А. С. Гринберг О. Б. Плющ Б. В. Новыш Теория вероятностей и математическая статистика Курс лекций
| Вид материала | Курс лекций |
- Рабочая программа дисциплины "теория вероятностей и математическая статистика", 112.61kb.
- Конспект лекций по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика", 1417.24kb.
- Рабочая учебная программа дисциплины (модуля) Теория вероятностей и математическая, 217.23kb.
- Примерная программа наименование дисциплины «теория вероятностей и математическая статистика», 165.37kb.
- Рабочая программа учебной дисциплины теория вероятностей и математическая статистика, 830.1kb.
- Рабочая программа учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», 165.42kb.
- Программа курса лекций "Теория вероятностей и математическая статистика", 18.69kb.
- Примерная рабочая программа по дисциплине: «теория вероятностей, математическая статистика, 83.07kb.
- Программа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов, 206.05kb.
- Программа дисциплины «теория вероятностей и математическая статистика» Для направления, 198.58kb.
Определение доверительных интервалов
Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии
Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение этого распределения известно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание a по выборочному среднему
. Найдем доверительные интервалы, покрывающие параметр a с надежностью 
.Будем рассматривать выборочное среднее
, как случайную величину 
(т.к. меняется от выборки к выборке), и выборочные значения 
, как одинаково распределенные независимые случайные величины 
(эти числа также меняются от выборки к выборке). Другими словами, математическое ожидание каждой из этих величин равно a и среднее квадратическое отклонение – . Так как случайная величина X распределена нормально, то и выборочное среднее также распределено нормально. Параметры распределения равны:
.Потребуем, чтобы выполнялось соотношение
, где – заданная надежность.Используем формулу
.Заменим X на
и на 
и получим:
,где
.Выразив из последнего равенства
, получим:
.Так как вероятность P задана и равна
, окончательно имеем:
.Смысл полученного соотношения – с надежностью
можно утверждать, что доверительный интервал 
покрывает неизвестный параметр a, причем точность оценки равна 
.Таким образом, задача решена. Число
определяется из равенства 
; по таблице функции Лапласа находят аргумент , которому соответствует значение функции Лапласа, равное 
.Следует отметить два момента: 1) при возрастании объема выборки n число
убывает и, следовательно, точность оценки увеличивается, 2) увеличение надежности оценки 
приводит к увеличению (так как функция Лапласа – возрастающая функция) и, следовательно, к возрастанию , то есть увеличение надежности оценки влечет за собой уменьшение ее точности.Если требуется оценить математическое ожидание с наперед заданной точностью
и надежностью , то минимальный объем выборки, который обеспечит эту точность, находят по формуле 
, следующей из равенства 
.Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии
Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение этого распределения неизвестно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание с помощью доверительных интервалов.
Оказывается, что по данным выборки можно построить случайную величину
, которая имеет распределение Стьюдента с 
степенями свободы. В последнем выражении – 
– выборочное среднее, 
– исправленное среднее квадратическое отклонение, 
– объем выборки; возможные значения случайной величины T мы будем обозначать через t. Плотность распределения Стьюдента имеет вид:
,где
некоторая постоянная, выражающаяся через гамма–функции. Как видно, распределение Стьюдента определяется параметром n – объемом выборки (или, что то же самое – числом степеней свободы ) и не зависит от неизвестных параметров 
. Поскольку 
– четная функция от t , то вероятность выполнения неравенства 
определяется следующим образом:
.Заменив неравенство в круглых скобках двойным неравенством, получим выражение для искомого доверительного интервала:
Итак, с помощью распределения Стьюдента найден доверительный интервал
, покрывающий неизвестный параметр a с надежностью . По таблице распределения Стьюдента и заданным n и можно найти 
, и, используя найденные по выборке 
и 
, можно определить доверительный интервал.Пример. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n=16 найдены генеральное среднее
и исправленное среднее квадратическое отклонение 
. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание при помощи доверительного интервала с надежностью 0,95.Решение. Найдем
по таблице распределения Стьюдента, используя значения 
. Этот параметр оказывается равным 2,13. Найдем границы доверительного интервала:
.То есть с надежностью 0,95 неизвестный параметр a заключен в доверительном интервале
.Можно показать, что при возрастании объема выборки n распределение Стьюдента стремится к нормальному. Поэтому практически при n>30 можно вместо него пользоваться нормальным распределением. При малых n это приводит к значительным ошибкам.
Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения
Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально и требуется оценить неизвестное генеральное среднее квадратическое отклонение по исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению s. Найдем доверительные интервалы, покрывающие параметр с заданной надежностью
.Потребуем, чтобы выполнялось соотношение:
или 
.Преобразуем двойное неравенство
в равносильное неравенство 
и обозначим /s=q. Имеем:
(A)и необходимо найти q. С этой целью введем в рассмотрение случайную величину
.Оказывается, величина
распределена по закону 
с n–1 степенями свободы. Плотность распределения имеет вид:
Это распределение не зависит от оцениваемого параметра , а зависит только от объема выборки n.
Преобразуем неравенство (A) так, чтобы оно приняло вид
. Вероятность этого неравенства равна заданной вероятности , т.е. 
.Предполагая, что q<1, перепишем (A) в виде:
,далее, умножим все члены неравенства на
:
или 
.Вероятность того, что это неравенство, а также равносильное ему неравенство (A) будет справедливо, равна:
.Из этого уравнения можно по заданным
найти 
, используя имеющиеся расчетные таблицы. Вычислив по выборке и найдя по таблице , получим искомый интервал (A1), покрывающий с заданной надежностью .Пример. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n=25 найдено исправленное среднее квадратическое отклонение s=0.8. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надежностью 0,95.
Решение. Используя заданные значения
, по таблице находим значение q=0.32. Искомый доверительный интервал есть:
.Необходимо сделать замечание. Мы предполагали, что q<1. Если это не так, то мы придем к соотношениям:
.Следовательно, значение q >1 может быть найдено из уравнения:
