Учебно-методический комплекс учебной дисциплины «теория групп» цикла дс по специальности 010700 Физика
| Вид материала | Учебно-методический комплекс |
- Учебно-методический комплекс учебной дисциплины «нелинейная динамика в современном, 450.69kb.
- Учебно-методический комплекс учебной дисциплины «численные методы и математическое, 428.92kb.
- Учебно-методический комплекс учебной дисциплины «основы нелинейной динамики» цикла, 824.91kb.
- Программа дисциплины дн. Ф. 2 История и методология физики для студентов специальности, 80.46kb.
- Учебно-методический комплекс по дисциплине «Правоведение» гсэ. Ф. 06 Для направления/специальности, 2849.24kb.
- Учебно-методический комплекс учебной дисциплины «Литературы народов снг» (часть, 370.67kb.
- Учебно-методический комплекс учебной дисциплины «Литературы народов снг» (часть II), 280.88kb.
- Учебно-методический комплекс учебной дисциплины Геометрические построения Специальность, 185.36kb.
- Учебно-методический комплекс учебной дисциплины «Муниципальное управление» по специальности, 359.71kb.
- Учебно-методический комплекс учебной дисциплины «механика, основы механики сплошных, 661.73kb.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
федеральное государственное образовательное
учреждение Высшего профессионального образования
«Южный федеральный университет»
Физический факультет
| Рассмотрено и одобрено на заседании кафедры «Теоретической и вычислительной физики» Протокол №______ «____» _______________2009 г. Зав. кафедрой _______________ | | УТВЕРЖДАЮ Декан факультета _________________________ ____________________ «_____» ____________ 2009 г. |
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
учебной дисциплины «ТЕОРИЯ ГРУПП»
цикла ДС по специальности
010700 Физика
Составитель
кандидат физ.-мат. наук,
Чечин Г.М.
Ростов-на-Дону
2009
1. Пояснительная записка к курсу
1.1. Цели изучения дисциплины
Курс теории групп и её применений в физике является спецкурсом поддерживающим специализации кафедры по теоретической физике и информационным технологиям в образовании и науке в рамках специальности 010700 физика и направления 510700 физика по программе теоретическая физика.
Целью курса является знакомство студентов с современным аппаратом теоретической физики путем изучения основных положений теории групп и способов применения теоретико-групповых представлений в различных областях физики. Изучение курса позволит студентам самостоятельно или с помощью научного руководителя использовать теоретико-групповые методы для исследования конкретных вопросов в физике твердого тела и физике элементарных частиц.
1.2. Задачи изучения дисциплины
В результате изучения курса студенты должны:
- иметь представление и понимать основы теории конечных групп и групп Ли;
- иметь представление о методах применения теории групп для установления законов сохранения, классификации состояний, установления правил отбора, нахождения групповых инвариантов.
1.3. Место дисциплины в образовательной программе специальности
Для изучения курса требуется предварительное освоение студентами следующих дисциплин:
- Теоретической механики
- Атомной физики
- Квантовой механики
- Математического анализа
- Высшей алгебры
Поэтому в рабочем учебном плане курс теории групп располагается в 7-м семестре и заканчивается экзаменом.
