А. С. Гринберг О. Б. Плющ Б. В. Новыш Теория вероятностей и математическая статистика Курс лекций

Вид материала

Курс лекций

Содержание Проверка статистических гипотез Нулевой (основной) Ошибка первого рода Статистический критерий Статистическим критерием Наблюдаемым значением критерия Критическая область. Область принятия гипотезы. Критические точки Критической областью Критерий согласия Пирсона о виде распределения Критерием согласия

Подобный материал:

• Рабочая программа дисциплины "теория вероятностей и математическая статистика", 112.61kb.
• Конспект лекций по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика", 1417.24kb.
• Рабочая учебная программа дисциплины (модуля) Теория вероятностей и математическая, 217.23kb.
• Примерная программа наименование дисциплины «теория вероятностей и математическая статистика», 165.37kb.
• Рабочая программа учебной дисциплины теория вероятностей и математическая статистика, 830.1kb.
• Рабочая программа учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», 165.42kb.
• Программа курса лекций "Теория вероятностей и математическая статистика", 18.69kb.
• Примерная рабочая программа по дисциплине: «теория вероятностей, математическая статистика, 83.07kb.
• Программа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов, 206.05kb.
• Программа дисциплины «теория вероятностей и математическая статистика» Для направления, 198.58kb.

Проверка статистических гипотез

Закон распределения определяет количественные характеристики генеральной совокупности.

Если закон распределения неизвестен, но есть основания предположить, что он имеет определенный вид (например, А), то выдвигают гипотезу: генеральная совокупность распределена по закону А. В этой гипотезе речь идет о виде предполагаемого распределения.

Часто закон распределения известен, но неизвестны его параметры. Если есть основания предположить, что неизвестный параметр равен определенному значению , то выдвигается гипотеза . То есть в этой гипотезе речь идет о предполагаемой величине параметра известного распределения.

Возможны и другие гипотезы: о равенстве параметров двух или нескольких распределений, о независимости выборок и т.д.

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений. Примеры статистических гипотез: генеральная совокупность распределена по закону Пуассона; дисперсии двух нормальных распределений равны между собой.

Наряду с выдвинутой гипотезой рассматривают и противоречащую ей гипотезу. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то имеет место противоречащая гипотеза.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу .

Альтернативной (конкурирующей) называют гипотезу , которая противоречит нулевой. Например, если нулевая гипотеза состоит в предположении, что математическое ожидание нормального распределения равно 5, то альтернативная гипотеза, например, может состоять в предположении, что . Кратко это записывают так: .

Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение. Например, если – параметр показательного распределения, то гипотеза – простая. Сложной называют гипотезу, состоящую из конечного или бесконечного числа простых гипотез. Например, сложная гипотеза состоит из бесконечного множества простых гипотез вида , где – любое число, большее 3.

Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость ее проверки. Так как проверку производят статистическими методами, то ее называют статистической. В итоге статистической проверки гипотезы в двух случаях может быть принято неправильное решение, т.е. могут быть допущены ошибки двух родов.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза. Следует отметить, что последствия ошибок могут оказаться различными. Если отвергнуто правильное решение «продолжать строительство жилого дома», то эта ошибка первого рода повлечет материальный ущерб; если же принято неправильное решение «продолжать строительство» несмотря на опасность обвала дома, то эта ошибка второго рода может привести к многочисленным жертвам. Иногда, наоборот, ошибка первого рода влечет более тяжелые последствия.

Правильное решение может быть принято также в двух случаях, когда принимается правильная гипотеза или отвергается неверная гипотеза.

Вероятность совершить ошибку первого рода принято обозначать через ; ее называют уровнем значимости. Чаще всего, уровень значимости принимают равным 0,05 или 0,01. Если, например, принят уровень значимости 0,05, то это означает, что в пяти случаях из ста имеется риск допустить ошибку первого рода (отвергнуть правильную гипотезу).

Статистический критерий

Для проверки нулевой гипотезы используют специально подобранную случайную величину, точное или приближенное распределение которой известно. Эту величину обозначают через U или Z, если она распределена нормально, через F – если она распределена по закону Фишера – Снедекора, через T – по закону Стьюдента, – по закону «хи квадрат» и т.п.

Статистическим критерием (или просто критерием) называют случайную величину (обозначим ее через K), которая служит для проверки нулевой гипотезы. Например, если проверяют гипотезу о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей, то в качестве критерия K принимают отношение исправленных выборочных дисперсий .

Очевидно, что эта величина случайная, т.к. в различных опытах дисперсии принимают различные, заранее неизвестные значения.

