Фельдман А. Б. Производные финансовые и товарные инструменты

Вид материала

Документы

Содержание Зависимость движения показателей от движения текущей цены базиса Зависимость движения показателей от перемен в колеблемости цен базиса Зависимость движения показателей от движения срока опциона 8.2.5.1. Бермудские опционы (Bermuda-Option) 8.2.5.2. Азиатские опционы (Average Rate) 8.2.5.3. Средний опцион для цены исполнения (Average Strike-option) Таблица 8.6 Сопоставление схем расчета цен опционов 8.2.5.4. Обратный опцион (Look Back-Option) 8.2.5.5. Замкнутый опцион (Cliquet, Ratchet-Option), опцион с условием (Delay-Option) 8.2.5.6. Барьерный (ограждающий) опцион (Barrier-Option)

Подобный материал:

• Программа дисциплины Производные финансовые инструменты для направления 080105., 107.25kb.
• Программа дисциплины Производные финансовые инструменты и реальные опционы для направления, 423.51kb.
• Лекции по курсу «Производные финансовые инструменты», 258.65kb.
• Лекции по курсу «Производные финансовые инструменты», 158.65kb.
• Лекции по курсу «Производные финансовые инструменты», 358.4kb.
• Лекции по курсу «Производные финансовые инструменты», 239.66kb.
• Производные финансовые инструменты посещаемость: сентябрь – октябрь 201 1 года, 394.53kb.
• Лекции Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты», 171.47kb.
• Лекционый курс: «Производные финансовые инструменты» Содержание: Часть I. Деривативы, 1515.17kb.
• Вопрос 6 раздел 2 Инвестирование в финансовые инструменты, 95.53kb.

Po (ρ) – показывает зависимость цены опциона от изменений безрисковой процентной ставки.

Соответственно³:

ρC =	dC	= TEr–(T+1)N(d2)<0,
	dr

ρP =	dP	= TEr–(T+1)[N(d2) – 1]<0,
	dr

Этот показатель особенно ценен для опционов с базисом в виде курса валют (учитываются две процентные ставки).

В терминах и связях, представленных в дифференциальном уравнении Black – Scholes⁴ показатели Δ, Γ и Θ могут быть соединены следующей формулой:

158

Θ + iSΔ + 1  Γσ2S2 = iC, 2

(8.23)

где i = r_f.

Если образован дельта-нейтральный портфель (Δ = 0), то

Θ + 1  Γσ2S2 = iC. 2

(8.24)

Если образован гамма-нейтральный портфель (Δ = 0, Γ = 0), то

Θ = iC.

(8.25)

В табл. 8.3–8.5 показано частное влияние на основные из представленных измерителей ведущих рыночных факторов – уровня цен и колеблемости цен базиса, а также срока до исполнения опциона. Участнику торговли целесообразно при принятии решений дополнительно к известным ему рассчитанным значениям показателей-критериев также представлять себе возможные тенденции их движения в зависимости от определяющих факторов.

Таблица 8.3

Зависимость движения показателей от движения текущей цены базиса

Ситуация и разновидность опциона		Направление изменения показателя
		Δ	Γ	V	Θ
В деньгах	Колл (Call)	По мере усиления ситуации стремится к 1	По мере усиления ситуации стремится к 0	То же, что Γ	Монотонно сохраняется на уровне ниже максимума
	Пут (Put)	По мере усиления ситуации стремится к 0			Стремится к отрицательному максимуму
При деньгах	Колл (Call)	Обычная точка на кривой Δ	Близок к максимуму	То же, что Γ	Близок к максимуму
	Пут (Put)
Без денег	Колл (Call)	По мере усиления ситуации стремится к 0	По мере усиления ситуации стремится к 0	То же, что Γ	Стремится к 0
	Пут (Put)	По мере усиления ситуации стремится к(–)1			Монотонно снижается от положительного максимума к 0

