1. Рассмотрим






2. На рисунке событие





так что события


Доказать, что при




Замечание 7.
Если события




Доказать!!
Следствие 2.
Если





Если





Доказать следствие, пользуясь определением условной вероятности.
Лемма 2.
Если события








Доказательство.
Так как





Вывести отсюда все остальные утверждения.
Q.D.E.
Определение 17.
События


![]() | (6) |
Упражнение.
Сколько равенств должно выполняться одновременно в условии (6)? А вы посчитали общее число подмножеств множества из n элементов?
Перечислите, какие равенства должны иметь место, чтобы четыре события A,B,C,D были независимы в совокупности.
Замечание 8.
Если события



Пример 17 (пример С.Н.Бернштейна).
Рассмотрим правильный тетраэдр, 3 грани которого окрашены, соответственно, в красный, синий, зеленый цвета, а четвертая грань содержит все три цвета. Событие



Вероятность каждого из этих событий равна 1/2, так как каждый цвет есть на двух гранях из четырех. Вероятность пересечения любых двух из них равна 1/4, так как только одна грань содержит два цвета. А так как

Но вероятность пересечения всех трех тоже равна 1/4, а не 1/8, то есть события не являются независимыми в совокупности.
Заметьте, что равенство (6) выполнено для



4.3. Формула полной вероятности
Пример 18.
Есть 3 завода, производящих одну и ту же продукцию. При этом 1-й завод производит 25%, 2-й завод — 35% и 3-й завод — 40% всей производимой продукции. Брак составляет 5% от продукции 1-го завода, 3% от продукции 2-го и 4% от продукции 3-го завода.
Вся продукция смешивается и поступает в продажу. Найти а) вероятность купить бракованное изделие; б) условную вероятность того, что купленное изделие изготовлено 1-м заводом, если это изделие бракованное.
Первая вероятность равна доле бракованных изделий в объеме всей продукции, то есть


Определение 18.
Набор попарно несовместных событий





События








Теорема 8 (формула полной вероятности).
Пусть



Доказательство.
Заметим, что




Q.D.E.

4.4. Формула Байеса
Теорема 9 (формула Байеса: Thomas Bayes).
Пусть





Доказательство.
По определению условной вероятности,

Последнее равенство следует из теоремы умножения и формулы полной вероятности.
Q.D.E.
Пример 19.
Вернемся к примеру 18. Изделие выбирается наудачу из всей произведенной продукции. Рассмотрим три гипотезы:









Убедиться, что полученные нами вероятности в (а) и (б) совпадают с вероятностями, вычисленными по формуле полной вероятности и формуле Байеса.
Пример 20.
Два стрелка подбрасывают монетку и выбирают, кто из них стреляет по мишени (одной пулей). Первый стрелок попадает по мишени с вероятностью 1, второй стрелок — с вероятностью 0.00001. Можно сделать два предположения об эксперименте:



Рассмотрим событие


Поэтому вероятность пуле попасть в мишень



Очевидно, что первая из этих гипотез много вероятнее второй (а именно, в 100000 раз). Действительно,
