Учебно-методический комплекс учебной дисциплины «нелинейная динамика в современном естествозннии» цикла дс по специальности 010700 Физика
| Вид материала | Учебно-методический комплекс |
- Учебно-методический комплекс учебной дисциплины «численные методы и математическое, 428.92kb.
- Учебно-методический комплекс учебной дисциплины «теория групп» цикла дс по специальности, 1029.41kb.
- Учебно-методический комплекс учебной дисциплины «основы нелинейной динамики» цикла, 824.91kb.
- Программа дисциплины дн. Ф. 2 История и методология физики для студентов специальности, 80.46kb.
- Учебно-методический комплекс по дисциплине «Правоведение» гсэ. Ф. 06 Для направления/специальности, 2849.24kb.
- Учебно-методический комплекс учебной дисциплины «Литературы народов снг» (часть, 370.67kb.
- Учебно-методический комплекс учебной дисциплины «Литературы народов снг» (часть II), 280.88kb.
- Учебно-методический комплекс учебной дисциплины Геометрические построения Специальность, 185.36kb.
- Учебно-методический комплекс учебной дисциплины «Муниципальное управление» по специальности, 359.71kb.
- Учебно-методический комплекс учебной дисциплины «механика, основы механики сплошных, 661.73kb.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
федеральное государственное образовательное
учреждение Высшего профессионального образования
«Южный федеральный университет»
Физический факультет
| Рассмотрено и одобрено на заседании кафедры «Теоретической и вычислительной физики» Протокол №______ «____» _______________2009 г. Зав. кафедрой _______________ | | УТВЕРЖДАЮ Декан факультета _________________________ ____________________ «_____» ____________ 2009 г. |
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
учебной дисциплины «НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА
В СОВРЕМЕННОМ ЕСТЕСТВОЗННИИ»
цикла ДС по специальности
010700 Физика
Составитель
кандидат физ.-мат. наук,
Чечин Г.М.
Ростов-на-Дону
2009
1. Пояснительная записка
1.1. Цели изучения дисциплины
Настоящий курс для студентов магистратуры второго года обучения фактически является продолжением курса «Основы нелинейной динамики», который читается на первом курсе магистратуры. Таким образом, студенты, слушающие курс «Нелинейная динамика в современном естествознании», уже знакомы с основными понятиями этого научного направления, такими как детерминированный (динамический) хаос, странные аттракторы, фракталы, солитоны, диссипативные структуры, синергетика и т.д. Студенты также уже имеют представление о той фундаментальной роли, которую играет вычислительный эксперимент при исследовании нелинейных моделей естествознания.
В первой части настоящего курса рассматривается теория сравнительно недавно открытых дискретных бризеров, и разнообразные их проявления в целом ряде задач современного естествознания.
Во второй части курса рассматриваются различные приложения идей и методов нелинейной динамики в экологии, биологии, экономике, социологии и др.
Целью изучения курса «Нелинейная динамика в современном естествознании» является знакомство студентов магистратуры с новейшими достижениями в области нелинейной динамики и с разнообразными её приложениями к различным областям естественнонаучных и даже гуманитарных дисциплин.
1.2. Задачи изучения дисциплины
В результате изучения дисциплины студенты должны:
- знать основные идеи и методы теории дискретных бризеров, основные модели и понятия современного нелинейного естествознания, такие как логистическое уравнение, уравнение Колмогорова-Петровского-Пискунова, модель Лотки-Вольтерры и др.
- уметь применять методы исследования существования и устойчивости дискретных бризеров в гамильтоновых решётках, исследовать стационарные, автоколебательные и хаотические режимы в простых нелинейных моделях;
- иметь представление о применениях идей и методов нелинейной динамики в экологии, биологии, экономике, социологии и в области других естественнонаучных и гуманитарных дисциплин;
Для усвоения курса «Нелинейная динамика в современном естествознании» необходимо знание следующих вопросов из курса «Основы нелинейной динамики»:
Понятие о динамических моделях с дискретным и непрерывным временем, о динамическом хаосе, регулярных и хаотических аттракторах, бифуркационных диаграммах, фрактальных структурах и их размерностях, различных сценариях перехода к хаосу, теории универсальности Фейгенбаума, сечениях Пуанкаре, показателях Ляпунова, о классификации особых точек двумерных динамических систем, гомоклинических и гетероклинических траекториях, множествах Жюлиа и Мандельброта, понятие о теореме Колмогорова-Арнольда-Мозера;
Понятие о внутренних резонансах нелинейной системы, асимптотических методах поиска периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений, использующих идею перенормировки частоты колебаний, о нелинейных нормальных модах Розенберга и Ляпунова;
Понятие о цепочках Ферми-Пасты-Улама и Тоды, о полностью интегрируемых уравнениях в частных производных (уравнение КдФ, нелинейное уравнение Шредингера, уравнение синус-Гордона) и допускаемых ими солитонных решениях;
Понятие о синергетических структурах и условиях их возникновения.
