Учебно-методический комплекс учебной дисциплины «теория групп» цикла дс по специальности 010700 Физика
| Вид материала | Учебно-методический комплекс |
- Учебно-методический комплекс учебной дисциплины «нелинейная динамика в современном, 450.69kb.
- Учебно-методический комплекс учебной дисциплины «численные методы и математическое, 428.92kb.
- Учебно-методический комплекс учебной дисциплины «основы нелинейной динамики» цикла, 824.91kb.
- Программа дисциплины дн. Ф. 2 История и методология физики для студентов специальности, 80.46kb.
- Учебно-методический комплекс по дисциплине «Правоведение» гсэ. Ф. 06 Для направления/специальности, 2849.24kb.
- Учебно-методический комплекс учебной дисциплины «Литературы народов снг» (часть, 370.67kb.
- Учебно-методический комплекс учебной дисциплины «Литературы народов снг» (часть II), 280.88kb.
- Учебно-методический комплекс учебной дисциплины Геометрические построения Специальность, 185.36kb.
- Учебно-методический комплекс учебной дисциплины «Муниципальное управление» по специальности, 359.71kb.
- Учебно-методический комплекс учебной дисциплины «механика, основы механики сплошных, 661.73kb.
Проектное задание
1. Построить неприводимые представления и их базисные функции на атомных перестановках и атомных смещениях для заданной конфигурации молекулы.
2. Найти схему расщепления данного вырожденного уровня иона в окружении других ионов заданной конфигурации.
Тест рубежного контроля
1. Число различных неприводимых представлений группы
а) всегда равно числу ее классов сопряженных элементов
б) может превышать порядок группы
в) равно числу всех инвариантных подгрупп группы
2. Размерность любого неприводимого представления
а) может превышать порядок группы
б) является делителем порядка группы
в) совпадает с числом классов сопряженных элементов
3. Теорема Бернсайда утверждает,что
а) сумма размерностей всех неприводимых представлений группы равна порядку этой группы
б) сумма квадратов размерностей всех неприводимых представлений группы равна порядку этой группы
в) максимальная размерность неприводимого представления равна порядку группы
4. В регулярное представление группы ее каждое неприводимое представление
а) входит только один раз
б) может не входить вовсе
в) входит столько раз, какова размерность этого представления
5. Сумма квадратов модулей следов всех матриц неприводимого представления группы равна
а) размерности данного представления
б) порядку группы
в) порядку ядра гомоморфизма данного представления
6. Матрица, коммутирующая со всеми матрицами данного неприводимого представления является
а) треугольной
б) нулевой
в) кратной единичной матрице
7. матрица, коммутирующая со всеми матрицами данного приводимого представления имеет блочно-диагональный вид, причем, размерность каждого из блоков определяется
а) размерностью (ni) соответствующего неприводимого представления, входящего в состав исходного приводимого представления
б) кратностью вхождения (mi) неприводимого представления в состав исходного приводимого представления
в) произведением (mi * ni) размерности неприводимого представления на кратность его вхождения в приводимое представление
8. Представление, индуцированное из данного неприводимого представления подгруппы,
а) всегда является неприводимым представлением группы
б) имеет большую размерность по сравнению с размерностью исходного неприводимого представления группы
в) имеет меньшую размерность по сравнению с размерностью исходного неприводимого представления группы
9. Чем различаются эквивалентные представления:
а) размерностью;
б) разными базисами в одном пространстве;
в) пропорциональностью всех своих матриц.
10. Как установить эквивалентность двух представлений:
а) по равенству характеров представлений
б) по одинаковой размерности их;
в) по одинаковости наборов матриц, из которых образованы эти представления?
11. Пусть имеются представления группы T1 и Т2 с размерностями n1 и n2 соответственно. Какую размерность имеет представление, равное прямой сумме T1 и Т2:
а) n1+n2;
б) n1*n2;
в) n1-n2.