2. Учебно-тематический план дисциплины
| Наименование модулей и тем | Всего часов по учеб. плану | Виды учебных занятий | |||
| Аудиторные занятия | Сам. работа | ||||
| Лекции | Прак. занятия | ||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Модуль 1. Абстрактные группы и группы симметрии | Тема 1. Теория групп и физика. | 1 | 1 | | |
| Тема 2. Элементы абстрактной теории групп | 9 | 6 | | 3 | |
| Тема 3. Точечные группы симметрии | 6 | 4 | | 2 | |
| Тема 4. Пространственные группы симметрии | 4 | 2 | | 2 | |
| Модуль 2. Матричные представления групп симметрии | Тема 5. Приводимые и неприводимые представления конечных групп | 5 | 2 | | 3 |
| Тема 6. Леммы Шура и свойства ортогональности неприводимых представлений | 4 | 2 | | 2 | |
| Тема 7. Теория характеров представлений конечных групп | 4 | 2 | | 2 | |
| Тема 8. Индуцирование представлений группы из представлений ее подгруппы | 2 | 1 | | 1 | |
| Тема 9.Понятие о неприводимых представлениях пространственных групп | 2 | 1 | | 1 | |
| Тема 10. Построение базисных векторов неприводимых водимых представлений | 4 | 2 | | 2 | |
| Тема 11. Теорема Вигнера | 3 | 2 | | 1 | |
| Тема 12. Теория групп и квантово-механическая. Теория возмущений | 2 | 1 | | 1 | |
| Модуль 3. Непрерывные группы симметрии и их неприводимые представления | Тема 13. Правила отбора и их нахождение методами теории групп | 2 | 1 | | 1 |
| Тема 14. Определение группы Ли. Примеры групп Ли. | 3 | 2 | | 1 | |
| Тема 15. Инфинитезимальный оператор и теорема Ли о восстановлении группы Ли по ее оператору | 2 | 1 | | 1 | |
| Тема 16. Алгебры Ли и примеры их построения | 4 | 2 | | 2 | |
| Тема 17. Группа R_2 и ее неприводимые представления | 2 | 1 | | 1 | |
| Тема 18. Группа R_3 и ее неприводимые представления | 3 | 2 | | 1 | |
| | ИТОГО: | 63 | 36 | | 27 |
3. Содержание курса
Модуль 1.
Абстрактные группы и группы симметрии
Комплексная цель: После изучения модуля студент должен: знать 1) основные понятия абстрактной теории групп - группа, подгруппа, класс сопряженных элементов ,класс смежности, теорема Лагранжа о порядке подгруппы, инвариантная подгруппа, фактор-группа, генераторы и определяющие соотношения группы, изоморфизм и гомоморфизм групп, абелевы и неабелевы группы; 2)основные понятия точечных и пространственных групп симметрии – преобразования симметрии, элементы точечных групп симметрии (повороты, отражения, зеркальные повороты), элементы пространственных групп симметрии (трансляции, винтовые оси и плоскости скольжения), решетки Браве, кристаллические классы, сингонии, решетки с базисом, правильные системы точек, примитивная и элементарная ячейки, ячейка Вигнера-Зейтца, симморфные и несимморфные группы, теорема Блоха, обратная решетка и зона Бриллюэна иметь представление о всех 32 кристаллических классах, 7 сингониях, 14 решетках Браве, о классификации 230 пространственных групп по кристаллическим классами решеткам Браве; уметь находить для группы, заданной таблицей группового умножения, ее классы сопряженных элементов, подгруппы, смежные классы по заданной подгруппе, выделять инвариантные подгруппы и строить по ним фактор-группы ,находить генераторы группы и определяющие соотношения, определять различные характеристики точечных и пространственных групп симметрии по справочнику Ковалева [4].
Содержание модуля 1
Тема 1. Теория групп и физика.
Эта тема является вводной и предполагает некоторый обзор на качественном уровне значения и возможности использования аппарата теории групп в различных областях физики – от физики молекул и кристаллов до физики элементарных частиц.
Тема 2. Элементы абстрактной теории групп.
Определение абстрактной группы, задание группы с помощью таблицы группового умножения, а также с помощью генераторов и определяющих соотношений, подгруппа, сопряженные элементы, классы сопряженных элементов, левые и правые классы смежности по заданной подгруппе, теорема Лагранжа о порядке подгруппы, инвариантная подгруппа, фактор-группа, изоморфизм и гомоморфизм групп. Перечисленные математические понятия иллюстрируются на примере точечной группы C4v, заданной своей таблицей группового умножения.
Тема 3. Точечные группы симметрии.
Преобразования пространственной симметрии. Повороты, зеркальные отражения и зеркальные повороты. Возможные сочетания этих элементов в точечных группах симметрии. Кристаллические классы. Понятие о макро- и микросимметрии.
Тема 4. Пространственные группы симметрии.
Трансляционные элементы симметрии и решетки Браве. Решетки с базисом. Примитивная и элементарная ячейки. Ячейка Вигнера-Зейтца. Собственные и несобственные трансляции. Винтовые оси и плоскости скольжения. Сингонии. Пространственные группы. Симморфные и несимморфные пространственные группы. Возможные сочетания элементов симметрии в пространственных группах. Обратная решетка. Теорема Блоха. Зона Бриллюэна. Знакомство со справочником Ковалева [4] по пространственным группам и их неприводимым представлениям.
