Geum.ru

Экзаменационные вопросы по математическому анализу для студентов 1 курса 6 факультета (бакалавры)

Вид материалаЭкзаменационные вопросы
Подобный материал:

Кафедра 803


Экзаменационные вопросы по математическому анализу для студентов 1 курса 6 факультета (бакалавры),

осенний семестр 2011/2012 учебного года


Раздел 1. Последовательности. Функции. Теория пределов. Непрерывность функций одной переменной
  1. Конечный предел числовой последовательности. Необходимое условие его существования. Формулировка критерия Коши сходимости числовой последовательности.
  2. Бесконечно малые последовательности, их свойства. Бесконечно большие последовательности, их связь с бесконечно малыми.
  3. Теоремы о пределе суммы, произведения и частного сходящихся последовательностей.
  4. Теоремы о пределах последовательностей, связанных неравенствами.
  5. Число е, как предел последовательности; с общим членом an = (1 + 1/n)n.
  6. Конечный предел функции действительного переменного (по Коши и по Гейне) при х→а (а - число или символ ∞). Бесконечно большие функции при х-->а. Односторонние пределы.
  7. Основные теоремы о пределах функций (о пределе суммы, произведения и частного функций, о пределах функций, связанных неравенствами, о пределе сложной функции).
  8. Замечательные пределы.
  9. Сравнение функций. О и о символика. Эквивалентные бесконечно малые функции и их свойства.
  10. Функции действительного переменного, непрерывные в точке, их свойства. Непрерывность элементарных функций.
  11. Точки разрыва функции, их классификация.
  12. Непрерывность функций на интервале, на отрезке. Формулировка свойств функций, непрерывных на отрезке.

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
  1. Производная функции действительного переменного, ее геометрический и механический смысл. Касательная и нормаль к кривой. Односторонние производные. Необходимое условие существования производной.
  2. Общие правила дифференцирования. Дифференцирование сложной функции, обратной функции.
  3. Производные элементарных функций. Логарифмическое дифференцирование.
  4. Дифференциал функции, его геометрический смысл, свойства, инвариантная форма записи, приложения.
  5. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Не инвариантность формы записи дифференциалов высших порядков.
  6. Функции, заданные параметрически, их дифференцирование.
  7. Теоремы Ферма, Ролля, их геометрический смысл.
  8. Теорема Лагранжа, ее геометрический смысл. Теорема Коши.
  9. Правила Лопиталя.
  10. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и Лагранжа. Формула Маклорена.
  11. Разложение по формуле Маклорена функций ех, sin х, соs х, ln(1+х), (1 ± х)α.
  12. Необходимые и достаточные условия монотонности функции. Экстремум функции, его необходимое условие, достаточные условия.
  13. Необходимое и достаточное условие выпуклости (вогнутости).графика функции. Необходимое и достаточное условие точки перегиба. Асимптоты графика функции.

Раздел 3. Предел, непрерывность функций нескольких переменных. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
  1. Предел функции. Непрерывные функции в точке, области, замкнутой области. Формулировка свойств функции, непрерывной в ограниченной замкнутой области.
  2. Частные производные первого порядка, высших порядков. Независимость смешанных производных от порядка дифференцирования (без доказательства).
  3. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Необходимые условия дифференцируемости. Достаточное условие дифференцируемости.
  4. Дифференцирование сложных функций нескольких переменных.
  5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности S: F(х,у,z) = 0 и S: z = f(x,y).
  6. Дифференциал функции нескольких переменных, его свойства. Инвариантность формы первого дифференциала. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных.
  7. Скалярное поле. Поверхности (линии) уровня. Производная по направлению. Градиент скалярного поля, его свойства и связь с производной по направлению.
  8. Дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных.
  9. Функция, заданная неявно уравнением. Формулировка условий существования Вывод формул дифференцирования.
  10. Экстремум функций многих переменных. Необходимые условия.
  11. Достаточные условия экстремума функций многих переменных.