12. Представление T группы G есть прямое произведение двух представлений T1 и Т2 этой же группы с размерностями n1 и n2 соответственно: Какова размерность представления T:
a) n1+n2;
b) n1*n2;
c) n1-n2
13. Дано представление T абелевой группы порядка N в линейном пространстве размерности n. На какое число неприводимых представлений разлагается представление T:
а) N;
б) n;
в) n+N?
14. Чему равен характер прямого произведения двух представлений группы
а) совокупности сумм соответствующих компонент характеров этих представлений
б) совокупности произведений соответствующих компонент характеров этих представлений
в) скалярному произведению характеров двух вышеуказанных представлений
Бланк ответов
| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| а | | | | | | | | | | | | | | |
| б | | | | | | | | | | | | | | |
| в | | | | | | | | | | | | | | |
Список рекомендуемой литературы
1. Эллиот Дж., Добер М, Симметрия в физике, т. 1. М.: Мир, 1983.
2. Петрашень М.И., Трифонов E.Д. Применение теории групп в квантовой механике. М.: Наука, 1967.
3. Хамермеш М., Теория групп и её применение к физическим проблемам. М.: Мир, 1966.
4. Бир Г. Л., Пикус Г. Е., Симметрия и деформационные эффекты в полупроводниках, М.: Наука, 1972.
5. Хейне В., Теория групп в квантовой механике, М.: ИЛ, 1963.
6. Ковалёв О. В., Неприводимые и индуцированные представления и копредставления фёдоровских групп. М.:, Наука, 1986.
7. Ландау Л.Д, Лившиц Е.М. Статистическая физика. Т.5. Часть 1. М.:Наука,1995.
8. Ландау Л.Д, Лившиц Е.М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). Т.3. М.: Наука, 1989.
Модуль 3.
Комплексная цель: После изучения модуля студент должен: знать определения группы Ли и инфинитезимального оператора,уравнения Ли для восстановления конечных преобразований группы Ли по ее инфинитезимальному оператору, определение абстрактной алгебры, скобки Пуассона и их свойства, определение алгебры Ли. группу плоских вращений R_2 и ее неприводимые представления, группу трехмерных вращений и коммутационные соотношения между ее инфинитезимальными операторами, переход в группе R_3 к «понижающим” и “повышающим” инфинитезимальным операторам, оператор Казимира, нумерацию и размерности неприводимых представлений группы R_3, однозначные и двузначные неприводимые представления группы R_3, выражение для характеров неприводимых представлений группы R_3, вид разложения прямого произведения двух неприводимых представлений группы R_3 на ее неприводимые представления; иметь представление о связи законов сохранения в квантовой механики с ее непрерывной симметрией гамильтониана рассматриваемой системы, о связи теории группы R_3 с теорией углового момента атома; уметь построить алгебру Ли по заданным конечным преобразованиям группы Ли, получить вид инфинитезимальных операторов группы R_3 и коммутационные соотношения между ними.
Содержание модуля 3
Тема 14. Определение группы Ли. Примеры групп Ли.
Дается общее определение группы Ли и приводятся примеры некоторых простейших групп Ли (афинной группы, группы плоских вращений, группы Лоренца и др.).
Тема 15. Инфинитезимальный оператор и теорема Ли о восстановлении группы Ли по ее оператору. Дается определение инфинитезимального оператора и способ его построения по конечным преобразованиям группы Ли. Приводятся примеры этих операторов для ряда групп Ли. Обсуждается теорема Ли о восстановлении группы конечных преобразований по ее инфинитезимальным операторам.
Тема 16. Алгебры Ли и примеры их построения.
Понятие абстрактной алгебры. Скобка Пуассона и ее свойства. Вторая основная теорема Ли. Пример построения алгебры Ли для трехпараметрической группы Ли.
Тема 17. Группа R_2 и ее неприводимые представления.
Определение группы R_2. Вывод одномерных матриц ее неприводимых представлений. Понятие о двузначных представлениях группы R_2.