Наблюдаемым значением критерия K_набл называют значение критерия, вычисленное по выборкам. Например, если в вышеприведенном случае , то K_набл = 20/5 = 4.

Критическая область. Область принятия гипотезы. Критические точки

После выбора определенного критерия множество всех его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества, одно из которых содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается, а другое – при которых она принимается.

Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.

Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают.

Основной принцип проверки статистических гипотез можно сформулировать так: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области – гипотезу отвергают, если области принятия гипотезы – гипотезу принимают.

Так как критерий K – одномерная случайная величина, то все ее возможные значения принадлежат некоторому интервалу и, соответственно, должны существовать точки, разделяющие критическую область и область принятия гипотезы. Такие точки называются критическими точками.

Различают одностороннюю (правостороннюю и левостороннюю) и двустороннюю критические области.

Правосторонней называют критическую область, определяемую неравенством , где – положительное число.

Левосторонней называют критическую область, определяемую неравенством , где – отрицательное число.

Двусторонней называют критическую область, определяемую неравенствами , где . В частности, если критические точки симметричны относительно нуля, двусторонняя критическая область определяется неравенствами или равносильным неравенством . Различия между вариантами критических областей иллюстрирует следующий рисунок.



Рис. 1. Различные варианты критических областей a) правосторонняя, b) левосторонняя, с) двусторонняя


Резюмируя, сформулируем этапы проверки статистической гипотезы:

• Формулируется нулевая гипотеза ;
  
• Определяется критерий K, по значениям которого можно будет принять или отвергнуть и выбирается уровень значимости ;
  
• По уровню значимости определяется критическая область;
  
• По выборке вычисляется значение критерия K, определяется, принадлежит ли оно критической области и на основании этого принимается или .
  

Критерий согласия Пирсона о виде распределения

До сих пор мы предполагали, что закон распределения генеральной совокупности известен. Если закон распределения неизвестен, но есть основания предполагать, что он имеет определенный вид (назовем его А), то проверяют нулевую гипотезу: генеральная совокупность распределена по закону А. Проверка этой гипотезы производится при помощи специально подобранной случайной величины – критерия согласия.

Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Имеется несколько критериев согласия, наиболее часто используемым является критерий согласия К.Пирсона («хи квадрат»). Ограничимся применением критерия Пирсона к проверке гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности.

Пусть по выборке объема n получено эмпирическое распределение:

Варианты……………………

Эмпирические частоты…….

Допустим, что в предположении нормального распределения генеральной совокупности вычислены теоретические частоты . При уровне значимости требуется проверить нулевую гипотезу: генеральная совокупность распределена нормально.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину:

(А)

Естественно, чем меньше различаются эмпирические и теоретические частоты, тем меньше величина критерия, и, следовательно, он характеризует близость эмпирического и теоретического распределений.

Доказано, что при n закон распределения случайной величины (А) стремится к закону распределения с степенями свободы независимо от того, какому закону распределения подчинена генеральная совокупность. Поэтому сам критерий называют критерием согласия .

Число степеней свободы определяется из равенства , где s – число групп (частичных интервалов) выборки,
r – число параметров предполагаемого распределения. В частности, если предполагаемое распределение – нормальное, то оценивают два параметра (математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение), поэтому число степеней свободы .

Построим правостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости :

.

Таким образом, правосторонняя критическая область определяется неравенством , а область принятия нулевой гипотезы – соответственно неравенством . Обозначим значение критерия, вычисленного по данным наблюдений, через и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы:

Для того, чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу H₀: генеральная совокупность распределена нормально, необходимо сначала вычислить теоретические частоты, а затем наблюдаемое значение критерия и по таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости  и числу степеней свободы k=n–3 найти критическую точку . Если – нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном случае нулевую гипотезу отвергают, считая, что генеральная совокупность не распределена по нормальному закону.

Отметим два обстоятельства.

Объем выборки должен быть достаточно велик
(не менее 50). Каждая группа должна содержать не менее 5–8 вариант, а малочисленные группы следует объединять в одну, суммируя частоты.

Поскольку возможны ошибки первого и второго рода, следует проявлять осторожность. Например, можно повторить опыт, увеличить число наблюдений, построить предварительно график распределения и т.п.


Пример. При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, если известны эмпирические и теоретические частоты:

Эмпирические частоты	6	13	38	74	106	85	30	14
Теоретические частоты	3	14	42	82	99	76	37	13

Рассчитаем =7,19, число степеней свободы определим по соотношению k= –3=5 (в нашем случае s=8). Используя рассчитанные значения и k, по таблице критических точек распределения хи-квадрат при уровне значимости находим . Так как , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Данные наблюдений согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.