Geum.ru

М. В. Ломоносова Социологический факультет кафедра Информатики социальных процессов А. И. Самыловский Учебно-методический комплекс

Вид материалаУчебно-методический комплекс

Содержание


VIII. Контрольные задачи по учебным дисциплинам
Примеры задач для итогового контроля знаний
IX. Контрольные теоретические вопросы
Подобный материал:
1   2   3   4   5   6   7   8

VIII. Контрольные задачи по учебным дисциплинам




Примеры задач для текущего и промежуточного
контроля знаний


1. Пусть А, В, С – некоторые три события. Запишите с помощью теоретико-множественных операций следующие утверждения:


Произошло только событие А ____________________________


Произошли только события А и В _________________________


Произошли все три события ______________________________


Произошло по крайней мере одно событие из трех ___________


Произошло ровно одно событие ___________________________


Ни одно событие не произошло ____________________________


2. На три вакантных должности в выбираемом на общем собрании акционеров новом составе правления фирмы претендуют 10 кандидатов. Определите количество вариантов, которое необходимо рассмотреть участникам собрания при заполнении вакантных должностей в каждом из следующих возможных случаев, характеризующих структуру нового правления: а) один член нового правления не может совмещать различные должности (такими должностями в данном случае являются, например, президент, исполнительный директор, секретарь); б) один член правления может совмещать любое количество различных должностей (такими должностями являются, например, президент, генеральный директор, председатель правления); в) все три должности в новом правлении идентичны (например, три равноправных директора).


3. Сколько имеется способов составления в случайном порядке списка из 7 предварительно отобранных кандидатов для выбора одного из них на должность председателя правления? Каковы вероятности того, что кандидаты окажутся расставленными в списке по возрасту (от меньшего – к большему), по уровню личного дохода за предыдущий год (от большего – к меньшему), в алфавитном порядке?


4. Лифт, в котором находятся семь пассажиров, отправляется с “нулевого” этажа здания вверх, останавливаясь последовательно на каждом этаже здания с первого по десятый. Все пассажиры, пожелавшие выйти на каком-либо этаже, могут это сделать и в результате после остановки лифта на десятом этаже в нем никого не останется. Выход пассажира равновозможен на любом из этажей, обратно в лифт вышедшие пассажиры не заходят. Какова вероятность того, что никакие два пассажира не выйдут на одном и том же этаже?


5. Участник лотереи «Спортлото» должен зачеркнуть в купленной им карточке 6 из 49 возможных чисел (натуральные числа от 1 до 49) и отправить карточку по почте организаторам лотереи. Если при розыгрыше лотереи все шесть «выигравших» номеров совпадут с числами, зачеркнутыми участником, то он получает максимальный выигрыш. Чему равна вероятность того, что данный конкретный участник угадает все шесть номеров, т.е. получит максимальный выигрыш?


6. Два человека договорились встретиться в определенном месте в течение интервала времени с 10.00 до 10.30, причем пришедший первым ждет второго 10 минут и, если второй за это время не приходит, то первый уходит и встреча считается несостоявшейся. Все моменты прихода в указанном получасовом ингтервале времени для каждого человека равновозможны. Какова вероятность того, что встреча состоится?

7. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного продукта по телевидению, равна 0.04. Вероятность того, что тот же потребитель увидит рекламу того же продукта на рекламном стенде, равна 0.05. Указанные события независимы. Найдите: а) вероятность того, что потребитель увидит обе рекламы; б) вероятность того, что потребитель увидит хотя бы одну рекламу.


8. Рассмотрите механизм подобного комплексного рекламного воздействия на потребителя при наличии еще и третьего канала рекламной коммуникации в виде почтовой рассылки рекламных буклетов, который «достигает» потребителя с вероятностью 0.20.


9. В городе работают 10 коммерческих банков. Для каждого из них вероятность банкротства в течение года равна 0.1. Найдите вероятность того, что в течение года в данном городе количество обанкротившихся банков не превысит число 1.


10. В городе работают три коммерческих банка, количественные оценки «годовой надежности» которых равны 0.95, 0.90, 0.85 соответственно. а) Какова вероятность того, что в течение года обанкротятся все три банка? б) Какова вероятность того, что в течение года обанкротится хотя бы один банк?

11. Двое играют в «безобидную игру» – проводят последовательность поединков с равными шансами на успех в каждом для каждого игрока (ничьи исключаются). Весь призовой фонд в размере 1000 руб. получит тот, кто первым выиграет три поединка (первым наберет 3 очка: за победу в поединке дается 1 очко, за поражение в поединке дается 0 очков). Игра прервана по некоторым объективным обстоятельствам при счете 2:1 и возобновлена быть не может. Предложите справедливый принцип раздела призового фонда. Сколько денег получит каждый игрок?