Тема 18. Группа R_3 и ее неприводимые представления.
Инфинитезимальные матрицы группы R_3 и коммутационные соотношения между ними. “Понижающие” и “повышающие” операторы. Оператор Казимира. Нумерация и размерности неприводимых представлений группы R_3. Однозначные и двузначные неприводимые представления группы R_3. Выражение для характеров неприводимых представлений. Разложения прямого произведения двух неприводимых представлений группы R_3 на ее неприводимые представления. Сферические функции. Связь теории группы R_3 с теорией углового момента атома.
Проектное задание
1. Построить алгебру Ли для группы трехмерных вращений R_3.
Тест рубежного контроля
1. Группа R_2 является
а) двухпараметрической
б) трехпараметрической
в) однопараметрической
2. Группа Лоренца является
а) двухпараметрической
б) трехпараметрической
в) однопараметрической
3. Инфинитезимальный оператор однопараметрической группы Ли определяет
а) только линейную часть разложения групповых преобразований в ряд Тейлора
б) соответствующие ряды Тейлора полностью
в) не имеет никакого отношения к рядам Тейлора
4. Умножение в алгебре Ли определяется
а) как парное умножение инфинитезимальных операторов
б) через скобку Пуассона инфинитезимальных операторов
в) с помощью формы Жордана инфинитезимальных операторов
5. Размерность алгебры Ли
а) совпадает с параметричностью соответствующей ей группы Ли
б)размерность алгебры Ли всегда больше параметричности группы Ли
в) прямой связи размерности алгебры Ли с параметричностью группы Ли нет
6.Знание инфинитезимального оператора позволяет восстановить преобразования группы Ли
а) с помощью преобразования Ли-Бэклунда
б) с помощью вычисления скобки Пуассона
в) с помощью решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений Ли
7.Группа Ли называется компактной, если
а) ее параметры изменяются лишь в некоторой ограниченной области
б) если число ее параметров равно размерности пространства, в котором определены преобразования этой группы
в) если число ее параметров меньше размерности пространства, в котором определены преобразования группы Ли
8. Структурные постоянные алгебры Ли представляют собой коэффициенты разложения
а) симметризованного произведения инфинитезимальных операторов
б) кососимметричного произведения этих операторов
в) их обычного произведения
9. Размерность неприводимых представлений группы R_3
а) равна трем
б) может быть произвольным нечетным числом
в) может быть произвольным натуральным числом
10.Зависимость характера неприводимого представления группы R_3 имеет
а) логарифмический характер
б) синусоидальный характер
в) кноидальный характер
11. Число слагаемых в разложении прямого произведения двух неприводимых представлений группы R_3 с весами 3 и 5 по всем возможным ее неприводимым представлениям равно
а) 3
б) 5
в) 7
12. Все коэффициенты разложения прямого произведения двух заданных неприводимых представлений группы R_3 по набору неприводимых представлений этой группы
а) равны 0 или 1
б) могут иметь дробные значения
в) могут иметь различные знаки
13. Неприводимое представление группы R_3 с весом j=2 является:
а) двумерным;
б) одномерным;
в) пятимерным?
14. Какими правилами отбора определяется изменение орбитального квантового числа l для дипольных электрических переходов электрона в атоме:
а)
;б)
;в)
;Бланк ответов
| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| а | | | | | | | | | | | | | | |
| б | | | | | | | | | | | | | | |
| в | | | | | | | | | | | | | | |
Список рекомендуемой литературы
1. Эллиот Джс, Добер М, Симметрия в физике, т. 1. Москва, Мир 1983.
2. Петрашень М.И., Трифонов E.Д. Применение теории групп в квантовой механике. Москва, Наука, 1967.
3. Ибрагимов Н.Х. Азбука группового анализа. Москва, Знание, 1989.
4. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы теории колебаний. Москва, Наука, 1988.
4. Методические рекомендации по самостоятельной
работе студентов
4.1. Рекомендации к изучению отдельных тем курса
Тема 1. Теория групп и физика.