1.3. Место дисциплины в образовательной программе специальности
Курс «Нелинейная динамика в современном естествознании» является одним из спецкурсов, посвященных успехам и современным проблемам естествознания. Он является введением в бурно развивающуюся в настоящее время область научных исследований. С другой стороны, этот курс является частью единого комплекса обучения студентов применению современных компьютерных технологий для решения физических задач. Для усвоения курса необходимо знание основ математического анализа, линейной алгебры, теории дифференциальных уравнений, теории вероятностей, математической физики, численного анализа, теоретической механики, статистической и квантовой физики, основ нелинейной динамики.
2. Учебно-тематический план дисциплины
| Наименование модулейитем | Всего часов по учеб плану | Виды учебных занятий | |||
| Аудиторные занятия | Самработа | ||||
| Лекции | Прак.заня- тия | ||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Модуль Дискретныебризеры | Тема 1. Дискретные бризеры | 3 | 2 | | 1 |
| Тема 2. Модуляционная неустойчивость и возбуждение дискретных бризеров | 2 | 1 | | 1 | |
| Тема 3. Движущиеся дискретные бризеры | 2 | 2 | | 1 | |
| Тема 4. Энергетический порог возбуждения дискретных бризеров | 3 | 2 | | 2 | |
| Тема 5. Численные методы построения точных бризерных решений | 4 | 2 | | 2 | |
| Тема 6. Дискретные бризеры в нелинейных цепочках и двумерных решетах | 4 | 2 | | 2 | |
| Тема 7. Дискретные бризеры в классических спиновых решётках | 2 | 1 | | 1 | |
| Тема 8. Квантовые бризеры | 2 | 1 | | 1 | |
| Тема 9. Дискретные бризеры в макроскопических и мезоскопических системах. | 3 | 1 | | 2 | |
| Тема 10. Конденсаты Бозе-Эйнштейна в оптических ловушках | 3 | 1 | | 2 | |
| Тема 11. Дискретные бризеры в трёхмерных кристаллах | 2 | 1 | | 1 | |
| Тема 12. Дискретные бризеры в молекулах ДНК | 2 | 1 | | 1 | |
| МодульНелинейнаядинамикаприизученииэкологическихбиологическихиэкономическихсистем | Тема 13. Модели развития и взаимодействия в экологии | 2 | 1 | | 1 |
| Тема 14. Пространственная динамика популяций | 2 | 1 | | 1 | |
| Тема 15. Нелинейная динамика биологических объектов | 2 | 1 | | 1 | |
| Тема 16. Логистическое уравнение | 2 | 1 | | 1 | |
| Тема 17. Нелинейность в человеческом сообществе | 2 | 1 | | 1 | |
| Тема 18. Нелинейная динамика эволюции | 2 | 1 | | 1 | |
| Тема 19. Экономика и нелинейная динамика | 2 | 1 | | 1 | |
| | ИТОГО: | 48 | 24 | | 24 |
3. Содержание курса
Модуль 1. Дискретные бризеры
Комплексная цель. После изучения данного модуля студент должен:
иметь представление о стационарных и движущихся дискретных бризерах, о квазибризерах, квазипериодических бризерах, блуждающих и хаотических бризерах, о различных численных методах их построения и анализа устойчивости, об основных идеях доказательства существования дискретных бризеров, данного Обри и МакКаем, о дискретном нелинейном уравнении Шрёдингера, о бризерах и бризероподобных объектах в одномерных, двумерных и трёхмерных решётках, в массивах контактов Джозефсона, в контиливерных массивах, в Бозе-Эйнштейновских конденсатах в оптических ловушках, в моделях ДНК;
знать: причины возможности существования дискретных бризеров, ограничения на частоту устойчивых дискретных бризеров по отношению к ветвям фононного спектра, роль нелинейности и дискретности для возникновения дискретных бризеров, характерные свойства дискретных бризеров с малой и большой амплитудами, метод вращающейся фазы;
уметь: использовать методы Ньютона и парной синхронизации для построения дискретных бризеров, метод Флоке исследования их устойчивости, метод вращающейся фазы для приближённого аналитического исследования дискретных бризеров.