12. В наборе имеются n ключей, из которых ровно один подходит к замку. По внешнему виду найти нужный ключ невозможно, поэтому человек последовательно пробует открыть замок каждым ключом из набора. Какова вероятность того, что подходящий ключ будет найден на k–ом шаге данной последовательной процедуры (1 ≤ k ≤ n)? Получите общую формулу и рассмотрите случай n = 10, k = 4.


13. В рекламном агентстве 21% работников относятся к категории лиц, получающих высокую зарплату. Известно, что 40% работников данного рекламного агентства составляют женщины, а 6.4% работников данного рекламного агентства составляют женщины, получающие высокую зарплату. Можно ли утверждать, что в данном рекламном агентстве имеется дискриминация женщин в оплате труда?


14.Три завода производят однотипные изделия, причем первый завод производит 25% всех изделий, второй – 35%, третий – 40%. Каждый завод дает также и брак: 5%, 4%, 2% от объема своего производства соответственно. Вся продукция поступает на единую оптовую базу и размещается на базе в случайном порядке. а) какова вероятность того, что случайно взятое с оптовой базы изделие является бракованным? б) какова вероятность того, что случайно взятое с оптовой базы изделие, оказавшееся бракованным, произведено на втором заводе?


15. Вероятность того, что новый товар фирмы будет «пользоваться спросом» на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный продукт, равна 0.8. Вероятность того, что товар будет «пользоваться спросом» при наличии на рынке конкурирующего товара равна 0.3. Вероятность появления на рынке конкурирующего товара равна 0.4. Найдите вероятность того, что новый товар фирмы будет «пользоваться спросом» на рынке.


16. Аналитик, исследующий социально-экономическое состояние некоторой страны, выделил три возможных состояния: “хорошее”, “среднее”, “плохое”, прписав им субъективно вероятности 0.15, 0.70, 0.15 соответственно. Вскоре был зафиксирован рост фондового индекса данной страны. Известно (из ретроспективного анализа), что вероятность роста индекса при “хорошем” состоянии составляет 0.8, вероятность роста индекса при “среднем” состоянии составляет 0.40, вероятность роста индекса при “плохом” состоянии составляет 0.20. Как аналитик может уточнить своё высказанное выше субъективное мнение о вероятности того, что страна находится в “хорошем” состоянии?


17. В лотерее участвуют 10000 билетов, из них 500 выигрышных. Сколько нужно купить билетов, чтобы с вероятностью не менее чем 0.99 выиграть хотя бы по одному билету?


18. Для предыдущей ситуации постройте зависимость вероятности выиграть хотя бы по одному билету от количества купленных билетов.


19. В ходе аудиторской проверки предприятия квалифицированный аудитор случайным образом (наугад) отбирает для детальной проверки пять счетов. Известно, что 3% счетов данного предприятия содержат ошибки. Чему равна вероятность обнаружения аудитором хотя бы одного ошибочного счета?


20. На предприятии имеется 1000 однотипных станков, для каждого из которых вероятность поломки в течение одного часа составляет 0.001. Чему равна вероятность того, что в течение одного часа сломаются как минимум два станка?


21. По аналогии с правилом «трёх сигма» опишите количественно правило «четырёх сигма» и правило «двух сигма». Сравните полученные количественные результаты с количественными результатами применения в той же ситуации неравенства Чебышёва.


22. Найдите математическое ожидание и дисперсию суммы очков, выпавших при независимых бросаниях трех игральных костей (каждая кость бросается по одному разу).


23. Цена акции некоторой компании в течение года является нормальной случайной величиной с математическим ожиданием, равным 48 руб., и стандартным отклонением, равным 6 руб. Определите вероятность того, что в наугад выбранный день этого года цена такой акции будет составлять от 50 руб. до 60 руб.


24. Пусть X и Y – две нормально распределенные случайные величины с EX = 1, EY = 2, DX = 4, DY = 9, ρXY = 0.5. Найдите закон распределения случайной величины Z = – 5X + 7 и дисперсию случайной величины W = X – 2Y.


25. Коэффициент корреляции Пирсона между случайными величинами X и Y равен ρXY. Найдите коэффициент корреляции Пирсона ρUV между случайными величинами U = 2X + 3 и V = – 3Y + 1.


26. Определите значение коэффициента корреляции Пирсона случайных величин X и Y на основании имеющейся выборки (xi , yi): (1, 2), (3, 4), (5, 6), (7, 8), (9, 10).


