Geum.ru

Вопросы к экзамену по математическому анализу

Вид материалаВопросы к экзамену
Подобный материал:
Вопросы к экзамену по математическому анализу.

  1. Основные понятия теории множеств. Операции над множествами.
  2. Принцип математической индукции. Пример.
  3. Отображения. Образы и прообразы. Биекция. Обратная функция. Сложная функция.
  4. Счетные множества и их свойства.
  5. Примеры счетных и несчетных множеств. Множества мощности континуум.
  6. Элементы комбинаторики. Задача о ладьях. Бином Ньютона.
  7. Действительные числа. Аксиомы и свойства множества действительных чисел.
  8. Множество натуральных чисел. Аксиомы и свойства множества натуральных чисел. Принцип математической индукции.
  9. Принцип Архимеда и его следствия.
  10. Множество рациональных чисел и его свойства.
  11. Иррациональные числа. Их существование. Теорема.
  12. Ограниченные числовые множества, точные грани числовых множеств.
  13. Определение бесконечно малой последовательности и ее свойства.
  14. Бесконечно большие последовательности и их свойства.
  15. Сходящиеся последовательности и их свойства.
  16. Предельные переходы в неравенствах.
  17. Предельные точки последовательности. Верхний и нижний пределы и их свойства.
  18. Теорема о сходимости последовательности в терминах верхних и нижних пределов.
  19. Фундаментальные последовательности и их свойства. Критерий Коши.
  20. Предел монотонной последовательности. Признак Вейерштрасса.
  21. Примеры сходящихся последовательностей. Геометрическая прогрессия, число е.
  22. Определение предела функции по Коши и по Гейне. Их эквивалентность.
  23. Свойства функций, имеющих предел (ограниченность, закон сохранения знака).
  24. Арифметические свойства функций, имеющих предел.
  25. Предельный переход в неравенствах для функций.
  26. Пределы монотонных функций.
  27. Критерий Коши существования конечного предела функции.
  28. Определение непрерывности функции в точке. Точки разрыва и их классификация.
  29. Арифметические свойства непрерывных функций.
  30. Теорема Вейерштрасса о непрерывной на промежутке функции (о достижении граней).
  31. Теорема Коши о промежуточных значениях непрерывных функций.
  32. Равномерно непрерывные функции. Пример равномерно непрерывной функции.
  33. Пример функции не являющейся равномерно непрерывной.
  34. Определение производной. Геометрический и физический смысл производной.
  35. Правила вычисления производной.
  36. Производная обратной функции.
  37. Производная сложной функции.
  38. Таблица производных элементарных функций.
  39. Первый дифференциал и инвариантность его формы. Геометрический смысл дифференциала.
  40. Производные высших порядков.
  41. Теорема Ролля.
  42. Теорема Лагранжа.
  43. Теорема Коши.
  44. Правило Лопиталя.
  45. Формула Тейлора.
  46. Дифференциальные признаки монотонности и постоянства функции.
  47. Локальные экстремумы. Необходимые и достаточные условия их существования.
  48. Понятие выпуклости графика функции. Точки перегиба.
  49. Асимптоты графика функции. Схема исследования функции.

Замечания:
  1. Вопросы даны в краткой форме. Если у вас возникли какие-либо проблемы с ними, то учите в лекциях все подряд.
  2. Помните, что некоторые утверждения необходимо выучить самостоятельно.
  3. Из данного списка вопросов не следует, будто что-то в лекциях учить не надо. Учить надо все.
  4. На экзамен необходимо взять: ручку, три двойных листа чистой бумаги, зачетную книжку и тетради, содержащие все лекции. Тетради должны быть сданы на проверку.