Содержание модуля 1
Тема 1. Дискретность и нелинейность
Определение стационарного дискретного бризера. Структурная неустойчивость солитона в непрерывных системах. Структурная устойчивость солитоноподобных образований в дискрентных системах. Частота колебаний дискретного бризереа и фононный спектр. Щелевые дискретные бризеры. Роль нелинейности и дискретности для существования устойчивых дискретных бризеров.
Тема 2. Модуляционная неустойчивость и возбуждение дискретных бризеров
Почему нельзя наблюдать точные дискретные бризеры? Квазибризеры и квазипериодические бризеры. Модуляционная неустойчиовсть нелинейных нормальных мод как способ возбуждения бризероподобныъх объектов. Хаотические бризеры и установление равнораспределения энергия в цепочках типа Ферми-Пасты-Улама.
Тема 3. Движущиеся дискретные бризеры
Почему движущиеся локализованные возбуждения в общем случае не могут быть точными дискретными бризерами? Точные движущиеся бризеры в системах малого числа частиц (работы Фенга и Йошимуры).
Тема 4. Энергетический порог возбуждения дискретных бризеров
Работы Кастнера, Флаха и Кладко. Дискретные бризеры малой амплитуды, отсутствие порога возбуждения. Дискретные бризеры большой амплитуды: наличие порога возбуждения.
Тема 5. Численные методы построения точных бризерных решений
Метод Обри-Марине, основанные на применении метода Ньютона в многомерном фазовом пространстве системы. Метод Флаха, использующий ряды Фурье. Метод парной синхронизации.
Тема 6. Дискретные бризеры в нелинейнызх цепочках и двумерных решетках
Дискретные бризеры в цепочках типа Ферми-Пасты-Улама. Дискретное нелинейное уравнение Шредингера (ДНУШ). Бризерные решения для ДНУШ. Дискретные бризеры в двумерных решётках Бута-Ватиса. Работы Фенга и Фишера.
Тема 7. Дискретные бризеры в классических спиновых решётках
Гамильтониан Гейзенберга и уравнения движения. Оси и плоскости лёгкой анизотропии. Дискретные бризеры в многомерных спиновых решётках.
Тема 8. Квантовые бризеры
Цепочки Бозе-Хаббарда и аналогичные им модели. Квантовый димер. Квантовый тример. Эволюция локализованных квантовых состояний.
Тема 9. Дискретные бризеры в макроскопических и мезоскопических системах
Эффект Джозефсона и построение решёток из контактов Джозефсона. Локализованные колебания в массивах контактов Джозефсона. Понятие о контиливерах. Дискретные бризеры в контиливерных массивах: способы возбуждения и наблюдения. Дискретные бризеры в линиях электропередач.
Тема 10. Конденсаты Бозе-Эйнштейна в оптических ловушках
Эксперименты с ультрахолодными атомами в оптических ловушках. Бозе-Эйнштейновская конденсация. Уравнение Гроссмана-Питаевского. Приближение, основанное на использовании функции Ванье. Дискретные бризеры в системе конденсатов Бозе-Эйнштейна.
Тема 11. Дискретные бризеры в трёхмерных кристаллах
Построение дискретных бризеров в кристаллах NaI (работа Киселёва с сотрудниками). Нейтронографические эксперименты по обнаружению щелевых дискретных бризеров в щёлочно-галлоидных кристаллах. Наблюдение дискретных бризеров, возбуждаемых космическими лучами в слюде.
Тема 12. Дискретные бризеры в молекулах ДНК
Различные механические модели молекулы ДНК и соответствующие им динамические уравнения. Гипотезы о возможной роли движущихся бризероподобных объектов в процессе расслоения двойной спирали ДНК. Работы Юшкевича, Цирониса, Пейрара, Руффо и др.
Проектное задание
1. В среде математического пакета Maple написать программу метода парной синхронизации для построения дискретного бризера в цепочках с чётным потенциалом межатомного взаимодействия.
2. Написать программу исследования устойчивости дискретных бризеров с помощью метода Флоке.
Тест рубежного контроля – вопросы к коллоквиуму
1. Какой динамический объект называется дискретным бризером?
2. Какие должны быть ограничения на частоту дискретного бризера, чтобы он был устойчивым динамическим объектом?