27. Почему частота наступления события А в n независимых испытаниях Бернулли является «хорошей» оценкой вероятности Р(А)?


28. Менеджер ресторана по своему опыту знает, что 80% людей, сделавших днём предварительный заказ на вечер, придут в ресторан поужинать. В один из дней менеджер решил принять 40 заказов, хотя в ресторане имеется лишь 32 столика. Оцените рискованность такого решения менеджера.


Примеры задач для итогового контроля знаний


1. Город имеет три независимых резервных общегородских источника электроэнергии для использования в случае аварийного отключения постоянного общегородского источника электроэнергии. Для каждого резервного источника вероятность того, что он будет доступен при отключении постоянного источника, равна 0.9. Какова вероятность того, что город не останется без электроэнергии, если выйдет из строя постоянный источник?


2. Торговый агент распространяет небольшой тираж дорогой иллюстрированной книги. Из предыдущего опыта ему известно, что в среднем один из 60 клиентов, которым он предлагает книгу, покупает её. Агент планирует предлагать книги (по одной) в течение некоторого промежутка времени 20 клиентам. Чему равна вероятность того, что он продаст им хотя бы одну книгу?


3. Планируется слияние двух фирм: поглощение одной – «малой» фирмы другою – «крупной» фирмой. Аналитики «крупной» фирмы полагают, что такое слияние принесет успех с вероятностью 0.70, если директор поглощаемой фирмы добровольно уйдет в отставку. В случае отказа директора от добровольной отставки вероятность успеха оценивается аналитиками как 0.40. Вероятность добровольного ухода в отставку оценивается аналитиками как 0.60. Чему равна вероятность того, что слияние принесет успех?


4. Исследованиями психологов установлено, что женщины и мужчины по-разному реагируют на определенные анализируемые жизненные обстоятельства: на данные обстоятельства «позитивно» реагируют 80% женщин, в то время как среди мужчин доля реагирующих «позитивно» составляет 30%. Реакции могут быть только «позитивными» либо «негативными». 20 женщин и 10 мужчин заполнили типовую анонимную анкету, в которой отразили свое отношение к данным обстоятельствам. Полученные 30 анкет перемешаны и из них извлечена анкета, содержащая «негативную» реакцию. Чему равна вероятность того, что данную анкету заполнял мужчина?


5. Процесс поступления исков, вызываемых дорожно-транспортными происшествиями (ДТП), в страховую компанию описывается моделью процесса Пуассона с параметром λ = 2 иска/час (полагается, что одно ДТП является причиной ровно одного иска). Определите вероятность того, что в течение трех часов не поступит ни одного иска.


6. Письменную контрольную работу по ранее изученному разделу учебной дисциплины выполнили 100 студентов. Считается, что раздел усвоен и можно переходить к изучению следующего раздела, если количество неудовлетворительных оценок за контрольную работу составляет не более 10% (в противном случае изученный раздел необходимо повторить еще раз). Данное решение необходимо принять оперативно, проверив лишь небольшую часть всех контрольных работ. После проверки случайно отобранных 11 работ установлено, что из них ровно одна получила неудовлетворительную оценку. Предложите обоснованную процедуру принятия решения о переходе к изучению следующего раздела на основе анализа имеющейся информации.


7. Фирма, занимающаяся социологическими опросами, получила заказ от политической партии на определение рейтинга данной партии с допустимой погрешностью в 3%. Опрос одного респондента обходится фирме в 50 рублей. На какую сумму данная социологическая фирма может выставить счет заказчику, имея в виду, что заказчик, возможно, потребует уменьшения суммы счета и фирма должна будет отстаивать свои расчеты?


8. Необходимо оценить будущую долю рынка новой модели цифрового фотоаппарата. Что Вы можете сказать о степени научной обоснованности предложения опросить 10 респондентов и, если, например, трое из них проявят заинтересованность к данной модели, то оценить долю рынка как 30%? Определите объем опроса, задав разумные показатели его точности и использовав научно обоснованные методы статистического анализа.

9. «Квалифицированным» считается руководитель, который принимает не менее 80% правильных решений. Такому руководителю – директору рекламного агентства предстоит принять решения по пяти стратегически важным вопросам. Оцените вероятность того, что данный директор примет менее трех правильных решений.


10. Итоговый зачетный тест в формате “multiple choice” по некоторой учебной дисциплине содержит 20 вопросов, к каждому из которых предлагается по пять возможных ответов, среди которых содержится ровно один верный ответ. Чему равна вероятность того, что студент, совершенно не готовившийся к такому тестированию и не посещавший занятия по данной учебной дисциплине, получит зачет, если зачет ставится за наличие не менее половины правильных ответов?