Проектное задание
1. Для заданной точечной группы симметрии, построить таблицу ее группового умножения. С помощью этой таблицы разложить эту группу на классы сопряженных элементов.
2. Найти все подгруппы абстрактной группы, построенной в предыдущем проектном задании. Выделить среди них инвариантные подгруппы и найти соответствующие им фактор-группы. Разложить группу на смежные классы по одной из ее подгрупп.
3. Построить все неизоморфные друг другу абстрактные группы шестого порядка (Напоминание: абстрактная группа определяется своей таблицей группового умножения).
Тест рубежного контроля
1. Какие из перечисленных множеств образуют группу:
а) множество нечетных целых чисел относительно операции умножения;
б) множество четных чисел относительно операции сложения;
в) множество корней степени N из единицы относительно операции сложения?
2. Если в класс сопряженных элементов входит более одного элемента, то он
а) является подгруппой группы
б) может быть подгруппой группы
в) никогда не может быть подгруппой группы
3. Подгруппы группы
а) всегда пересекаются друг с другом
б) никогда не могут пересекаться
в) в некоторых случаях могут, а в некоторых не могут пересекаться
4. Число элементов в разных классах сопряженных элементов данной группы
а) может быть разным
б) может быть только одинаковым
в) всегда равно индексам инвариантных подгрупп данной группы
5. Данная подгруппа может быть образована
а) некоторыми элементами из разных классов сопряженных элементов
б) элементами разных классов смежности
в) она всегда является объединением нескольких классов сопряженных элементов
6. Классы смежности могут
а) пересекаться друг с другом
б) пересекаться с некоторыми классами сопряженных элементов
в) не могут пересекаться ни с одним из классов сопряженных элементов
7. Число классов сопряженных элементов
а) всегда равно порядку группы
б) является делителем порядка группы
в) может быть равно порядку группы
8. В абелевой группе
а) только некоторые элементы коммутируют друг с другом
б) все элементы коммутируют друг с другом
в) число классов сопряженных элементов меньше порядка группы
9. Теорема Лагранжа заключается в том, что
а) порядок классов сопряженных элементов является делителем порядка группы
б) порядок подгруппы является делителем порядка группы
в) число классов сопряженных элементов не превосходит числа ее подгрупп
10. Порядок фактор-группы
а) равен числу классов сопряженных элементов
б) равен числу смежных классов некоторой инвариантной подгруппы
в) может превышать порядок исходной группы
11. Объем элементарной ячейки гранецентрированной кубической решетки больше объема ее примитивной ячейки
а) в два раза
б) в четыре раза
в) указанные ячейки имеют одинаковый объем
12. Число кристаллических классов кубической сингонии равно
а) 5
б) 3
в) 4
13. Объем ячейки Вигнера-Зейтца для объемоцентрированной кубической решетки
а) совпадает с объемом ее примитивной ячейки
б) совпадает с объемом ее элементарной ячейки
в) вдвое меньше объема элементарной ячейки
14. В симморфных пространственных группах
а) могут быть винтовые оси
б) могут быть плоскости скольжения
в) не может быть ни винтовых осей, ни плоскостей скольжения.
Бланк ответов
| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| а | | | | | | | | | | | | | | |
| б | | | | | | | | | | | | | | |
| в | | | | | | | | | | | | | | |
Список рекомендуемой литературы
- Эллиот Дж., Добер М, Симметрия в физике, т. 1. М.: Мир, 1983.
- Хамермеш М., Теория групп и её применение к физическим проблемам. М.: Мир, 1966.
- Бир Г. Л., Пикус Г. Е., Симметрия и деформационные эффекты в полупроводниках, М.: Наука, 1972.
- Ковалёв О. В., Неприводимые и индуцированные представления и копредставления фёдоровских групп. М.:, Наука, 1986.
- Любарский Г.Я. Теория групп и ее применение в физике. М.:Наука, 1957.
- Ландау Л.Д, Лившиц Е.М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). Т.3. М.: Наука, 1989.
Модуль 2.
