Планирование работы учителя по обучению учащихся решению текстовых задач арифметическим способом
| Вид материала | Методическая разработка |
- Рабочей программы учебной дисциплины методика обучения решению задач уровень основной, 104.55kb.
- Элективный курс по математике, 168.73kb.
- Урок математики в 4 классе по теме «алгебраические и арифметические методы решения, 9.7kb.
- Решение задач занимает в математическом образовании огромное место. Умение решать задачи, 270.04kb.
- Решение задач при изучении математики играет весьма существенную роль, т к. с помощью, 258.56kb.
- Переписка с читателем, 70.86kb.
- «Активизация познавательной деятельности учащихся на уроках математики», 94.77kb.
- Планирование работы на учебный год. Планирование работы на текущий месяц, 15.48kb.
- Элективный курс Морозова Раисия Викторовна, учитель математики, 68.28kb.
- Методика решения текстовых задач в 5-6 классах Учитель математики, 602.73kb.
[13]
При арифметическом способе решения необходимо умение учеником найти в задаче три взаимосвязанные величины и по двум известным из них найти неизвестную.
Так успешное решение задач на «процессы» предполагает понимание отношений между величинами: скорость процесса (v) , время его протекания (t) и продукт или результат работы (s).
s=v t v=s:t t=s:v
Причём важно разбираться в отношениях между этими величинами как в условиях одного участника процесса, так и в условиях нескольких участников.
Третий этап работы с задачей предполагает решение построенной математической модели, интерпретацию результата решения математической модели в заданную ситуацию. Объяснение решения задачи может иметь такие формы:
1. Составление всего плана перед решением задачи и затем производство действий к каждому пункту плана.
2. Краткий вопрос и следующее за ним действие.
3. Краткое пояснение полученных результатов действий.
4. Производство всех действий с последующим подробным устным объяснением всего решения задачи.
5. Постановка полных вопросов с последующим решением. [10]
На практике чаще всего используются первые три вида объяснения.
На четвёртом этапе работы с задачей необходимо выполнить проверку результата решения, сравнить результат с условиями задачи, проверить его на достоверность. На этом этапе можно предложить другие варианты решения. Поиск наиболее рационального способа решения будят мысль ученика, развивают сообразительность и уводят его от шаблона, повышая в то же время интерес к работе.
Наконец, если ученик научится внимательно, вдумчиво анализировать задачу, вдумчиво решать каждую задачу, фиксируя в своей памяти все приёмы, с помощью которых были найдены решения, способы решения, то постепенно у него выработается умение решать любую задачу, пусть незнакомую. Известный математик, профессор Московского университета С.А.Яновская на вопрос «Что значит решить задачу?» дала короткий ответ: «Решить задачу – значит свести её к уже решённым.»
ГЛАВА ІІ
МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ РЕШЕНИЮ
ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ АРИФМЕТИЧЕСКИМ СПОСОБОМ.
2.1. Знания, умения, навыки учащихся по решению текстовых задач по окончании начальной школы.
К началу 5-го класса учащиеся должны знать связи между такими величинами, как цена, количество, стоимость; время, скорость, путь при равномерном движении; уметь применять к решению текстовых задач знание изученных зависимостей. Таковы основные требования к знаниям, умениям и навыкам обучающихся, обеспечивающие преемственную связь с курсом математики 5 класса, предъявляемые программой.
Основная цель обучения решению текстовых задач в начальной школе – осознанное усвоение детьми смысла арифметических действий, отношений «больше» - «меньше» (на несколько единиц и в несколько раз), «столько же» (или «равно»), взаимосвязи между компонентами и результатами действий, использованию действий вычитания (деления) для сравнения чисел. [8]
Поэтому можно выделить следующие ключевые задачи, которые должны уметь решать выпускники начальной школы:
- нахождение суммы величин, если эти величины известны с использованием сравнений «на…больше», «на…меньше», «в..раз больше», «в… раз меньше» в прямой и косвенной форме;
- нахождение разницы между величинами с использованием действий вычитания и деления;
- нахождение одной из трёх величин в задачах на зависимости:
цена-количество-стоимость, норма расхода материала на 1 вещь-количество вещей-расход материала всего, скорость-время-расстояние;
- нахождение одной из трёх величин в задачах на зависимости:
было-израсходовали-осталось, было-добавили-стало.