11. Известно, что объем производства предприятия за одну неделю хорошо описывается нормальной случайной величиной со средним значением 120000 единиц продукции и стандартным отклонением 13000 единиц продукции. В течение некоторой недели профсоюз проводил на предприятии собрания, разрешение администрации на которые было получено при условии обеспечения отсутствия каких-либо сбоев в обычном функционировании предприятия. Объем производства предприятия за указанную неделю составил 80000 единиц продукции. Администрация рассматривает это как катастрофическое падение объема производства и хочет наложить штрафные санкции на профсоюз, а профсоюз полагает такой результат вполне естественным при имеющейся модели в виде указанной выше нормальной случайной величины. Какая из двух сторон такого «трудового спора» права?


12. Фирма, занимающаяся продажей товаров по каталогу, получает заказы по почте. Число этих заказов в месяц есть нормальная (гауссовская) случайная величина со «среднеквадратическим» («стандартным») отклонением σ = 560 и с неизвестным математическим ожиданием m. В 80% случаев число ежемесячных заказов превышает 12500. Найдите ожидаемое среднее число заказов, получаемых данной фирмой за месяц.


13. Известно, что в течение года цена ежедневно котирующейся на бирже обыкновенной акции компании есть нормальная (гауссовская) случайная величина N (24, 25), где цена измеряется в рублях. Вычислите вероятность того, что в случайно выбранный день данного года цена акции будет: а) более 30 руб.; б) менее 20 руб.; между 20 руб. и 30 руб.


14. В город ежедневно рано утром приезжают 1000 туристов. В полдень все они идут обедать, причем каждый из них независимо от других выбирает для обеда один из имеющихся в городе двух ресторанов. Владелец одного из ресторанов хочет, чтобы лишь с малой вероятностью 0.01 происходило событие, состоящее в потере клиентов из-за отсутствия в ресторане свободных мест. Сколько мест необходимо иметь в данном ресторане?


15. В авиакомпании знают, что в среднем 10% людей, делающих предварительный заказ на авиабилет, не воспользуются им. Приняты заказы на 180 авиабилетов на самолет, в котором 170 мест. Чему равна вероятность того, что у авиакомпании не возникнет ни одного конфликта с клиентами, сделавшими эти предварительные заказы?


16. Известно, что в среднем 25% абитуриентов выдерживают вступительные экзамены в университет. В приемную комиссию данного университета поступило 2127 заявлений. Чему равна вероятность того, что хотя бы 600 абитуриентов, поступающих в данный университет, наберут проходной балл?


17. В маленьком фешенебельном ресторанчике с 12 столиками, который работает только по вечерам, знают, что в среднем 10% людей, делающих в течение дня предварительный заказ столика на ближайший вечер, не воспользуются им. Заказы на вечер принимаются только в течение того же дня. Менеджер ресторанчика решил принять на вечер 14 заказов. Оцените рискованность такого решения менеджера.


18. При приёмочном контроле «большой» партии, которая содержит N изделий, производится отбор «маленькой» контрольной партии в n штук (n << N).Найдите вероятность того, что в «маленькой» контрольной партии нет ни одного бракованного изделия, если во всей «большой» партии имеется k штук бракованных изделий. Получите общую формулу и рассмотрите случай N = 1000, n = 50, k = 4.

19. В поселке N жителей, каждый из которых планирует в среднем n раз в квартал (90 дней) ездить в город, выбирая дни поездок независимо от остальных. Из поселка один раз в сутки (ранним утром) в город вылетает самолет. Каждый житель поселка, выехавший в город, в тот же день тем же самолетом (поздним вечером) возвращается обратно. Других средств сообщения между поселком и городом нет. Какова должна быть вместимость самолета, чтобы он с высокой вероятностью p «не переполнялся»? Получите общую формулу и рассмотрите случай N = 810, n = 1, p = 0.95.


20. Инвестор имеет 1000000 руб., которые он может вложить либо в два пакета акций одного предприятия, либо в два пакета акций двух разных предприятий (один пакет стоит 500000 руб.). Каждое предприятие с равными вероятностями может либо добиться успеха (и тогда нынешнее вложение в него учетверится), либо потерпеть неудачу (и тогда нынешнее вложение в него пропадет). Постройте математические модели дохода инвестора (в виде дискретных случайных величин) при выборе им каждой из двух указанных выше возможных стратегий. Найдите математические ожидания и дисперсии доходов. Найдите коэффициенты корреляции между доходами пакетов акций при первой стратегии (покупка пакетов акций одного предприятия), при второй стратегии (покупка пакетов акций двух разных предприятий).