Матричные представления групп симметрии.
Комплексная цель: После изучения модуля студент должен: знать основные понятия теории матричных представлений конечных групп (представление группы, унитарные, эквивалентные, приводимые и неприводимые представления, регулярное представление ), вид неприводимых представлений абелевых групп, леммы Шура и свойства ортогональности неприводимых представлений, теорему Бернсайда, связь между числом неприводимых представлений и числом классов сопряженных элементов, свойства характеров неприводимых представлений, критерий неприводимости представления группы, звезда и группа волнового вектора, малые, нагруженные (проекционные) и полные представления пространственных групп, теорему Вигнера и классификацию на ее основе уровней энергии квантово-механических систем и частот нормальных колебаний; иметь представление о процедуре построения неприводимых представлений группы с помощью индуцирования из неприводимых представлений ее инвариантной подгруппы, о построении неприводимых представлений пространственных групп с помощю справочника Ковалева [ 6], о применении аппарата неприводимых представлений групп симметрии для вывода правил отбора для переходов между различными состояниями квантовых систем ; уметь находить состав приводимого представления (определять кратности вхождения в него неприводимых представлений заданной группы), строить базисные функции неприводимых представлений групп симметрии на атомных перестановках и атомных смещениях.
Содержание модуля 2
Тема 5. Приводимые и неприводимые представления конечных групп.
Функциональные линейные пространства и индуцированные операторы. Прямые суммы и произведения линейных пространств. Инвариантные подпространства. Эквивалентные представления. Приводимые и неприводимые представления. Унитарные представления. Представления абелевых групп. Неабелевы группы и связь с принципом неопределенности.
Тема 6. Леммы Шура и свойства ортогональности неприводимых представлений конечных групп.
Первая и вторая леммы Шура. Ортогональность неприводимых представлений. Регулярное представление. Теорема Бернсайда. Связь числа разных неприводимых представлений с числом классов сопряженных элементов. Ограничения на число различных неприводимых представлений.
Тема 7. Теория характеров неприводимых представлений конечных групп.
Характеры неприводимых представлений. Ортогональность характеров. Формула, определяющая число вхождений неприводимых представлений в приводимое представление данной группы. Критерий неприводимости представления группы. Прямое произведение представлений и вычисление его характера.
Тема 8. Индуцирование представлений группы из представлений ее подгрупп.
Представление, реализующееся на данном комплекте базисных функций. Расширение базиса при переходе в процессе индуцирования от подгруппе к группе. Случай инвариантной подгруппы индекса 2. Матрицы индуцированного представления. О разложении индуцированного представления группы на ее неприводимые представления. Пример: построение методом индуцирования всех неприводимых представлений группы C4v.
Тема 9. Понятие о неприводимых представлениях пространственных групп.
Неприводимые представления группы целых трансляций. Звезда волновых векторов и группа волнового вектора для данного неприводимого представления. Малые и полные неприводимые представления пространственных групп. Связь малых представлений с проективными (нагруженными) представлениями группы волнового вектора. Построение неприводимых представлений пространственных групп с помощью справочника Ковалева [6].
Тема 10. Построение базисных векторов неприводимых представлений.
Метод проекционных операторов. “Прямой метод» построения базисных функций неприводимых представлений точечных групп на атомных перестановках и атомных смещениях и атомных спинах. Пример: построение базисных функций неприводимых представлений для плоской квадратной молекулы.
Тема 11. Теорема Вигнера.
Механическое представление. Построение характера механического (колебательного) представления. Теорема Вигнера о виде матрицы, коммутирующей со всеми матрицами приводимого представления. Нормальные колебания молекул и классификация их частот по неприводимым представлениям группы симметрии молекулы. Классификация уровней энергии квантовой системы по неприводимым представлениям ее группы симметрии.
Тема 12. Теория групп и квантово-механическая теория возмущений.
Ряды теории возмущений в квантовой механике. Применение аппарата теории неприводимых представлений группы симметрии системы для упрощения вида матричных элементов.
Тема 13. Правила отбора и их нахождение методами теории групп.
Инфракрасные и комбинационные спектры молекул. Аппарат теории неприводимых представлений групп симметрии для вывода правил отбора для оптических переходов.