3. Что такое щелевой бризер?
4. Какую роль играет взаимодействие дискретного бризера с фононным спектром?
5. Что такое структурная устойчивость решения динамических уравнений?
6. Почему солитоны и бризеры в непрерывных моделях являются структурно неустойчивыми динамическими объектами?
7. Чем определяется то место в гамильтоновой решетке, в котором локализован дискретный бризер?
8. Дайте качественное объяснение тому факту, что дискретный бризер,ичие от фононов и других элементарных возбуждений, не распространяется вдоль решетки.
9. Почему для существования дискретного бризера необходимым условием является нелинейность и дискретность физической системы?
10. Какой вид имеет Фурье-спектр колебаний, описываемых дискретным бризером?
11. Почему нельзя наблюдать точные дискретные бризеры при проведении реальных физических экспериментов?
12. Что такое квазибризеры и квазипериодические бризеры?
13. Какой Фурье-спектр имеют квазибризеры?
14. Какой спектр имеют квазипериодические бризеры?
15. Что такое движущийся бризер?
16. Какие аргументы Вы можете привести в пользу невозможности существования точных движущихся бризеров?
17. Какой Фурье-спектр имеют движущиеся бризеры?
18. На чем основано доказательство существования точных дискретных бризеров в гамильтоновых решетках, данное Обри и МакКаем?
19. Чем отличаются по своим свойствам дискретные бризеры малой и большой амплитуды?
20. Что такое энергетический порог возбуждения дискретного бризера?
21. Что такое метод вращающийся фазы, который используется для приближенного аналитического исследования дискретных бризеров?
22. В чем заключается метод Обри-Марине численного остроениястационарных дискретных бризеров?
23. В чем заключается метод парной синхронизации для построения стационарных дискретных бризеров?
24. Как строятся в работах Флахастационарные дискретные бризеры с помощью рядов Фурье?
25. В каких физических системах наблюдались бризероподобные объекты?
26. Какова история открытия дискретных бризеров?
27. Что такое мода Такено-Сиверса в нелинейных моноатомных цепочках?
28. Что такое мода Пейджа в нгелинейных моноатомных цепочках?
29. В чем заключается метод модуляционной неустойчивости делокализованных мод для возбуждения бризероподобных объектов?
30. Что такое кантиливерные цепочки и как ставятся физические эксперименты по обнаружению в них дискретных бризеров?
31. Что можно сказать о бризерах в системах оптичесикх волноводов?
32. Что такое контакты Джозефсона и что представляют собой дискретные бризеры в массивах таких контактов?
33. Что такое цепочки типа Ферми-Пасты-Улама и цепочки типа Клейна-Гордона? В чем различие фононных спектров этих двух типов систем?
34. Что такое цепочки Френкеля-Конторовой и что такое ротобризеры?
35. Что Вам известно о дискретных бризерах в щелочногаллоидных трехмерных кристаллах? какие были выполнены вычислительные и нейтронографические эксперименты по обнаружению дискретных бризеров в таких системах?
36. Какие существуют механические модели молекулы ДНК и что Вам известнго оь движущихся бризерах в таких двойных цепочках?
37. Что Вам известно о дискретных бризерах в спиновых системах?
38. Что Вам известно о дискретных бризерах в линиях электропередач?
39. Что Вам известно о дискретных бризерах в Бозе-Эйнштейновских конденсатах в оптических ловушках?
40. Что такое q-бризеры и какова их связь с объяснением возврата в цепочках Ферми-Пасты-Улама?
41. Что представляет собой метод Флоке для исследования устойчивости дискретных бризеров?
42. Что Вам известно блуждающих бризерах в двойных моноатомных цепочках?
43. Какими могут быть дискретные бризеры в двухатомных цепочках?
44. Что Вам известно о моделях, описывающих дискретные бризеры в перовскитоподобных кристаллах?
Список рекомендуемой литературы
1. Г.М.Чечин, Д.С.Рябов. Дискретные бризеры. Учебно-методическое пособие для студентов 2-го года магистратуры (электронный вариант).
2. Г.М.Чечин, Г.С.Джелаухова. Дискретные бризеры, квазибризеры и метод парной синхронизации. Учебно-методическое пособие для студентов 2-го года магистратуры (электронный вариант).
3. S. Flach, A. V. Gorbach. Discrete Breathers – Advances in theory and applications// Physics Reports 467, pp. 1-116, 2008.
Модуль 2. Нелинейная динамика при изучении экологических, биологических и экономических систем.
Комплексная цель: После изучения данного модуля студент должен:
иметь представление о клеточных автоматах, о разных нелинейных моделях в экологии, о моделисердечной мышцы, динамических болезнях, в частности, о дыхании Чейна-Стокса, о нелинейных моделях Вайдлиха и их применении к задачам экологии и социологии, о моделях , описывающих возникновение и распространения эпидемий в человеческом обществе, о нелинейцных моделях эволюции;
знать: логистическое уравнение, модель Лотки-Вольтерры, модель рыболовства, модель "хищник-пища-жертва", уравнение Колмогорова-Петровского-Пискунова, что такое спиральные волны, модели Гудвина циклов экономики,
уметь: запрограммировать и исследовать на компьютере клеточный автомат "Жизнь", исследовать различные динамические режимы в моделях Лотки-Вольтерры, рыболовства и "хищник-пища-жертва".
Содержание модуля 2
Тема 13. Модели развития и взаимодействия в экологии
Модель Мальтуса и её обобщение Ферхюльстом. Модель рыболовства, модель Лотки-Вольтерры. Модель конкуренции двух видов. Детерменированный хаос в экологических моделях. Модель «хищник-пища-жертва».
Тема 14. Пространственная динамика популяций
Модель популяции, учитывающая пространственное распределение особей по ареалу проживания. Бегущая волна. Клеточные автоматы. Игра «Жизнь». Клеточные автоматы для исследования уравнений Ферхюльста и Колмогорова-Петровского-Пискунова. Клеточные автоматы Вольфрама.
Тема 15. Нелинейная динамика биологических объектов
Колебательная модель сердечной мышцы. Спиральные волны в сердце. Кровь как нелинейная активная среда. Динамические болезни. Дыхание Чейна-Стокса.
Тема 16. Логистическое уравнение
Модель сосуществования производителей и управленцев. Нелинейные модели Вайдлиха и их применение к экономическим и социальным задачам.
Тема 17. Нелинейность в человеческом сообществе
Нелинейная динамика боевых действия. Эпидемии в человеческом обществе. Феноменологические теории роста населения Земли.
Тема 18. Нелинейная динамика эволюции
Данные о биологических видах, модели эволюции. Возможна ли искусственная жизнь?
Тема 19. Экономика и нелинейная динамика
Линейная модель – экономический осциллятор. Модели Гудвина циклов экономики, процессы установления цены. Взаимодействие продавцов и покупателей
Проектное задание
1. Написать компьютерную программу и исследовать с ее помощью поведение клеточного автомата "Жизнь".
Тест рубежного контроля – вопросы к коллоквиуму
1. Что представляет собой модель Ферхюльста и чем она отличается от модели Мальтуса?
2. В чем заключается и для чего делается обезразмеривание математической модели?
3. Что представляет собой модель рыболовства?
4. При каких минимальных квотах отлова популяция рыб полностью уничтожается?
5. В чем заключается мягкая (гибкая) регуляция квот отлова?
6. Что представляет собой модель "хищник - жертва" Лотки-Вольтерры?
7. Как найти стационарные состояния в модель Лотки-Вольтерры?
8. Является ли консервативной модель Лотки-Вольтерры?
9. При каких условиях в модели Лотки-Вольтерры возникают незатухающие колебания?
10. Что представляет собой мягкая модель Арнольда, учитывающая "насыщение хищников"?
11. В каких случаях в модели Арнольда возникает предельный цикл?
12. Что представляет собой модель конкуренции двух видов?
13. Какие особые точки возникают в модели конкуренции двух видов?
14. Что такое детерминированный хаос в модели "хищник-пища-жертва"?
15. Какие Вы знаете реально проведенные эксперименты по проверке различных экологических моделей?
16. Что представляет собой уравнение Колмогорова-Петровского -Пискунова (КПП) для описания пространственной динамики популяции?
17. Что представляет собой бегущая волна в модели КПП?
18. Какие Вы эксперименты по проверке модели КПП?
19. Что представляет собой клеточный автомат "жизнь"?
20. Какие стационарные и мобильные структуры, которые могут
возникать при работе клеточного автомата "Жизнь", Вы можете указать?
21. Возможно ли использовать клеточные автоматы для исследования других моделей, описывающих пространственную динамику популяций?
22. Что такое клеточные автоматы Вольфрама?
23. Что представляет собой простейшая колебательная модель сердечной мышцы?