21. Известно, что величина годового дохода жителя страны хорошо описывется математической моделью в виде нормальной случайной величины, среднее значение которой равно 20000 у.е., стандартное отклонение равно 6000 у.е. Определите первую и девятую децили, охарактеризуйте степень неравномерности распределения доходов в стране. Сравните данную страну со страной, для которой соответствующая математическая модель также имеет вид нормальной случайной величины со средним значением 20000 у.е., отличаясь, однако, значением стандартного отклонения, которое равно 2000 у.е.


22. Имеются выборочные данные социологических опросов о динамике предвыборных рейтингов некоторой политической партии (в процентах) в трех регионах страны – А, В и С за предыдущие 10 недель:

А
9
14
14
8
15
17
17
10
14
22

В
9
6
8
8
10
13
13
10
10
13

С
9
12
9
11
8
5
6
7
6
7

Постройте выборочные оценки «истинных» рейтингов данной политической партии в указанных регионах и оценку ее общенационального рейтинга, оценки разбросов региональных рейтингов, оценку корреляционной матрицы вектора региональных рейтингов. Сделав необходимые предположения о виде соответствующих генеральных совокупностей, проверьте гипотезы о некоррелированности региональных рейтингов.


23. Измерение эффективности рекламной кампании фирмы в восьми однотипных городах Российской Федерации дало следующие результаты (проценты увеличения месячного объема продаж): 12.3; 14.6; 11.8; 15.2; 16.0; 17.0; 13.5; 16.2. Рассматривая данные измерения как реализацию простой выборки из нормальной (гауссовской) генеральной совокупности, постройте доверительный интервал для «истинной» эффективности общенациональной рекламной кампании данной фирмы в городах данного типа (при доверительной вероятности 0.9).


24. Через один год проведены измерения эффективности рекламной кампании той же фирмы в пяти городах РФ того же типа, что и в задаче 23, и получены следующие результаты (проценты увеличения месячного объема продаж): 10.5; 15.2; 9.4; 12.0; 16.8. Рассматривая данные измерения как реализацию простой выборки из нормальной (гауссовской) генеральной совокупности, проверьте гипотезу о неизменности «истинной» эффективности общенациональной рекламной кампании данной фирмы в городах данного типа в течение года (при уровне значимости 0.1).


25. Вычислите выборочный коэффициент корреляции Пирсона между эффективностями двух рекламных кампаний, упоминаемых в задачах 23 и 24, если известно, что первые пять городов из задачи 23 совпадают (в том же порядке) с пятью городами из задачи 24. Постройте диаграмму рассеивания. Проверьте значимость полученной оценки истинного коэффициента корреляции (при уровне значимости 0.1).


26. Для исследования взаимосвязи способностей «типичного» менеджера кадрового агентства к логическому и к образному мышлению проведено тестирование в формате “multiple choice” восьми конкретных менеджеров указанной специализации по математике и по литературе. По математике тестируемые набрали следующие количества баллов: 12; 14; 15; 15; 18; 19; 20; 23. По литературе они же набрали следующие количества баллов (соответственно): 16; 19; 21; 15; 22; 17; 13; 21. Проверьте гипотезу о некоррелированности способностей «типичного» менеджера кадрового агентства к логическому и к образному мышлению (при уровне значимости 0.1).


27. При исследовании структуры семейного бюджета в некоторой стране социологическая служба обратилась к 15 конкретным семьям с вопросом о величинах их расходов на продукты питания и на товары длительного пользования. В полученных от опрошенных семей ответах была отмечена практическая невозможность количественной оценки номинальных расходов, но было дано сравнение соответствующих долей семейного бюджета: 10 семей ответили, что они тратят больше на продукты питания, чем на товары длительного пользования, а пять семей ответили, что они тратят больше на товары длительного пользования, чем на продукты питания. Проверьте, на основании полученных данных, гипотезу о том, что в структуре семейного бюджета в данной стране доли расходов на продукты питания и на товары длительного пользования одинаковы (при уровне значимости 0.1).


28. Для выяснения взаимосвязи между уровнем образования и уровнем самооценки человека были опрошены 100 респондентов: 50 с высшим образованием и 50 со средним образованием. Среди респондентов с высшим образованием 44 оказались имеюшими высокую самооценку, а шесть – низкую, среди респондентов со средним образованием восемь оказались имеющими высокую самооценку, а 42 – низкую. Постройте таблицу сопряженности признаков «уровень образования» и «уровень самооценки» и проведите ее анализ в целях исследования взаимосвязи данных признаков в генеральной совокупности.


IX. Контрольные теоретические вопросы

по учебным дисциплинам