Рабочая учебная программа по дисциплине 4 Задания на контрольные работы

Вид материала

Содержание

5. Проверка статистических гипотез
К, которая служит для проверки гипотезы. ( В разных конкретных случаях эта величина обозначается по-разному, например F,T
Н0; и она принимается; если К
Алгоритм проверки гипотезы о распределении генеральной совокупности по закону Пуассона
Ответ: случайная величина Х распределена по закону Пуассона. Приложение 1
Таблица значений функции
Таблица значений
8. Методические указания для преподавателей
9.Материалы для текущего, промежуточного и итогового контроля

Подобный материал:

1 ... 28 29 30 31 32 33 34 35 36

5. Проверка статистических гипотез

Задача, решаемая проверкой статистических гипотез: по выборочным данным сделать вывод о том, выполняется ли определенное свойство для исследуемой популяции. Также к проверке гипотезы сводится задача о сравнении свойств двух или нескольких популяций.

Нулевая гипотеза Н₀– это основное проверяемое предложение о популяции (нескольких популяциях).

Альтернативная гипотеза Н₁- это гипотеза, противоречащая нулевой.

Ошибки I и II рода. Ошибка первого рода: отвергнуть правильную нулевую гипотезу. Ошибка второго рода: принять неправильную нулевую гипотезу. Следующая таблица показывает все возможности:

	Верна Н₀	Верна Н₁
Принять Н₀	Верное решение	Ошибка II рода
Принять Н₁	Ошибка I рода	Верное решение

Вероятность ошибки I рода называется уровнем значимости и обозначается

. Вероятность ошибки II рода обозначается

.

Статистическим критерием или просто критерием называется случайная величина К, которая служит для проверки гипотезы. ( В разных конкретных случаях эта величина обозначается по-разному, например F,T,

и т.п.) Наблюдаемым (эмпирическим) значением К_набл называется критическое значение, полученное по выборочным данным. Критическая область– это множество значений К_набл, при которых нулевая гипотеза отвергается. Область принятии нулевой гипотезы – это множество значений К_набл, при которых Н₀ принимается.

Обычная схема проверки гипотезы такова:

1. формулируется гипотеза Н₀_;

2. формулируется гипотеза Н₁_;

3. задается уровень значимости

;

4. по выборочным данным вычисляется К_набл_;

5. находятся (обычно по таблице) критические значения, определяющие область принятия гипотезы Н₀;

6. если К_набл принадлежит области принятия, то считается что выборочные данные не противоречат гипотезе Н₀; и она принимается; если К_наб_л не принадлежит области принятия, то гипотезу Н₀отвергают и принимают конкурирующую гипотезу Н_1.

Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности по закону Пуассона

Задано эмпирическое распределение дискретной случайной величины Х. Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о распределении генеральной совокупности по закону Пуассона.

Алгоритм проверки гипотезы о распределении генеральной совокупности по закону Пуассона

Для того чтобы при уровне значимости

проверить гипотезу о том, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона, необходимо:

1. Найти по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю

.

2. Принять в качестве оценки параметра

распределения Пуассона выборочную среднюю

.

3. Найти по формуле Пуассона (или по готовым таблицам) вероятности

появления ровно

событий в

испытаниях (i=0,1,2,…,r, где r – максимальное число наблюдавшихся событий, n- объем выборки).

4. Найти теоретические частоты по формуле

.

5. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы

, где

число различных групп выборки (если производилось объединение малочисленных частот в одну группу, то

число оставшихся групп выборки после объединения частот).

Замечание 1.

Малочисленные частоты (n_i<5) следует объединить; в этом случае и соответствующие им теоретические частоты также надо сложить. Если производилось объединение частот, то при определении числа степеней свободы по формуле

следует в качестве

принять число групп выборки, оставшихся после объединения частот.

Пример1.(типовая задача контрольной работы)

Известно эмпирическое распределение выборки объема n случайной величины Х. Проверить гипотезу о распределении по закону Пуассона генеральной совокупности этой величины. Использовать критерий согласия Пирсона (хи-квадрат) при уровне значимости

x_i	0	1	2	3	4	n
n_i	116	56	22	4	2	200

Решение. Рассмотрим гипотезы:

Н₀: случайная величина Х распределена по закону Пуассона.

Н₁: случайная величина Х не распределена по закону Пуассона.