2.2. Планирование работы учителя по обучению решению текстовых задач арифметическим способом.
Несмотря на требования к знаниям, умениям учащихся, предъявляемые программой начальной школы, опыт моей работы показывает, что большинство учащихся начальной школы приходят в 5-й класс с небольшим багажом знаний и умений именно по решению текстовых задач. Поэтому основная цель моей работы на первых уроках математики в 5 классе во время повторения учебного материала – определить пробелы в знаниях и умениях учащихся, в том числе и по решению текстовых задач. Простейшие задачи в одно действие можно включить в тренировочные упражнения для устного счёта (см. приложение 1). При решении таких задач следует обращать внимание учащихся на те числовые данные, которые выражены не только числами, но и словами.
Иногда при анализе задач обнаруживается неумение некоторыми учащимися переводить на математический язык слова для сравнения величин. В таких случаях я пользуюсь таблицей, которую составляем вместе с учениками на первых уроках математики.
Таблица 2
-
больше
меньше
выше
толще
шире
дороже
старше
длиннее
глубже
дальше
ниже
тоньше
уже
дешевле
младше
короче
мельче
ближе
Как было сказано выше, существуют различные подходы к определению типов задач. Несмотря на то, что любая классификация условна, обойтись без неё невозможно. В своей работе при планировании учебного материала и подготовке к урокам я выделяю некоторые так называемые ключевые задачи, приёмы решения которых должны освоить учащиеся 5 и 6 классов.
- Задачи на процессы (на движение, на работу, на бассейны)
- Задачи на нахождение двух или нескольких чисел по их сумме и разности; задачи на нахождение двух или нескольких чисел по их сумме (разности) и отношению.
- Задачи на предположение.
- Задачи на проценты.
- Задачи на нахождение части от числа и числа по его части.
- Задачи на пропорциональные зависимости.
Все эти задачи содержат новые приёмы решения. Поэтому требуется серьёзная подготовка к обучению.
В учебниках «Математика 5» и «Математика 6» автора Н.Я. Виленкина, по которым я работаю, задачи разных видов «разбросаны», не систематизированы ни по сложности, ни по приёмам решения. Очевидно, для того, чтобы разрушить формирующиеся стереотипы решения, разнообразить способы деятельности учащихся. Но, на мой взгляд, при освоении нового приёма решения такого разнообразия лучше избегать и следовать «от простого к сложному». И только после того, как приём освоен и сформирован навык по его применению, его можно использовать и при решении составных задач разных видов.
Наиболее целенаправленно арифметический подход к решению текстовых задач раскрывается в учебниках «Арифметика 5», «Арифметика 6» С.М. Никольского и «Математика 5», «Математика 6» Г.В. Дорофеева.
Поскольку я работаю по учебнику Н.Я. Виленкина, который нацеливает учащихся на раннее введение уравнений и решение текстовых задач алгебраическим способом, то в тематическое планирование я внесла некоторые коррективы по использованию задачного материала (см. приложение 2).
2.3. Организация работы учителя на каждом этапе решения задачи.
Как было сказано выше, работа над задачей включает 4 основных этапа. Причём все четыре этапа одинаково важны. Поэтому рассмотрим работу учителя и учащихся на каждом отдельном этапе при решении задач разных видов.
- Организация работы учителя над условием задачи.
На первом этапе необходимо добиться того, чтобы учащиеся «приняли задачу», то есть поняли её смысл, сделав целью своей деятельности. С этой целью оформляется краткая запись. Для разных видов задач это можно сделать по-разному.
Примеры:
1. С одной и той же станции в одно и то же время вышли в противоположных направлениях два поезда. Скорость одного поезда 50 км/ч, а другого 85 км/ч. Какое расстояние будет между поездами через 3 часа? [4, задача № 444]
Краткую запись к данной задаче (и любой задаче на движение) удобно выполнить в виде схематического чертежа.
Графическая иллюстрация создаёт перед учениками пространственный образ, помогает в задачах на движение правильно расположить те неподвижные точки, с которыми условие связывает движущийся объект.
Далее составим таблицу, которая поможет в определении известных и неизвестных величин и отношений между ними.
| | v | t | s |
| 1-й поезд | 50 км/ч | 3 ч | ? |
| 2-й поезд | 85 км/ч | 3 ч | ? |
В задачах на нахождение двух или нескольких величин по их отношению и сумме (или разности), а также в задачах на части удобно краткую запись оформить в виде отрезков. Учащиеся должны научиться принимать подходящую величину за 1 часть, определять, сколько таких частей приходится на другую величину, на их сумму (разность).
Например:
2 . За рубашку и галстук заплатили 40 р. Рубашка дороже галстука в 4 раза. Сколько стоит галстук? [2, задача №215]
рубашка
галстук
3. В первой пачке было на 10 тетрадей больше, чем во второй, а всего 70 тетрадей. Сколько тетрадей было во второй пачке?[2, задача № 264.]
К этой задаче краткую запись можно выполнить в виде столбчатой диаграммы.
4. Для санатория купили 12 кресел и 50 стульев на общую сумму 9880 руб. Сколько стоит одно кресло, если один стул стоит 86 руб.[15, задача №34]
Оформить краткую запись можно с помощью таблицы:
| | Цена | Количество | Стоимость |
| Кресла | ? | 12 | ? |
| Стулья | 86 руб | 50 | ? |
5. В двух комнатах было 56 человек. Когда в первую пришли ещё 12 человек, а во вторую – 8 человек, то людей в комнатах стало поровну. Сколько человек было в каждой комнате первоначально?[15, задача №42]
было
стало
Правильно составленная краткая запись указывает на сознательный анализ учеником условия и требования задачи и намечает план дальнейшего решения.
2.3.2. Организация работы учителя по составлению плана решения.
Чаще всего при организации поиска решения задачи применяется аналитико- синтетический метод.
Рассмотрим план рассуждений на примере задачи 1.
1. С одной и той же станции в одно и то же время вышли в противоположных направлениях два поезда. Скорость одного поезда 50 км/ч, а другого 85 км/ч. Какое расстояние будет между поездами через 3 часа? [4, задача № 444]
В задаче требуется узнать расстояние между поездами через 3 часа.
- Что для этого надо знать?
- s , которое прошёл 1-й поезд за 3 часа, и s , которое прошёл 2-й поезд за 3 часа.
- Что необходимо знать для определения этих расстояний?
- скорость каждого поезда, а это в задаче известно.
План решения следующий:
1) находим s , которое прошёл 1-й поезд за 3 часа
2) находим s , которое прошёл 2-й поезд за 3 часа
3) находим общее расстояние.
Рассмотренный метод составления плана решения задачи является аналитическим. Иногда поиск решения осуществляется синтетическим путём. Например, задача:
2. Молодой рабочий выполнил задание за 8 часов, изготовляя в час по 18 деталей. За сколько часов выполнит то же задание его наставник, если в час он делает на 6 деталей больше, чем молодой рабочий?[4, задача №763]
Краткая запись
| | Количество деталей в час | Время работы | Всего деталей |
| Рабочий | 18 дет. | 8 ч | одинаковое |
| Наставник | на 6 дет. больше | ? | одинаковое |
План рассуждений:
-зная скорость работы и время работы молодого рабочего, можно определить его объём работы - количество изготовленных деталей;
-поскольку задание одинаковое, то мы определим и объём работы наставника;
-зная скорость работы рабочего и разницу в скоростях работы наставника и рабочего, можно определить скорость работы наставника;
-зная скорость работы наставника и количество изготовленных им деталей, можно определить время его работы.
3. С бахчи собрали 27 т арбузов. В столовую направили 2/9 этих арбузов, а 6/7 остатка отвезли на рынок. Сколько тонн арбузов отвезли на рынок?[5, задача №512]
Краткая запись:
Собрали всего 27 т
столовая 2/9 от 27 т
рынок 6/7 от остатка ?
Применяем аналитический метод рассуждений: чтобы узнать…надо знать… Начинаем, как обычно, с вопроса к задаче.
-Чтобы узнать сколько тонн арбузов отвезли на рынок, надо знать остаток;
-чтобы найти остаток, надо знать сколько «было» и сколько «взяли»;
-«было» известно, «взяли», то есть увезли в столовую, можно найти.
После такого устного аналитического разбора задачи выстраивается план решения уже синтетическим путём.
1. Находим количество арбузов, отвезённых в столовую.
2. Находим количество арбузов, оставшихся после этого.
3. Находим количество арбузов, отвезённых на рынок.
- Реализация плана решения.
Различные формы объяснения решения задачи – это различные ступени логического мышления учеников. Как было сказано выше, объяснение решения задачи имеет различные формы. В своей практике при работе в классе я применяю чаще всего такую форму объяснения: краткий вопрос и следующее за ним действие. При выполнении домашних задач я требую от учащихся подробных объяснений к каждому действию.
Рассмотрим ход решения на примере одной из задач на нахождение числа по его части.
1. Когда Костя прошёл 0,3 всего пути от дома до школы, ему ещё осталось пройти до середины 150 м. Какой длины путь от дома Кости до школы? [5, задача №672]
При подробном анализе данной задачи и оформления краткой записи (см. ниже) ход рассуждений может быть следующим:
Если Костя прошёл 3/10 всего пути, значит весь путь разделён на 10 частей. Следовательно, для нахождения всего пути надо найти 1/10 часть его. На схеме хорошо видно, что до середины оставалось 2/10 пути, а это 150 км. ( Половина- это 0,5; 0,5-0,3). Значит, можно найти 1\10 часть (150:2). Зная 1/10 часть, находим 10 частей (умножаем полученное на 10).
Ход решения.
Сначала найдем часть пути, оставшуюся до середины.
- 0,5-0,3=0,2(пути) осталось пройти до середины.
Теперь можно найти 1/10 часть.
- 150:2=75(м) составляет 1/10 часть всего пути.
Находим весь путь.
- 75 10=750(м) весь путь.
2.3.4. Анализ найденного решения и работа по поиску других
вариантов решения.
Проверка решения задачи является моментом очень ценным для развития сознательности и самоконтроля. Часто учащиеся записывают ответ не задумываясь.
Как проверить решение?
Во-первых, сравнить с реальностью. Например, при решении задачи на нахождение скорости пешехода ученик получил ответ 25км/ч. При анализе найденного решения, приходим к выводу что такая скорость для пешехода нереальна. Или, находя часть класса, состоящего из 25 человек (к примеру 30%), учащаяся получила 750 человек.. Анализируя, понимаем, что часть от числа не может быть больше самого числа.(30% меньше 100%).
Во-вторых, если результат реален, то надо проверить задачу на выполнение всех требований. Например, в задаче 1. (см выше) это можно сделать следующим образом.
Какой путь прошёл Костя? 750:10 3=225 м.
Если он пройдёт ещё 150 м, это будет середина пути? 225+150=375 м, 750:2=375 м.
Полезно предлагать учащимся применять различные варианты решения одной задачи, что приводит к выбору наиболее рационального способа решения и в то же время является проверкой результата.
Примеры:
1. Два пешехода одновременно вышли в противоположных направлениях из одного пункта. Скорость первого 4 км/ч, скорость второго 5 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 часа? [15, задача №81]
1 способ.
1. 4 3=12 (км) прошёл 1-й пешеход за 3 ч
2. 5 3=15 (км) прошёл 2-й пешеход за 3 ч
3. 12+15=27 (км) расстояние между пешеходами через 3 ч
2 способ.
1. 4+5=9 (км/ч) удаляются пешеходы друг от друга каждый час (общая скорость)
2. 9 3 =27 (км) расстояние между пешеходами через 3 ч
2.В первой коробке на 6 карандашей больше, чем во второй, а в двух вместе – 30 карандашей. Сколько карандашей в каждой коробке?[15, задача №61]
1 способ.
Если уменьшить количество карандашей в первой коробке на 6, то и сумма уменьшится на 6. Количество карандашей в коробках при этом будет одинаковым. То есть, 30-6=24; 24:2=12(к)-в меньшей коробке и 12=6 =18(к)- в большей коробке.
2 способ.
Если увеличить количество карандашей во второй коробке на 6, то и сумма увеличится на 6. Количество карандашей в коробках при этом будет одинаковым. То есть, 30+6=36(к); 36:2=18(к)-в большей коробке, 18-6=12(к(- в меньшей коробке.
3 способ.
Можно уравнять количество карандашей в коробках, если половину излишка переложить в меньшую коробку. При этом сумма не изменится. То есть 6:2=3 (к)-добавляется в меньшую коробку и убавляется из большей коробки; 30:2=15; 15+3=18(к)-в большей коробке, 15-3=12(к)- в меньшей коробке.
2.4. Формирование приёмов решения задач «на процессы».
Умение решать задачи данного класса я считаю очень важным умением. Во-первых в учебниках математики большое количество задач связано с разного рода процессами, начиная с 5 класса и по 9 класс. Во-вторых, отношения между величинами, «участвующими» в задачах данного типа, встречаются при изучении других смежных дисциплин, таких как физика и химия. Хорошо усвоенные арифметические приёмы решения данных задач позволяют без особого труда перейти и к алгебраическому способу их решения. Основная причина затруднений, которые обычно испытывают учащиеся при решении задач «на процессы», заключена не в исполнительной части деятельности, а в правильном выборе действий. Успешное решение задач данного класса предполагает знание зависимостей между тремя величинами: скоростью протекания процесса (v), временем (t) и его результатом (условно можно обозначить (s).
Важно, чтобы у учащихся сформировались правильные понятия о каждой из этих величин и их зависимостях.
2.4.1. Формирование понятия о времени протекания процесса.
Некоторые учащиеся даже в 5-м классе плохо ориентируются во временных интервалах. При формировании этого понятия в некоторых случаях необходимо отработать временные интервалы с переходом через 12 часов дня и 12 часов ночи. С этой целью предлагаются задачи, например такого содержания:
1. Поезд отправился от пункта А в 9 часов утра и прибыл в пункт В в три часа дня. Сколько времени был в пути поезд?
2. Туристы вышли в поход в семь часов утра, а вернулись в 18 часов того же дня. Сколько времени туристы были в походе?
3. Сколько времени пройдёт от семи вечера до трёх часов ночи?
4. В 10 часов утра открылся кран. Сколько времени из него текла вода, если отремонтировали его в час дня?
2.4.2. Формирование понятий о скорости протекания процесса и его продукте (результате).
При формировании понятия скорости важно добиться от учащихся понимания того, что данное понятие относится не только к движению. Скорость – это часть продукта (результата) и выражается «чем-то», выполненным в единицу времени. Простейшие задачи на определение скорости процесса:
1. Машинистка напечатала 120 страниц за 4 часа. Сколько страниц машинистка печатала за 1 час?
2. Бак ёмкостью 60 литров наполнился за 6 минут. Сколько литров в минуту наливалось в бак?
3. За двадцать лет дуб вырос на 60 дм. Определите на сколько дециметров дуб вырастал в среднем каждый год?
В дальнейшем вопросы к задачам такого типа можно ставить в такой форме: определить скорость работы машинистки, скорость наполнения бака, скорость роста дерева.
Чтобы проверить насколько учащиеся осознанно оперируют величинами, я использую задачи, которые могут провоцировать неверные действия, то есть такие, в которых нахождение либо v, либо t приводит к нецелому числу.
Например:
1. За 5 минут кран наливает 1 ведро воды. Сколько вёдер нальёт кран за минуту?
2. За 21 день строители возвели 3 здания. Сколько зданий они строили за день?
3. Машина прошла 2 км со скоростью 50 км/ч. Сколько времени ехала машина?
Краткую запись к задачам «на процессы» можно оформить в виде таблицы: в первой строчке таблицы записываем условное обозначение величин, а во второй расшифровываем эти величины применительно к каждой задаче, в третьей строчке вписываем числовые данные.
При анализе условия задачи полезно учащимся задавать вопросы:
- Кто «участвует» в задаче?
- Что он (они) делают? Сколько (s) ?
- Сколько времени делают (t ) ?
- Сколько выполняет за 1 единицу времени (v) ?
Такие вопросы можно повесить у доски или оформить на карточках каждому учащемуся.
Отвечая на вопросы, учащиеся заполняют таблицу.
Например, к задаче 2 (см. выше) краткая запись выглядит так:
| v | t | s |
| Количество зданий за 1 день | Время работы | Всего зданий |
| ? | 21 день | 3 здания |
При решении большого количества таких простых задач у учащихся формируется навык их решения. Они понимают, как надо находить v, t, или s по известным двум другим величинам.
Полезны задачи с лишними или недостающими данными, которые показывают наличие двух величин для определения третьей.
Примеры:
1. Пешеход отправился в путь в 5 часов утра. С какой скоростью он пройдёт 10 км?
2. За какое время бригада, состоящая из 5 человек, сделает 100 деталей, если она работает со скоростью 25 деталей в час?
3. Ученики 5 класса сажали деревья. Они начали работу в 10 часов утра, в час сажали по 3 дерева. Сколько деревьев они посадят через 3 часа?
4. Три землекопа копали канаву длиной 20 м. За какое время они её выроют?
2.4.3. Формирование понятия совместного действия.
Второй уровень сложности задач «на процессы» связан с ситуацией совместного действия». Решение этих задач осложнено следующими факторами:
1. Числом «участников»: действуют не один объект, а несколько.
2. Характером взаимодействия: помогают или противодействуют.
3. Временем включения в процесс: одновременно или в разное время включились в совместное действие.
4. Дополнительными отношениями основных величин: появляются отношения между общими и частными значениями каждой величины. Так общая скорость (v0) теперь является не только функцией общего времени (t0) и общего суммарного продукта (s0), но и функцией частных значений скоростей.
Действуя по схеме «от простого к сложному», вначале следует организовать работу по усвоению отношений между суммарным «продуктом» как результатом совместных действий всех участников и частными «продуктами»; между общей скоростью участников и частными скоростями; между общим временем процесса и временем действия отдельных участников. Особое внимание при этом следует уделить характеру взаимодействия: помогают или противодействуют.
Примеры задач на функциональную зависимость: v0=f ( v¡); s0= f (s¡).
1. Две бригады собирали фрукты. Одна собрала 800 кг, а другая 700 кг. Сколько кг фруктов они соберут вместе? s0= s1+ s2
2. Два пешехода вышли навстречу друг другу. Один прошёл до встречи 10 км, а другой 8 км. Какое общее расстояние они прошли до встречи? s0= s1+ s2
3. Из одного пункта в противоположных направлениях вылетели два самолёта. Один летел со скоростью 800 км/ч, а другой со скоростью 700 км/ч. С какой скоростью они удаляются друг от друга? v 0= v 1+ v 2
4. Одна труба наливает 10 литров за 1 минуту, а вторая 15 литров за 1 минуту. Сколько литров за 1 минуту нальют обе трубы? v 0= v 1+ v 2
5. Из одного пункта в одно и то же время в одну сторону выехали два велосипедиста. Один проехал 30 км а второй 25 км. На какое расстояние они удалились? s0= s1- s2
6. Кран наливает бочку: каждую минуту 10 литров. А из отверстия в бочке выливается вода со скоростью 2 л в минуту. Какой объём воды набирается в бочке каждую минуту? v 0= v 1- v 2
Анализ задач на процессы с несколькими участниками можно проводить по следующим вопросам:
- Сколько участников процесса?
- В одно время включаются в процесс или в разное?
- Как они взаимодействуют:помогают или противодействуют?
- Что известно в задачах об общих величинах v, t, s?
- Что известно в задачах о частных величинах v, t, s?
- Что требуется узнать?
Краткая запись оформляется в виде таблицы, количество строк которой увеличивается на количество участников процесса.
Рассмотрим работу с классом по решению задачи на каждом этапе.
Например задача:
Две тракторные бригады вспахали вместе 762 га поля. Первая бригада работала 8 дней и каждый день вспахивала 48 га. Сколько гектаров поля вспахивала каждый день вторая бригада, если она работала 9 дней? [4, задача №1053]
1 этап. Анализируем условие задачи, отвечая на вопросы.
- 2 участника, 2 тракторные бригады.
- Не известно.
3) Помогают, значит s0= s1+ s2
Ответы на остальные пункты можно сразу внести в таблицу.
| | v | t | s |
| | Площадь, вспаханная за 1 день | Время работы | Площадь всего |
| 1 бригада | 48 га | 8 дней | ? |
| 2 бригада | ? | 9 дней | ? |