Учебно-методический комплекс учебной дисциплины «теория групп» цикла дс по специальности 010700 Физика
| Вид материала | Учебно-методический комплекс |
- Учебно-методический комплекс учебной дисциплины «нелинейная динамика в современном, 450.69kb.
- Учебно-методический комплекс учебной дисциплины «численные методы и математическое, 428.92kb.
- Учебно-методический комплекс учебной дисциплины «основы нелинейной динамики» цикла, 824.91kb.
- Программа дисциплины дн. Ф. 2 История и методология физики для студентов специальности, 80.46kb.
- Учебно-методический комплекс по дисциплине «Правоведение» гсэ. Ф. 06 Для направления/специальности, 2849.24kb.
- Учебно-методический комплекс учебной дисциплины «Литературы народов снг» (часть, 370.67kb.
- Учебно-методический комплекс учебной дисциплины «Литературы народов снг» (часть II), 280.88kb.
- Учебно-методический комплекс учебной дисциплины Геометрические построения Специальность, 185.36kb.
- Учебно-методический комплекс учебной дисциплины «Муниципальное управление» по специальности, 359.71kb.
- Учебно-методический комплекс учебной дисциплины «механика, основы механики сплошных, 661.73kb.
4.2. Вопросы для самоконтроля
1. Определите точечные группы 1 -го рода.
2. Определите точечные группы 2-го рода.
3. Опишите различие в элементарных точечных группах 1 -го и 2-го рода.
4. Входят ли элементы точечных групп 1 -го рода в точечные группы 2-го рода?
5. Образуют ли элементы 1-го рода входящие в группы второго рода подгруппу?
6. Образуют ли элементы 2-го рода группы второго рода подгруппу?
7. Выпишите классы сопряженных элементов для групп Сn , S2n, Dn Т, О.
8. Опишите процесс нахождения неприводимых представлении групп Сn, Cnn,Cv.
9. Что такое двузначные представления точечных групп?
10. Приведите примеры физически неприводимых представлений точечных групп.
11. Покажите, что группа трансляций является абелевой группой.
12. Является ли группа дискретных трансляций группой Ли?
13.Является ли группа дискретных трансляций компактной группой?
14. Каким условиям должна удовлетворять точечная группа группы трансляций?
15. Дайте определение кристаллической системе.
16. Перечислите все кристаллические системы.
17. Перечислите возможные типы решеток (решетки Браве).
18. Какой смысл имеют элементы пространственной группы кристаллической решетки?
19. В каком отношении находятся группа трансляций и пространственная группа?
20. Дайте определение кристаллическому классу.
21. Чему равно число кристаллических классов?
22. Какие элементы группы трансляций могут быть выбраны в качестве генераторов группы?
23. Определите обратную решетку и её векторы
.24. Что можно сказать о двух неприводимых представлениях группы трансляций τк и
, векторы, которых различаются на вектор обратной решетки 
.25. Какие операторы представления τк группы трансляций можно выбрать в качестве генераторов представления?
26. Что такое звезда представления Т пространственной группы?
27. Что такое группа вектора
?28. Что такое малое представление группы вектора
?29. Сколько и каких индексов определяет неприводимое представление пространственной группы?
30. Определите звезду вектора
для пространственной группы одноатомного кристалла с квадратной решеткой, если конец вектора не лежит на элементе симметрии зоны Бриллуэна.31. Какой вид имеет матрица неприводимого представления с вектором
для трансляций?32. Найдите матрицу неприводимого представления пространственной группы квадратной решетки, если вектор
лежит на оси симметрии.33. Какой смысл имеет вектор
неприводимого представления группы трансляций?34. Что определяет кратность вырождения частот нормальных колебаний?
35. Какой физический смысл имеют предельные колебания с
?36. Какая разница между акустическими и оптическими колебаниями?
37. Как можно сформулировать теорему Блоха для одноэлектронной волновой функции?
38. Покажите роль трансляционной симметрии при решении уравнений колебаний атомов в кристалле.
39. Покажите, что волновая функция свободного электрона удовлетворяет теореме Блоха.
40. Чем физически различаются волновой вектор и квазиволновой вектор?
41. Дайте определение понятию «группа». Укажите свойства групповой операции. Приведите примеры группы из трех элементов.
42. Определите понятие сопряженных элементов группы, классов сопряженных элементов. Приведите пример, рассмотрев группу R_3.
43. Какое общее свойство имеют элементы, принадлежащие к одному классу сопряженных элементов. Приведите примеры.
44. Определите понятие подгруппы и смежных классов группы по подгруппе. Чему равно число таких классов для конечных групп?
45. Покажите, что смежные классы группы G по подгруппе H не пересекаются, сформулируйте теорему Лагранжа и приведите примеры.
46. Определите понятие нормальной подгруппы и фактор группы.
47. Что такое изоморфизм групп? Чем различаются изоморфные группы? Приведите примеры.
48. Определите понятие гомоморфного отображения группы G на группу Н. Приведите примеры. Определите функциональное линейное пространство и скалярное произведение в нем. Приведите примеры конечномерных и бесконечномерных функциональных пространств.
49. Определите индуцированные операторы в функциональных линейных пространствах.
50. Дайте определение понятию «представление» группы. Приведите примеры.
51. Что такое эквивалентные представления групп и их классы? Чем различаются эквивалентные представления?
52. Пусть представление T группы G действует в пространстве Ln. Дайте определение инвариантного пространства L(1) по отношению к представлению T, и покажите, что в пространстве L(1) действует некоторое представление T1, группы G.
53. Пусть унитарное представление T группы G определено в пространстве Ln, имеющем инвариантное подпространство L(1). Покажите, что представление T в этом случае разлагается на прямую сумму двух представлений.
54. Определите группу симметрии оператора Гамильтона GH, и покажите, что в пространстве LH - собственных функций оператора
действует представление Т группы GH.55. Покажите, что операторы
представления группы GH оператора в пространстве LE - собственных функций оператора коммутируют с . Интерпретируйте это свойство операторов с точки зрения законов сохранения энергии. Приведите примеры.56. Дайте формулировку теоремы Вигнера и покажите, что следует понимать под случайным вырождением.
57. Определите группу одномерных трансляций, её свойства и генератор группы.
58. Определите инфинитезимальный оператор
(генератор) представления Т группы трансляций. Покажите, как выражаются через него операторы представления 
. Найдите неприводимые представления группы трансляций и рассмотрите их свойства.59. Определите генератор группы трансляций
в функциональном пространстве, свяжите его с оператором импульса и соответствующим законом сохранения.60. Определите ограниченную группу трансляций, найдите её неприводимые представления и обсудите их свойства.
61. Рассмотрите группу R_2 как ограниченную группу трансляций. Найдите её неприводимые представления и их генератор в функциональном пространстве. Установите его физический смысл.
62. Найдите характеры неприводимого представления группы R_3 с весом j.
63. Что такое «правила отбора» и как они находятся методами теории групп.
64. Определите прямое произведение представлений группы. Чему равны характеры такого произведения?
65. Определите разложение и коэффициенты Клебша-Гордана для прямого произведения двух неприводимых представление группы.
66. Изложите использование методов теории групп в квантово-механической теории возмущений.
67. Используя соотношение ортогональности для характеров неприводимых представлений, получите формулу для разложения приводимого представления на неприводимые.
68. Пользуясь соотношением ортогональности для характеров неприводимых представлений, получите критерий неприводимости представления.
69. Найдите операторы Iz,I+,I-,Ix,Iy для неприводимого представления группы R_3 с весом j =1/2.
70. Представление Т группы R_3 определено в пространстве Lп. Определите в нем канонический базис {ет}. Как действуют на ет операторы Iz,I+,I-?
71. Определите термин «характеры» представления группы. Укажите свойства характеров и критерий эквивалентности представлений.
72. Покажите, что скалярное произведение векторов
и 
преобразующихся по неприводимым представлениям τα и τβ группы G равно нулю.73. Какой вид и почему имеют матрицы операторов
. и 
в каноническом базисе пространства Ln, в котором определено представление Т группы R_3.74. Рассмотрите однопараметрическую подгруппу группы множество поворотов
вокруг оси 
.Определите, инфинитезимальный оператор и найдите выражение через этот оператор.75. Покажите, что инфинитезимальные операторы группы R_3 выражается через операторы Iz,I+,I-,Ix,Iy .
76. Как выглядят коммутационные соотношения для группы R_3 и для однопараметрической группы?
4.3. Глоссарий
Гомоморфизм групп: группа Н
) является гомоморфным отображением группы 
, если существует соответствие
такое, что из равенства 
следует равенство h1*h2=h3.Группа: множество G элементов
, на котором задана операция умножения, т. е. каждой парой элементов х,у сопоставлен третий элемент z: xy = z. Кроме того, операция умножения должна быть ассоциативной, в множестве должен быть единичный элемент и обратный. Группа абелева: групповое умножение обладает свойством коммутативности.
Группа Ли: бесконечная группа, любой элемент который можно задать конечным числом непрерывных параметров. Минимальное число последних называется размерностью группы Ли.
Группа R2(0+(2);SO(2,R)): группа двумерных представлений, т.е. множество поворотов вокруг оси z на углы 0<α<2π.
Группа D3 (0+(3);S0(3,R): группа поворотов вокруг осей проходящих через начало координат на углы 0 <α<π.
Единичное (тождественное) представление: любому элементу g группы G ставится в соответствие единичный (тождественный) оператор в одномерном линейном пространстве.
Изоморфизм групп: группы G
, и Н 
) изоморфны, если соответствие между элементами групп двухстороннее 
, т.е. изоморфизм - частный случай гомоморфизма.Инвариантное подпространство: пусть в пространстве Ln (n>1) действует представление
группы G. Если в пространстве Ln имеется нетривиальное подпространство W
, и для любого 
, 
, то такое подпространство является инвариантным.Индуцированное преобразование функции: пусть g есть некоторое преобразование x'=g*x аргументов х векторов ψ(х) функционального пространства w. Тогда преобразование g индуцирует в пространстве w преобразование функций или оператор
.Инфинитезимальный оператор. Пусть
оператор представления T r-параметрической группы Ли с параметрами 
. Тогда инфинитезимальный оператор 
.Представление группы: представление Т группы G в пространстве L есть гомоморфное отображение группы G на группу операторов
, действующую в пространстве L.Подгруппа: непустое подмножество Н в группе G, называется подгруппой, если вместе с любыми двумя его элементами а,b оно содержит их.произведение а*b и с каждым своим элементом с содержит обратный ему с-1.
Представление группы неприводимое: такое представление реализуется в пространстве, не имеющем инвариантных подгрупп, по отношению к операторам представления.
5. Общий список рекомендуемой литературы
1. Эллиот Дж., Добер М, Симметрия в физике, т. 1. М.: Мир, 1983.
2. Петрашень М.И., Трифонов E.Д. Применение теории групп в квантовой механике. М.: Наука, 1967.
3. Хамермеш М., Теория групп и её применение к физическим проблемам. М.: Мир, 1966.
4. Бир Г. Л., Пикус Г. Е., Симметрия и деформационные эффекты в полупроводниках, М.: Наука, 1972.
5. Хейне В., Теория групп в квантовой механике, М.: ИЛ, 1963.
6. Ковалёв О. В., Неприводимые и индуцированные представления и копредставления фёдоровских групп. М.:, Наука, 1986.
7.Любарский Г.Я. Теория групп и ее применение в физике. М.:Наука, 1957.
8.Ландау Л.Д, Лившиц Е.М. Статистическая физика. Т.5. Часть 1. М.:Наука,1995.
9. Ландау Л.Д, Лившиц Е.М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). Т.3. М.: Наука, 1989.
10. Ибрагимов Н.Х. Азбука группового анализа. М.: Знание, 1989.
11. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы теории колебаний. М.: Наука, 1988.
6. Экзаменационные билеты
| Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» Физический факультет Кафедра теоретической и вычислительной физики Экзаменационный билет № 1 по предмету Теория групп 1. Группа, подгруппа. Таблица Кэли. Генераторы группы и определяющие соотношения. 2. Приводимые и неприводимые матричные представления конечных групп. 3. Построить базисные функции всех одномерных неприводимых представлений группы С4v на атомных смещениях квадратной молекулы. Зав. кафедрой Экзаменатор Дата утверждения 21.11.07 |
| Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» Физический факультет Кафедра теоретической и вычислительной физики Экзаменационный билет № 2 по предмету Теория групп 1. Классы сопряженных элементов. Классы смежности и теорема Лагранжа. 2. Свойства неприводимых представлений конечных групп. 3. Построить базисные функции двумерного неприводимого представления группы С4v на атомных смещениях квадратной молекулы. Зав. кафедрой Экзаменатор Дата утверждения 21.11.07 |
| Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» Физический факультет Кафедра теоретической и вычислительной физики Экзаменационный билет № 3 по предмету Теория групп 1. Инвариантые подгруппы и фактор-группы. 2. Леммы Шура. Свойства ортогональности неприводимых представлений конечных групп. 3. Найти все классы сопряженных элементов группы C4v. Зав. кафедрой Экзаменатор Дата утверждения 21.11.07 |
| Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» Физический факультет Кафедра теоретической и вычислительной физики Экзаменационный билет № 4 по предмету Теория групп 1. Изоморфизм и гомоморфизм групп. Ядро гомоморфизма. 2. Теорема Бернсайда. Число неприводимых матричных представлений конечных групп и возможные значения их размерностей. 3. Разложить группу C4v на классы смежности по ее подгруппе второго порядка. Зав. кафедрой Экзаменатор Дата утверждения 21.11.07 |
| Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» Физический факультет Кафедра теоретической и вычислительной физики Экзаменационный билет № 5 по предмету Теория групп 1. Инвариантные подгруппы и фактор-группы. 2. Произведение представлений. Симметризованные и антисимметризованные представления. 3. Построить таблицу характеров неприводимых представлений группы С4v. Зав. кафедрой Экзаменатор Дата утверждения 21.11.07 |
| Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» Физический факультет Кафедра теоретической и вычислительной физики Экзаменационный билет № 6 по предмету Теория групп 1. Точечные группы симметрии. 2. Теорема о восстановлении группы Ли по ее инфинитезимальному оператору. 3. Построить все неприводимые представления группы С4v. Зав. кафедрой Экзаменатор Дата утверждения 21.11.07 |
| Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» Физический факультет Кафедра теоретической и вычислительной физики Экзаменационный билет № 7 по предмету Теория групп 1. Понятие о группе Ли и ее инфинитезимальных операторах. 2. Неприводимые представления групп сииметрии и их базисные функции. 3. Построить характер механического представления группы С4v для квадратной молекулы. Зав. кафедрой Экзаменатор Дата утверждения 21.11.07 |
| Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» Физический факультет Кафедра теоретической и вычислительной физики Экзаменационный билет № 8 по предмету Теория групп 1. Понятие об алгебрах Ли. 2. Регулярное представление группы и его свойства. 3. Проверить первую лемму Шура на примере двумерного неприводимого представления группы C4v. Зав. кафедрой Экзаменатор Дата утверждения 21.11.07 |
| Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» Физический факультет Кафедра теоретической и вычислительной физики Экзаменационный билет № 9 по предмету Теория групп 1. Макро- и микросимметрия кристаллов. 2. Понятие о применении теории групп в квантовой механике. 3. Найти некоторую инвариантную подгруппу и построить с ее помощью фактор-группу. Зав. кафедрой Экзаменатор Дата утверждения 21.11.07 |
| Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» Физический факультет Кафедра теоретической и вычислительной физики Экзаменационный билет № 10 по предмету Теория групп 1. Решетка Браве и решетка с базисом. Примитивная и элементарная ячейки. 2. Теорема Вигнера. 3. Найти все подгруппы группы C4v. Зав. кафедрой Экзаменатор Дата утверждения 21.11.07 |
| Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» Физический факультет Кафедра теоретической и вычислительной физики Экзаменационный билет № 11 по предмету Теория групп 1. Прямая и обратная решетка. Зона Бриллюэна. 2. Свойства неприводимых представлений конечных групп. Теорема Бернсайда. 3. Построить таблицу группового умножения группы С4v. Зав. кафедрой Экзаменатор Дата утверждения 21.11.07 |
| Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» Физический факультет Кафедра теоретической и вычислительной физики Экзаменационный билет № 12 по предмету Теория групп 1. Понятие о черно-белой и цветной симметрии. 2. Теория характеров неприводимых представлений конечных групп. 3. Проверить теорему Вигнера на примере двумерного неприводимого представления, которое трижды входит в состав приводимого представления. Зав. кафедрой Экзаменатор Дата утверждения 21.11.07 |
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РЕЙТИНГ-БАЛЛОВ ПО УЧЕБНЫММОДУЛЯМ И ВИДАМ ЗАНЯТИЙ
Модуль 1. Абстрактные группы и группы симметрии
Промежуточный рейтинг-контроль.
1. Контрольная работа (тесты): мин. 5, макс. 10.
2. Проектные задания мин. 25, макс. 40.
3. Коллоквиум мин. 30, макс. 50.
Сумма баллов за модуль: мин. 60 макс. 100.
Модуль 2. Матричные представления групп симметрии
Промежуточный рейтинг-контроль.
1. Контрольная работа (тесты): мин. 5, макс. 10.
2. Проектные задания мин. 25, макс. 40.
3. Коллоквиум мин. 30, макс. 50.
Сумма баллов за модуль: мин. 60, макс. 100.
Модуль 3. Непрерывные группы симметрии и их неприводимые представления
Промежуточный рейтинг-контроль.
1. Контрольная работа (тесты): мин. 5, макс. 10.
2. Проектные задания мин. 25, макс. 40.
3. Коллоквиум мин. 30, макс. 50
Сумма баллов за модуль: мин. 60, макс. 100.
Таблица 1
Соответствие баллов итогового рейтинга оценке в 1-м семестре
________________________________________________________________
Оценка Отлично Хорошо Удовлетво- Неудовлетво-
рительно рительно
________________________________________________________________
Баллы 250-300 200-249 150-199 0-149
________________________________________________________________