Найдем выборочную среднюю:
Примем в качестве оценки параметра распределения Пуассона выборочную среднюю: Следовательно, предполагаемый закон Пуассона имеет вид
Положив i=0,1,2,3,4 найдем вероятности появления ровно событий в испытаниях (i=0,1,2,…,r, где r – максимальное число наблюдавшихся событий, n- объем выборки).
Найдем теоретические частоты по формуле . Подставив в эту формулу найденные в пункте 3 значения вероятностей , получим . Аналогично найдем:
Сравним эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Для этого составим расчетную таблицу 1. Учитывая замечание 1, объединим малочисленные частоты (4+2=6) и соответствующие им теоретические частоты (3.96+0.6=4.56), результаты объединения частот запишем в таблицу 1.

Таблица 1.

1	2	3	4	5	6
i	n_i		n_i-
0 1 2 3	116 56 22 6	109.76 65.86 19.76 4.56	6.54 -9.86 2.24 1.44	38.9376 97.2196 5.0176 2.0736	0.3548 1.4762 0.2539 0.4547
	200

Из расчетной таблицы находим наблюдаемое значение критерия Пирсона:

.

По таблице критических точек распределения

, по уровню значимости

и числу степеней свободы

находим критическую точку правосторонней критической области:

Так как

- нет оснований отвергнуть гипотезу Н_о о распределении случайной величины Х по закону Пуассона.

Ответ: случайная величина Х распределена по закону Пуассона.

Приложение 1

Таблица функции

	Сотые доли
х	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4	0,3989 3970 3910 3814 3683	3989 3965 3902 3802 3668	3989 3961 3894 3790 3653	3988 3956 3885 3778 3637	3986 3951 3876 3765 3621	3984 3945 3867 3752 3605	3982 3939 3857 3739 3589	3980 3932 3847 3725 3572	3977 3925 3836 3712 3555	3973 3918 3825 3697 3538
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9	3521 3332 3123 2897 2661	3503 3312 3101 2874 2637	3485 3292 3079 2850 2613	3467 3271 3056 2827 2589	3448 3251 3034 2803 2565	3429 3230 3011 2780 2541	3410 3209 2989 2756 2516	3391 3187 2966 2732 2492	3372 3166 2943 2709 2468	3352 3144 2920 2685 2444
1,0 1,1 1,2 1,3 1,4	2420 2179 1942 1714 1497	2396 2155 1919 1691 1476	2371 2131 1895 1669 1456	2347 2107 1872 1647 1435	2323 2083 1849 1626 1415	2299 2059 1826 1604 1394	2275 2036 1804 1582 1374	2251 2012 1781 1561 1354	2227 1989 1758 1539 1334	2203 1965 1736 1518 1315
1,5 1,6 1,7 1,8 1,9	1295 1109 0940 0790 0656	1276 1092 0925 0775 0644	1257 1074 0909 0761 0632	1238 1057 0893 0748 062	1219 1040 0878 0734 0608	1200 1023 0863 0721 0596	1182 1006 0848 0707 0584	1163 0989 0833 0694 0573	1145 0973 0818 0681 0562	1127 0957 0804 0669 0551
2,0 2,1 2,2 2,3 2,4	0540 0440 0355 0283 0224	0529 0431 0347 0277 0219	0519 0422 0339 0270 0213	0508 0413 0332 0264 0208	0498 0404 0325 0258 0203	0488 0396 0317 0252 0198	0478 0387 0310 0246 0194	0468 0379 0303 0241 0189	0459 0371 0297 0235 0184	0449 0363 0290 0229 0180
2,5 2,6 2,7 2,8 2,9	0175 0136 0104 0079 0060	0171 0132 0101 0077 0058	0167 0129 0099 0075 0056	0163 0126 0096 0073 0055	0158 0122 0093 0071 0053	0154 0119 0091 0069 0051	0151 0116 0088 0067 0050	0147 0113 0086 0065 0048	0143 0110 0084 0063 0047	0139 0107 0081 0061 0046
3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5	0044 0033 0024 0017 0012 0009	0043 0032 0023 0017 0012 0008	0042 0031 0022 0016 0012 0008	0040 0030 0022 0016 0011 0008	0039 0029 0021 0015 0011 0008	0038 0028 0020 0015 0010 0007	0037 0027 0020 0014 0010 0007	0036 0026 0019 0014 0010 0007	0035 0025 0018 0013 0009 0007	0034 0025 0018 0013 0009 0006

Приложение 2

Таблица значений функции

	Сотые доли
х	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4	0,0000 0398 0793 1179 1554	0040 0438 0832 1217 1591	0080 0478 0871 1255 1628	0120 0517 0910 1293 1664	0160 0557 0948 1331 1700	0199 0596 0987 1368 1736	0239 0636 1026 1406 1772	0279 0675 1064 1443 1808	0319 0714 1103 1480 1844	0359 0753 1141 1517 1879
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9	1915 2257 2580 2881 3159	1950 2291 2611 2910 3186	1985 2324 2642 2939 3212	2019 2357 2673 2967 3238	2054 2389 2704 2995 3264	2088 2422 2734 3023 3289	2123 2454 2764 3051 3315	2157 2486 2794 3078 3340	2190 2517 2823 3106 3365	2224 2549 2852 3133 3389
1,0 1,1 1,2 1,3 1,4	3413 3643 3849 4032 4192	3438 3665 3869 4049 4207	3461 3686 3888 4066 4222	3485 3708 3907 4082 4236	3508 3729 3925 4099 4251	3531 3749 3944 4115 4265	3554 3770 3962 4131 4279	3577 3790 3980 4147 4292	3599 3810 3997 4162 4306	3621 3830 4015 4177 4319
1,5 1,6 1,7 1,8 1,9	4332 4452 4554 4641 4713	4345 4463 4564 4649 4719	4357 4474 4573 4656 4726	4370 4484 4582 4664 4732	4382 4495 4591 4671 4738	4394 4505 4599 4678 4744	4406 4515 4608 4686 4750	4418 4525 4616 4693 4756	4429 4535 4625 4699 4761	4441 4545 4633 4706 4767
2,0 2,1 2,2 2,3 2,4	4772 4821 4861 4893 4918	4778 4826 4864 4896 4920	4783 4830 4868 4898 4922	4788 4834 4871 4901 4925	4793 4838 4875 4904 4927	4798 4842 4878 4906 4929	4803 4846 4881 4909 4931	4808 4850 4884 4911 4932	4812 4854 4887 4913 4934	4817 4857 4890 4916 4936
2,5 2,6 2,7 2,8 2,9	4938 4953 4965 4974 4981	4940 4955 4966 4975 4982	4941 4956 4967 4976 4982	4943 4957 4968 4977 4983	4945 4959 4969 4977 4984	4946 4960 4970 4978 4984	4948 4961 4071 4979 4985	4949 4962 4972 4979 4985	4951 4963 4973 4980 4986	4952 4964 4974 4981 4986
3,0 3,1 3,2 3,3 3,4	4987 4990 4993 4995 4997	4987 4991 4993 4995 4997	4987 4991 4994 4995 4997	4988 4991 4994 4996 4997	4988 4992 4994 4996 4997	4989 4992 4994 4996 4997	4989 4992 4994 4996 4997	4989 4992 4995 4996 4997	4990 4993 4995 4996 4997	4990 4993 4995 4997 4998
3,5 3,6 3,7 3,8	4998 4998 4999 4999	4998 4998 4999 4999	4998 4999 4999 4999	4998 4999 4999 4999	4998 4999 4999 4999	4998 4999 4999 4999	4998 4999 4999 4999	4998 4999 4999 4999	4998 4999 4999 4999	4998 4999 4999 4999

Приложение 3

Таблица значений

n	0,9	0,95	0,99
5 6 7 8 9	2,13 2,02 1,94 1,89 1,86	2,78 2,57 2,45 2,36 2,31	4,60 4,03 3,71 3,50 3,36
10 11 12 13 14	1,83 1,81 1,80 1,78 1,77	2,26 2,23 2,20 2,18 2,16	3,25 3,17 3,11 3,05 3,01
15 16 17 18 19 20	1,76 1,75 1,75 1,74 1,73 1,73	2,14 2,13 2,12 2,11 2,10 2,09	2,98 2,95 2,92 2,90 2,88 2,86
25 30 35 40 45	1,71 1,70 1,69 1,68 1,68	2,06 2,05 2,03 2,02 2,02	2,80 2,76 2,73 2,71 2,69
50 60 70 80 90	1,68 1,67 1,67 1,66 1,66	2,01 2,00 1,99 1,99 1,99	2,68 2,66 2,65 2,64 2,63
100 120 140 200 250	1,66 1,66 1,66 1,65 1,65 1,65	1,98 1,98 1,98 1,97 1,97 1,96	2,63 2,62 2,61 2,60 2,60 2,57

Приложение 4

Критические точки распределения

Число степеней свободы k	Уровень значимости
Число степеней свободы k	0,005	0,01	0,025	0,05	0,95	0,975	0,99	0,995
2 3 4 5	10,6 12,8 14,9 16,7	9,2 11,3 13,3 15,1	7,4 9,3 11,1 12,8	6,0 7,8 9,5 11,1	0,10 0,35 0,71 1,15	0,05 0,22 0,48 0,83	0,02 0,11 0,30 0,55	0,01 0,07 0,21 0,41
6 7 8 9 10	18,5 20,3 22,0 23,6 25,2	16,8 18,5 20,1 21,7 23,2	14,4 16,0 17,5 19,0 20,5	12,6 14,1 15,5 16,9 18,3	1,64 2,17 2,73 3,33 3,94	1,24 1,69 2,18 2,70 3,25	0,87 1,24 1,65 2,09 2,56	0,68 0,99 1,34 1,73 2,16
11 12 13 14 15	26,8 28,3 29,8 31,3 32,8	24,7 26,2 27,7 29,1 30,6	21,9 23,3 24,7 26,1 27,5	19,7 21,0 22,4 23,7 25,0	4,57 5,23 5,89 6,57 7,26	3,82 4,40 5,01 5,63 6,26	3,05 3,57 4,11 4,66 5,23	2,60 3,07 3,57 4,07 4,60
16 17 18 19 20	34,3 35,7 37,2 38,6 40,0	32,0 33,4 34,8 36,2 37,6	28,8 30,2 31,5 32,9 34,2	26,3 27,6 28,9 30,1 31,4	7,96 8,67 9,39 10,1 10,9	6,91 7,56 8,23 8,91 9,59	5,81 6,41 7,01 7,63 8,26	5,14 5,70 6,26 6,84 7,43
21 22 23 24 25	41,4 42,8 44,2 45,6 46,9	38,9 40,3 41,6 43,0 44,3	35,5 36,8 38,1 39,4 40,6	32,7 33,9 35,2 36,4 37,7	11,6 12,3 13,1 13,8 14,6	10,3 11,0 11,7 12,4 13,1	8,90 9,54 10,2 10,9 11,5	8,03 8,64 9,26 9,89 10,52
26 27 28 29 30	48,3 49,6 51,0 52,3 53,7	45,6 47,0 48,3 49,6 50,9	41,9 43,2 44,5 45,7 47,0	38,9 40,1 41,3 42,6 43,8	15,4 16,2 16,9 17,7 18,5	13,8 14,6 15,3 16,0 16,8	12,2 12,9 13,6 14,3 15,0	11,16 11,81 12,46 13,12 13,79
31 32 33 34 35 36	55,0 56,3 57,6 59,0 60,3 61,6	52,2 53,5 54,8 56,1 57,3 58,6	48,2 49,5 50,7 52,0 53,2 54,4	45,0 46,2 47,4 48,6 49,8 51,0	19,3 20,1 20,9 21,7 22,5 23,3	17,5 18,3 19,0 19,8 20,6 21,3	15,7 16,4 17,1 17,8 18,5 19,2	14,46 15,13 15,82 16,50 17,19 17,89

8. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ

Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельное изучение дисциплины. Для самостоятельного изучения математики имеется список литературы в рабочей программе. Помимо литературы из рабочей программы, преподаватель может рекомендовать литературу по своему усмотрению, наиболее соответствующую разработанному им курсу лекционных и практических занятий.

В университете проводятся лекции, но они не могут охватить все вопросы программы и имеют установочный характер. Преподавателю рекомендуется ориентироваться на уровень того потока студентов, с которыми он проводит занятия. В помощь студенту преподаватель должен проводить консультации и предложить раздаточный материал.

Преподаватель должен дать соответствующие рекомендации к выполнению контрольных работ. Также, преподаватель может предложить студенту воспользоваться пакетом прикладных программ для проверки решения заданий из контрольной работы и дать указания по оформлению контрольных работ.

Преподаватель рецензирует контрольную работу и отмечает ошибки. Выносится заключение: «Работа к зачету допущена» или «Работа к зачету не допущена». Зачет по контрольной работе студент получает после собеседования с преподавателем.

9.МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ТЕКУЩЕГО, ПРОМЕЖУТОЧНОГО И ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ

Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(3;2) под углом 135⁰ к оси Ох
Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(3;2) параллельно оси Оу
Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(3;2) и точку В(-2;-1).
Составить уравнение двух прямых, проходящих через точку А(5;1), одна из которых параллельна прямой 3х + 2у - 7=0, а другая – перпендикулярна той же прямой. Найти расстояние между параллельными прямыми.
Найти произведение матриц

Найти матрицу С= -5А - 2В: А = В=
Найти матрицу , если
Найти обратную матрицу , если
Вычислить определитель матрицы
Найти матрицу , если
Найти обратную матрицу ,если
Вычислить определитель матрицы
Найти матрицу , если
Найти обратную матрицу , если
По формулам Крамера решить систему:
Методом Гаусса решить систему:
Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
Даны три вектора: Найти координаты вектора .
Даны три вектора: Составить Уравнение прямой, проходящей через точку А(5;-1) под углом к оси Ох.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1;-2;3) и перпендикулярной вектору ;
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1;-2;3) и параллельно плоскости 3х-4у+5z+6=0;
Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку М(2;0;1)
Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые
Дана функция . Найти .
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Найти производную функции ;
Найти производную функции ;
Найти производную функции
Найти производную функции
Найти производную функции
Найти производную функции
Найти производную функции
Найти производную функции неявной функции
Найти производные второго порядка функции .
Найти область определения функции
Найти область определения функции
Найти область определения функции

Найти область определения функции
Найти область определения функции
Найти неопределенный интеграл
Найти неопределенный интеграл
Найти неопределенный интеграл
Найти неопределенный интеграл
Найти неопределенный интеграл
Найти определенный интеграл
Найти определенный интеграл
Найти определенный интеграл
Найти площадь фигуры ограниченной линиями,,
Найти площадь фигуры ограниченной линиями
Найти площадь фигуры ограниченной линиями: (фигура расположена в первой четверти).
Найти сумму ряда
Найти сумму ряда
Исследовать сходимость ряда
Исследовать сходимость ряда
Исследовать сходимость ряда
Исследовать сходимость ряда
Исследовать сходимость ряда
Исследовать сходимость ряда
Исследовать сходимость ряда
Расписание одного дня состоит из 5 уроков. Определить число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин.
В шахматном турнире участвуют 16 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна одна партия?
При перевозке ящика, в котором содержались 21 стандартная и 10 нестандартных деталей, утеряна одна деталь. Наудачу извлеченная деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что утеряна стандартная деталь.
В урне лежат т белых шаров и п черных. Чему равна вероятность вытащить белый шар?
Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна 7.
Десять книг наудачу расставляются на книжной полке. Какова вероятность того, что три конкретные из этих десяти книг окажутся стоящими рядом ?
На отдельных карточках написаны три буквы «а», две буквы «н» и одна буква «с». Ребенок берет карточки в случайном порядке и прикладывает одну к другой все 6 карточек. Какова вероятность того, что получится слово «ананас»?
Из 30 студентов 10 имеют спортивные разряды. Какова вероятность того, что выбранные наудачу 3 студента – разрядники?
Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9, второй – 0,9, третий – 0,8. Найти вероятность того, что студентом будут сданы по крайней мере 2 экзамена.
В магазин поступила новая продукция с трех предприятий в процентном составе: 20% - продукция первого предприятия, 30% - продукция второго предприятия, 50% - продукция третьего предприятия. Известно, что 10% продукции первого предприятия высшего сорта, второго предприятия - 5%, третьего предприятия - 20% продукции высшего сорта.Найти вероятность того, что случайно купленная нами продукция окажется высшего сорта.
Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень первого стрелка равна 0,8; для второго стрелка – 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Какова вероятность того, что она принадлежит второму стрелку?
Сколько раз надо бросить монету, чтобы с вероятностью 0,6 можно было ожидать, что отклонение относительной частоты появлений герба от вероятности р= 0,5 окажется по абсолютной величине не более 0,01?
Производится 4 выстрела с вероятностью попадания в цель соответственно 0,6; 0,4; 0,5 и 0,7. Найти математическое ожидание общего числа попаданий.
Найти дисперсию дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

Х

-5

2

3

4

р

0,4

0,3

0,1

0,2
Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (0;1).

Случайная величина задана плотностью распределения

Найти коэффициент а.

Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена по данным ранга объектов выборки объема п= 10:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

6

4

8

1

2

5

10

3

7

9

Blog

Рабочая учебная программа по дисциплине 4 Задания на контрольные работы

Содержание

5. Проверка статистических гипотез