24. Что такое спиральные волны и как они проявляются при работе сердца?
25. В каком режиме работает сердце здорового человека?
26. Что представляет собой простейшая математическая модель, описывающая кровь как активную среду и процесс тромбообразования.
27. Что такое дыхание Чейна-Стокса?
28. Какие вы знаете задачи, описываемые логистическим отображением?
29. Что представляет собой модель сосуществования производителей и управленцев и какие выводы можно сделать из его исследования?
30. Что представляют собой модели Вайдлиха в примененеии к экономическим и социальным задачам?
31. Какие вы знаете модели для описания боевых действий армий?
32. Какие вы знаете модели для описания возникновения эпидемий в человеческом обществе?
33. Какую роль играют клеточные автоматы для моделирования возникновения и распространения эпидемий в человеческом обществе?
34. Какие вы знаете математические модели, описывающие рост населения Змемли?
35. Какие вы знаете модели, описывающие эволюцию жизни на Земле?
36. Что представляет собой модели экономического осциллятора Самуэльсона?
37. Что представляет собой модель Гудвина циклов экономики?
38. Что Вам известно о моделировании процесса установления цены товара?
Список рекомендуемой литературы
1. А.А.Короновский. Д.И.Трубецков. Нелинейная динамика в действии. Как идеи нелинейной динамики проникают в экологию, экономику и социальные науки. Изд.ГосУНЦ "Коледж", Саратов 2002.
4. Методические рекомендации к самостоятельной
работе студентов
Самостоятельная работа студентов состоит в проработке лекционного материала, работе с учебниками и монографиями, выполнении работ по компьютерному моделированию, подготовке к собеседованиям с преподавателем и проверки им проектных заданий, подготовке к экзамену.
4.1 Методические рекомендации к изучению вопросов теоретического материала курса «Нелинейная динамика в современном естествознании» и рекомендации по подготовке к выполнению проектных заданий.
Тема 1. Дискретность и нелинейность.
Особое внимание при изучении этой темы следует обратить на тот факт, что в силу локализации бризера разные частицы цепочки колеблются с существенно разными амплитудами. С другой стороны, для нелинейных колебаний типичным является то. что разным амплитудам отвечают различные частоты колебаний. в то время как дскретный бризер характеризуется одной частотой. Приведенное обстоятельство свидетельствует в пользу того, что дискретные бризеры являются весьма нетривиальными динамическими объектами - они являются локализованными в пространстве и в то же самое время периодическими во времени .
Тема 2
Обратите внимание на различие понятий квазибризер и квазипериодический бризер, что особенно наглядно видно из сравнения соответствующих им Фурье-спектров. Механизм модуляционной неустойчивости при накачке энергии в пи-моду приводит к возникновению серии локальных возбуждений разного типа, которые, не будучи строго периодическими, являются некоторыми бризероподобными объектами.
Темы 3
Необходимо понять общую аргументацию в пользу невозможности существования строго периодических во времени и движущихся в решетке динамических объектов. В спектре Фурье для движущихся бризеров присутствуют как частоты, связанные с колебаниями индивидуальных частиц, так и частота, связанная с периодом перехода максимальной амплитуды колебаний от одного узла цепочки к соседнему узлу. В случае цепочек из трех или четырех частиц, при наличии дополнительных интегралов движения, однако, возможно существование движущихся бризеров как некоторых точных решений динамических уравнений.
Тема 4
Особое внимание обратите на различие в свойствах дискретных бризеров малой амплитуды (их частота стремится к верхней границе акустической ветви моноатомной цепочки) и бризеров с большой амплитудой (частота которых при стремлении волнового вектора к нулю стремится к некоторому конечному пределу, отличному от вышеуказанной границы фононного спектра). Дискретные бризеры малой амплитуды являются плохо локализованными (в колебательный процесс вовлечено достаточно большое число частиц решетки), тогда как дискретные бризеры с большими амплитудами имеют достаточно узкую область локализации, охватывающую лишь несколько узлов решетки.
Тема 5
Обратите внимание на трудности применения метода Ньютона, поскольку этот итерационный метод может иметь очень узкую область сходимости. В результате, для успешного применения метода Ньютона необходимо исходить из достаточно хорошего начального приближения, нахождение которого может представлять большие трудности. В случае дискретных бризеров с большими амплитудами, метод парной синхронизации обычно дает достаточно хорошую сходимость и, кроме того, имеет ясную физическую интерпретацию (подавление собственных колебаний периферийных частиц колебаниями центральных частиц дискретного бризера).