Таблица 8.4

Зависимость движения показателей от перемен в колеблемости цен базиса

Ситуация и разновидность опциона		Направление изменения показателя
		Δ	Γ	Θ	V
В деньгах	Колл (Call)	При минимальных колебаниях стремится к 1, затем снижается и сохраняется приблизительно на одном уровне	При отсутствии колебаний находится на точке 0; затем при нарастании колеблемости показатель значительно повышается, но с усилением колебаний снижается до минимальных значений, которые сохраняются и при последующем росте колеблемости	С нарастанием колебаний, как правило, линейно возрастают значения показателя, в величинах, близких для всех трех ситуаций, при этом показатели "при деньгах" находятся посередине; "в деньгах" – выше (ниже); "без денег" – ниже (выше) линии "при деньгах"	При отсутствии колебаний находится на точке 0; затем при нарастании колебаний показатель значительно повышается, и с усилением колебаний эти максимальные значения сохраняются
	Пут (Put)	При минимальных колебаниях стремится к (–)1, затем снижается и сохраняется приблизительно на одном уровне
При деньгах	Колл (Call)	Ситуация в деньгах, но значение показателя находится ниже, чем при ситуации в деньгах
	Пут (Put)
Без денег	Колл (Call)	При минимальных колебаниях стремится к 0, затем повышается и меняется параллельно значениям ситуации при деньгах, но ниже этих значений
	Пут (Put)	При минимальных колебаниях стремится к 0, затем снижется и меняется параллельно значениям ситуации при деньгах, но выше этих значений

Таблица 8.5

Зависимость движения показателей от движения срока опциона

Ситуация и разновидность опциона		Направление изменения показателя
		Δ	Γ	Θ	V
В деньгах	Колл (Call)	В начале срока стремится к 1, затем снижается и сохраняется приблизительно на одном уровне	В начале срока стремится к 0, затем поднимается до уровня при деньгах и следует ему	В начале срока несколько больше 0, затем сближается со значением при деньгах и следует ему до конца срока срока	Влияние однонаправленное и значительное, с максимальным значением в конце срока опциона
	Пут (Put)	В начале срока стремится к (–)1, затем повышается и сохраняется приблизительно на одном уровне
При деньгах	Колл (Call)	В начале срока занимает приблизительно среднее значение, затем несколько повышается и до конца срока монотонно увеличивается, немного превышая начальный уровень	Влияние минимальное	Значение показателя стремится к максимуму в начале срока, затем резко снижается и остается почти равным до окончания срока
	Пут (Put)
Без денег	Колл (Call)	В начале срока стремится к 0, затем сближается с показателем при деньгах и следует ему – параллельно до конца срока	В начале срока стремится к 0, затем поднимается до уровня при деньгах и следует ему	Почти повторяется вариант в деньгах
	Пут (Put)	В начале срока стремится к 0, затем следует вариант Call в ситуации без денег

Показатель альфа (α, альфа-опцион), измеряющий чувствительность стоимости опциона к цене исполнения¹:

αC =	dC	= –r–TN(d2),
	dE

αP =	dP	= r–T[T –N(d2)].
	dE

Для случаев, когда цена исполнения в опционе неизменна в течение всего срока, этот показатель малопригоден для выбора позиции. Для экзотических опционов использование α целесообразно.




¹ Математически это первая производная в дифференциальном исчислении между ценами опциона и основания.

¹ Вместе с тем имеет место и самостоятельное определение показателя Ω – "измеряет степень изменения коэффициента дельта-опциона относительно времени". Производные финансовые инструменты (Словарь. – M.: Инфра-М, 2001).

² Сох, John C./Rubinstein, Mark. Options Markets. – P. 224.

¹ Математически это вторая производная в дифференциальном исчислении между ценами опциона и основания.

² См.: Dubofsky, David A. Options and Financial Futures. Valuation and Uses. – N. Y.et al. –P.221.

³ См.: Cox, John C. /Rubinstein, Mark. Options Markets. – P. 221.

