«Теория вероятностей»

(второй семестр, зачет)

Дидактические единицы:

Предмет теории вероятностей. Множество элементарных исходов опыта, событие, операции над событиями. Интуитивное и математическое определения вероятности. Аксиомы теории вероятностей и следствия из них. Вероятностное пространство как парадигма вероятностного мышления и как корректная математическая модель случайного явления. Совместные и несовместные события. Условная вероятность. Зависимые и независимые события. Вероятностная зависимость и причинно-следственная зависимость. Формула полной вероятности. Формула Байеса как теорема гипотез, байесовский анализ. Случайная величина. Закон распределения случайной величины. Случайный вектор, зависимые и независимые случайные величины. Примеры стандартных случайных величин: Бернулли, биномиальная, Пуассона, экспоненциальная, равномерная, Гаусса (нормальная). Предельные теоремы о связи биномиальной случайной величины со случайными величинами Пуассона и Гаусса (предельная теорема Пуассона в схеме Бернулли, локальная и интегральная теоремы Муавра – Лапласа). Правило «три сигма» для нормальной случайной величины. Таблица стандартного нормального распределения и использование компьютерного пакета Microsoft Excel. Математическое ожидание и дисперсия как числовые характеристики случайных величин. Неравенство Чебышёва. Правило «три сигма» для произвольной случайной величины. «Доля» объектов генеральной совокупности, обладающих заданным свойством. Моменты. Квантиль распределения случайной величины, «р-значение» (“p-value”). Децили. Ковариация и линейный коэффициент корреляции Пирсона двух случайных величин. Ранговый коэффициент корреляции Спирмена. Свойства некоррелированности и независимости. Многомерное нормальное распределение, декоррелирующее преобразование. Предельные теоремы в теории вероятностей. Закон больших чисел, теорема Чебышёва. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных независимых случайных величин, интегральная теорема Муавра – Лапласа как ее следствие. Понятие о теореме Ляпунова для неодинаково распределенных случайных величин. Элементы теоретико-вероятностного моделирования в социологии, политологии, менеджменте, психологии, маркетинге.

Итоговые компетенции:

Знать основные понятия, определения и математические результаты теории вероятностей на уровне грамотного пользователя-нематематика;

Знать основные модели и методы теории вероятностей, используемые в современной социологической теории и практике;

Уметь использовать основные методы теоретико-вероятностных исследований в научном анализе проблем социологического содержания;

Владеть основными практическими приемами проведения теоретико-вероятностного научного анализа проблем социологического содержания.

Ориентировочные (укрупненные) вопросы

к зачету по «Теории вероятностей»

(весенняя зачетная сессия на первом курсе):

1. Множество элементарных исходов опыта, событие, теоретико-множественные операции над событиями. Схема опыта с равновозможными исходами. Вероятность события. Доля объектов в «генеральной совокупности», обладающих заданным свойством. Совместные и несовместные события. Теорема сложения вероятностей. Примеры применения.

2. Условная вероятность. Зависимые и независимые события. Попарная независимость событий и независимость в совокупности. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса (теорема гипотез). Примеры применения.

3. Случайная величина как математическая модель вероятностного явления. Функция распределения и функция плотности распределения вероятностей случайной величины, их свойства. Случайный вектор. Примеры применения.

4. Простейший (пуассоновский) поток событий, пуассоновская случайная величина. Показательная (экспоненциальная) случайная величина. Параметр пуассоновского потока и его оценивание по результатам измерений (по выборке). Примеры применения.

5. Схема независимых испытаний Бернулли, биномиальная случайная величина. Предельная теорема о связи биномиальной и пуассоновской случайных величин. Примеры применения.

6. Нормальная (гауссовская) случайная величина. Локальная и интегральная теоремы Муавра – Лапласа о связи биномиальной и гауссовской случайных величин. Правило «три сигма». Таблицы нормального распределения. Примеры применения.

7. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия, их свойства. Квантиль распределения случайной величины, “p-value”. Таблицы квантилей стандартных случайных величин. Квартиль, квинтиль, дециль, персентиль. Медиана, мода, асимметрия, эксцесс. Примеры применения.

8. Условные законы распределения случайных величин. Условное математическое ожидание. Примеры применения.

9. Неравенство Чебышёва и его использование для оценивания параметров вероятностных моделей, сравнение с использованием интегральной теоремы Муавра – Лапласа в задаче оценивания вероятности события по частоте его наступления в последовательности испытаний. Примеры применения.

10. Ковариация двух случайных величин как мера их зависимости. Коэффициент корреляции Пирсона и его свойства. Соотношение между некоррелированностью и независимостью случайных величин. Коэффициент корреляции Пирсона для линейно связанных случайных величин. Дисперсионная и корреляционная матрицы случайного вектора. Примеры применения.

11. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных независимых случайных величин. Предельные законы распределения выборочного среднего и выборочной доли генеральной совокупности. Примеры применения.

12. Основные задачи математической статистики и их теоретико-вероятностные основы. Статистическая гипотеза и этапы её проверки. Генеральная совокупность, выборка, статистика. Эмпирическая функция распределения, гистограмма. Выборочные среднее, дисперсия, ковариация, коэффициент корреляции. Статистический критерий, уровень значимости, критическая область гипотезы. Проверяемая гипотеза и конкурирующая (альтернативная) гипотеза.

Blog

«Теория вероятностей»

Содержание