При изучении этой темы особое внимание рекомендуется обратить на применение аппарата теории групп в квантовой механике и физике элементарных частиц. Обзор соответствующих приложений можно найти в книге [1].
Тема 2. Элементы абстрактной теории групп.
В связи с возможными трудностями восприятия абстрактных понятий общей теории групп настойчиво рекомендуется сначала составить таблицу группового умножения для группы симметрии “квадратной молекулы» (точечная группа C4v), после чего использовать ее как таблицу умножения некоторой абстрактной группы для построения классов сопряженных элементов, подгрупп, классов смежности и др. математических конструкций теории групп. Наиболее удачно (причем, кратко) абстрактная теория групп изложена в книге Бира и Пикуса [4].
Тема 3. Точечные группы симметрии.
Обратить особое внимание на то, что далеко не любое сочетание элементов симметрии возможно для построения некоторой группы для того, чтобы обеспечить свойство замкнутости конечной группы (подумайте, например, почему невозможна группа симметрии, у которой имеется поворотная ось, проходящая под острым углом к плоскости зеркального отражения). Обратите также различие в физических приложениях понятий макро – и микросимметрии.
Тема 4. Пространственные группы симметрии.
Обратите внимание на то, что примитивной ячейки для данного кристалла неоднозначен эти ячейки при равенстве (и минимальности!) объема могут иметь весьма различные формы, которые не дают представления о точечной группе симметрии кристалла (его кристаллическом классе). Проведите самостоятельно доказательство теоремы о несовместимости поворотных осей с порядком, отличным от 1,2,3,4 и 6, с трансляционной симметрией. Тщательно проанализируйте ограничения на величину несобственных (дробных) трансляций, которые могут сочетаться с данным элементом точечной симметрии. Обратите внимание на то, что набор несобственных трансляций зависит от выбора начала координат, относительно которой задаются элементы точечной группы симметрии. Особое внимание обратите на интерпретацию обратной решетки как набора частот трехмерного ряда Фурье, в который можно разложить периодические на прямой решетке функции. Научитесь находить в спавочнике Ковалева [6] аналитическое описание различных пространственных групп (набор элементов кристаллических классов и соответствующих им несобственных трансляций, вид базисных векторов обратных решеток, а также точек и направлений выделенной симметрии в этих решетках).
Тема 5. Приводимые и неприводимые представления конечных групп.
Важно понять, что коммутирующие друг с другом матрицы единым преобразованием подобия можно привести к диагональному виду. Именно с этим связан тот факт, что все неприводимые представления абелевых групп являются одномерными. С другой стороны, матрицы, которые друг с другом не коммутируют, нельзя одновременно (одним и тем же преобразованием подобия) привести к диагональному виду. В случае неабелевой группы отсюда следует, что эта группа должна иметь и некоторые неодномерные представления. Каждому из таких НП отвечает некоторое инвариантное подпространства того функционального пространства, на котором определено действие операторов группы. Важно осознать факт невозможности одновременного приведения некоммутирующих матриц с принципом неопределенности Гейзенберга в квантовой механике.
Тема 6. Леммы Шура и свойства ортогональности неприводимых представлений конечных групп.
Детально разберите леммы Шура. А какой вид будет иметь матрица, коммутирущая со всеми матрицами некоторого приводимого представления данной группы? Заметьте, что ответ на этот вопрос приводит нас к рассмотренной далее теореме Вигнера. Важно понять,что на число различных непрводимых представлений
Тема 7. Теория характеров неприводимых представлений конечных групп.
Обратите внимание на то, что нахождение явного вида матриц неприводимых представлений группы и работа с ними могут оказаться весьма непростыми задачами. С другой стороны, ответы на целый ряд существенных вопросом (например, это касается задачи о расщеплении вырожденных уровней атома в полях различной симметрии) могут быть найдены на уровне работы с характерами неприводимых представлений, что значительно проще работы с матрицами многомерных представлений. Необходимо детально освоить основные свойства характеров неприводимых представлений и работу с этими математическими объектами.
Тема 8. Индуцирование представлений группы из представлений ее подгрупп.
Процедура построения неприводимых представлений групп не относится к числу простых задач. Более того, для нее в общем случае неизвестен алгоритм решения. Наиболее часто для построения неприводимых представлений группы прибегают к индуцированию их из неприводимых представлений некоторой ее инвариантной подгруппы. Рекомендуется, разобрав процедуру индуцирования для случая инвариантной подгруппы индекса 2, найти все неприводимые представления нескольких простых точечных групп (например, для группы C4v).
Тема 9. Понятие о неприводимых представлениях пространственных групп.
Процедура построения неприводимых представлений описана достаточно подробно в книге Бира и Пикуса [4]. Для практического построения неприводимых представлений той или иной пространственной группы прийдется прибегать к справочнику Ковалева [4]. Следует, однако, иметь в виду, во-первых, неприводимые представления в этом справочнике закодированы весьма сложным образом, и что в нем имеется очень большое число опечаток (существует американское издание книги Ковалева, в котором ошибки были устранены с помощью соответствующей компьютерной программы).
Тема 10. Построение базисных векторов неприводимых представлений.
Достаточно хорошее изложение метода проекционных операторов для построения неприводимых представлений групп симметрии можно найти в книгах [3] и [4]. Обязательно проведите соответствующее построение для какой-либо простой группы симметрии. Учтите, что при неудачном выборе стартовой функции, на которую действует операционный оператор, для некоторых представлений вы можете получить нулевой результат. Обязательно выполните построение базисных функций «прямым методом”, в основу которого положено лишь определение матричного представления группы.
Тема 11. Теорема Вигнера.
Теорема Вигнера является основополагающей для классификации состояний квантовых систем. Наиболее хорошо эта теорема изложена в книге [2].
Выведите эту теорему на конкретном примере исходя из условия, что некоторая матрица коммутирует со всеми матрицами данного приводимого представления, приведенного к блочно-диагональной форме, и применяя леммы Шура.
Тема 12. Теория групп и квантово-механическая теория возмущений.
Наиболее хорошо данный вопрос изложен в книге [3].
Тема 13. Правила отбора и их нахождение методами теории групп.
Очень хорошее изложение вопросов этой темы можно найти в книге Хамермеша [3] и в книге Хейне [5].
Тема 14. Определение группы Ли. Примеры групп Ли.
Начинать изучение групп Ли студентам рекомендуется по книгам [10] и [11].В них предельно ясно описаны все необходимые для использования в нашем курсе далее понятия непрерывных групп и приведено достаточно большое число примеров простейших групп Ли.
Тема 15. Инфинитезимальный оператор и теорема Ли о восстановление группы Ли по ее оператору.
Методические рекомендации к изучению студентами настоящей темы полностью совпадают с советами, приведенными к предыдущей теме.
Тема 16. Алгебры Ли и примеры их построения.
Очень ясное изложение понятия абстрактной алгебры можно найти в книге Хамермеша [3]. Вопросы, касающиеся скобок Пуассона, определяющих операцию умножения в алгебре Ли, и их свойств, а также примеры построения алгебр Ли, по-видимому, более удачно изложены в книге Журавлева и Климова [11].
Тема 17. Группа R_2 и ее неприводимые представления.
Относящиеся к данной теме вопросы достаточно хорошо изложены в большинстве книг по теории групп (см., например, [1,2,3,4]).
Тема 18. Группа R_3 и ее неприводимые представления.
Для изучения данной темы наиболее доступными, по-видимому, являются книга Эллиота и Добера [1] и книга Петрашень и Трифонова [2]. Вывод коммутационных соотношений для инфинитезимальных матриц группы R_3 лучше изложен в [2], в то время, как построение неприводимых представлений этой группы более ясно описано, на наш взгляд, в [1].