Тема 6
Особое внимание обратите, с одной стороны, на применение дискретного нелинейного уравнения Шредингера (ДНУШ) при описании различных явлений природы, а с другой стороны, на приближенный характер этого уравнения. Проделайте вывод уравнения ДНУШ из обычных колебательных уравнений (например, для цепочки Ферми-Пасты-Улама бэта-типа) в приближении медленности изменения и малости амплитуд колебаний и с учетом только одной гармоники в Фурье-спектре колебаний дискретного бризера.
Тема 7
Особое внимание обратите на физический смысл гамильтониана Гейзенберга при описании спиновой динамики.
Тема 8
Наиболее существенным при изучении этой темы является ясное понимание того, насколько более сложными для исследования являются квантовые бризеры по сравнению с бризерами классическими.
Тема 9
Обратите внимание на возможность обнаружения дискретных бризеров с помощью прямых физических экспериментов в случае макроскопических и мезоскопических систем, в отличие от случая исследования дискретных бризеров в кристаллических структурах. В последнем случае возможны лишь косвенные эксперименты с вытекающей из этого неоднозначностью трактовки получаемых экспериментальных данных.
Тема 10
Познакомьтесь со схемой вывода из уравнения Гроссмана-Питаевского уравнений, описывающих движение дискретных бризеров в конденсатах Бозе-Эйнштейна. Обратите внимание на экспериментальные трудности исследования, связанные, в частности, с необходимостью достижения сверхнизких температурных режимов.
Тема 11
Познакомьтесь с расчетной схемой, использованной в работе Киселева с соавторами для построения дискретных бризеров в кристаллах NaI. Тщательно проанализируйте аномалии в колебательном спектре кристаллов этого типа, получаемые в экспериментах по рассеянию нейтронов, которые позволяют сделать вывод о существовании в них дискретных бризеров.
Тема 12
Обратите внимание на грубость тех чисто механических моделей, которые используются в настоящее время для анализа возможности существования и роли движущихся бризеров в двойных цепочках разной конфигурации. Почему оказывается необходимым учитывать взаимодействия не только между ближайшими, но и более далекими узлами цепочек?
Тема 13
При изучении этой и последующих тем рекомендуется использовать монографию А. А. Короновского и Д. И. Трубецкова «Нелинейная динамика в действии» [1], в которой рассмотрено большое число разнообразных моделей нелинейной динамики для исследования целого ряда экологических, экономических и социологических проблем. Обратите особое внимание на исследование модели Лотки-Вольтерры, а также на возможность существования разнообразных колебательных режимов в этой и других моделях, в частности, на проявления в их динамике детерминированного хаоса.
Тема 14
Тщательно разберите отличие уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова от обычного диффузионного уравнения и наличие для этого уравнения решения в виде бегущей волны. Попытайтесь самостоятельно запрограммировать простейший клеточный автомат, реализующий игру «Жизнь», и получить набор различных стационарных и мобильных структур, являющихся результатом работы этого автомата.
Тема 15
Обратите внимание на то, что в норме биение сердца не является строго периодическим. Ответьте на вопрос, с чем эволюционно связана эта особенность работы человеческого сердца? В чем заключаются болезнь, называемая дыханием Чейна-Стокса?
Тема 16
Обратите особое внимание на тот факт, что исследование очень многих экономических и социальных систем приводит к моделям, так или иначе связанным с логистическим уравнением. Выпишите простейший вариант уравнений Вайдлиха и укажите в чем их отличие от логистического уравнения.
Тема 17
Обратите внимание на структуру динамических уравнений, с помощью которых пытаются описать боевые действия. Разберите простые и более сложные модели, описывающие возникновение и распространение эпидемий в человеческом обществе. Какую роль играют клеточные автоматы при исследовании этих моделей?
Тема 18
Ознакомьтесь с качественным описанием различных особенностей эволюции нашего мира и некоторых моделей, которые были созданы для ее объяснения по книге А. А. Короновского и Д. И. Трубецкова [1]. Вы получите особое удовольствие от чтения главы 6 из этой книги.
Тема 19
Познакомьтесь с нелинейными моделями, которые могут на качественном уровне объяснить целый ряд экономических явлений, в частности, с моделью Гудвина, описывающей циклы экономики.
4.2 Общий список рекомендуемой литературы
1. Г.М.Чечин, Д.С.Рябов. Дискретные бризеры. Учебно-методическое пособие для студентов 2-го года магистратуры (электронный вариант).
2. Г.М.Чечин, Г.С.Джелаухова. Дискретные бризеры, квазибризеры и метод парной синхронизации. Учебно-методическое пособие для студентов 2-го года магистратуры (электронный вариант).
3. S. Flach, A. V. Gorbach. Discrete Breathers – Advances in theory and applications// Physics Reports 467, pp. 1-116, 2008.
4. А. А. Короновского, Д. И. Трубецкова «Нелинейная динамика в действии», изд. ГосУНЦ «Колледж», Саратов, 2002.
5. И. Пригожин, И. Стенгерс, «Порядок из хаоса: новый диалог человека с природой», М., 1986.
Вопросы к зачёту
1. Дискретные бризеры и различные бризероподобные динамические объекты (квазибризеры, квазипериодические бризеры, движущиеся бризеры, хаотические бризеры).
2. Условие существования дискретных бризеров в нелинейных гамильтоновых решётках.
3. Дискретные бризеры в цепочках Клейна-Гордона. Моды Сиверса-Такено и Пейджа.
4. Дискретные бризеры в цеопчке типа Ферми-Пасты-Улама. Бризеры больших и малых амплитуд.
5. Щелевые дискретные бризеры.
6. Фурье-спектры стационарных и движущихся дискретных бризеров.
7. Метод вращающейся фазы для приближённого аналитического исследования дискретных бризеров в нелинейных гамильтоновых решётках.
8. Численные методы построения стационарных дискретных бризеров.
9. История открытия дискретных бризеров.
10. Метод модуляционной неустойчивости для возбуждения дискретных бризеров.
11. Дискретные бризеры в контиливерных массивах.
12. Дискретные бризеры в оптических волноводах.
13. Дискретные бризеры в спиновых системах.
14. Дискретные бризеры в квазиодномерных кристаллах.
15. Дискретные бризеры в полимерах и молекуле ДНК.
16. Нейтронографические исследования дискретных бризеров в щёлочно-галлоидных кристаллах.
17. Цепочечная модель для дискретных бризеров в пировскитоподобных кристаллах.
18. Дискретные бризеры в Бозэ-Эйнштейновских конденсатах в оптических ловушках.
19. Бризеры и ротобризеры в цепочках Френкеля-Конторовой.
20. q-бризеры и проблема Ферми-Пасты-Улама по равнораспределению энергии между различными степенями свободы.
21. Метод Флоке для исследования устойчивости дискртеных бризеров.
22. Модель Ферхюлста для пописания динамики популяции и её исследования.
23. Модель рыболовства и её исследование.
24. Модель «хищник-жертва» Лотки-Вольтерры и её исследование.
25. Модель Арнольда, учитывающая насыщение хищников, и её исследование.
26. Модель «хищник-пища-жертва» и различные возможные в ней динамические режимы.
27. Уравнение Колмогорова-Петровского-Пискунова для описания пространственной динамики популяций.
28. Клеточные автоматы. Игра «Жизнь».
29. Колебательная модель сердечной мышцы.
30. Модель, описывающая динамику крови и процесс тромбообразование.
31. Дыхание Чейна-Стокса.
32. Модели Вайдлиха в экономических и социальных задачах.
33. Модели описания эпидемий в человеческом обществе.
34. Экономическая модель Самуэльсона.
35. Модели Гудвина циклов экономики.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РЕЙТИНГ-БАЛЛОВ ПО УЧЕБНЫМ МОДУЛЯМ И ВИДАМ ЗАНЯТИЙ
Модуль 1. Дискретные бризеры
Промежуточный рейтинг-контроль.
1. Проектные задания мин. 50, макс. 100.
2. Коллоквиум мин. 30, макс. 50.
Сумма баллов за модуль: мин. 80 макс. 150.
Модуль 2. Нелинейная динамика при изучении экологических, биологических и экономических систем.
Промежуточный рейтинг-контроль.
1. Проектное задание мин. 36, макс. 60.
2. Коллоквиум мин. 30, макс. 50.
Сумма баллов за модуль: мин. 66, макс. 110.
Таблица 1
Соответствие баллов итогового рейтинга оценке в 1-м семестре
________________________________________________________________
Оценка Отлично Хорошо Удовлетво- Неудовлетво-
рительно рительно
________________________________________________________________
Баллы 200-260 180-199 150-179 0-149
________________________________________________________________