¹ Такова сложившаяся традиция: этот показатель числится среди показателей, обозначенных буквами греческого алфавита, хотя V в нем нет. Основывается традиция на совпадении заглавных согласных в словах Volatilität и Vega. Подчас встречаются обозначения этого показателя как Ε (эпсилон), Σ (сигма), Η (эта), Λ (ламбда), Κ (каппа) без изменения его содержания.

² См.: Сох, John C. /Rubinstein, Mark. Options Markets. – P. 221.

³ См.: Hull, John. Options, Futures and other Derivative Securities. Ehglewood Cliffs. –New Jersey, 1993. – P. 317.

⁴ Опубликовано вместе с моделью: Black, Fischer I Scholes, Myron. The Pricing of Options and Corporate Liabilities. – P. 644.

¹ См.: Dr. Schdfer Klaus. Finanztermingeschufte und Optionspreisrcorie. – S. 198.


8.2.5. Стоимости и цены экзотических опционов


Для работы на рынке с экзотическими опционами используются предложенные в п. 8.2.3–8.2.4 модели, формулы, показатели. Вместе с тем эти подходы нуждаются для экзотических опционов в изменениях применительно к переменам в их содержании, механизмах осуществления.

Необходимые классификации для экзотических опционов даны в главе 6. Сообразно с ними покажем трансформации в определении их стоимости.

Начнем с того (см. приложение 2), что значительная часть экзотических опционов относится к опционам, зависимым от дороги (пути), где цены, участвующие в определении опционной стоимости, детерминируются избранным способом их определения во времени. Это видно на различиях в схемах биномиальной модели для стандартных и экзотических опционов (см. главу 5), на которых приведены пути выхода на конечную (учитываемую в расчетах) цену. Конечная стоимость на этом пути выявляется по-разному (разными способами). В зависимости от пути и способов группируются экзотические опционы, в том числе для задач ценообразования.

Учтем также синтетический характер базиса экзотических опционов.

Напомним, что для этих инструментов во многих случаях цены базиса (текущая и исполнения) определяются нестандартно, по особому алгоритму, связанному с усреднением текущих цен и цен исполнения основания.


8.2.5.1. Бермудские опционы (Bermuda-Option)


Эти опционы отличаются тем, что меняют правила европейского и американского опционов, разрешая покупателю выполнить опцион в большее число твердых дат на протяжении срока существования данного опциона. Соответственно расчеты стоимости представляют собой последовательные итерации для последовательных твердых сроков исполнения по стандартным формулам (см. главу 8 п. 8.2.2 и 8.2.3).


8.2.5.2. Азиатские опционы (Average Rate)


В этих опционах внутренняя стоимость определяется по среднему курсу базиса, а не по дискретному значению цены в установленный срок исполнения (европейский опцион) или в любой момент до исполнения (американский опцион). Средний курс (цена) определяется по-разному для различных вариантов азиатских опционов:

к расчету принимаются значения текущих цен базиса за неделю, к определенным датам месяца, за квартал; эти цены фиксируются и по ним рассчитывается средний курс;

средняя цена рассчитывается для всего срока данного опциона или какой-то части этого срока по последовательно зафиксированным текущим кассовым ценам базиса;

для расчета используются формулы арифметической средней или геометрической средней (напомним, что когда все взятые в расчет числа равны, то среднее арифметическое и среднее геометрическое равны между собой).

Азиатский опцион обеспечивает сохранение внутренней стоимости, имевшей место в течение времени до исполнения опциона, в случаях, если к моменту исполнения опцион попадает в ситуацию без денег или при деньгах. Азиатский опцион приводит и к сглаживанию (элиминированию) колебаний цен во время опционного периода. Средняя цена в нем линейно меняется с изменяющимися колебаниями цен. В то же время азиатский опцион проигрывает европейскому при устойчивом тренде опциона от ситуации без денег к ситуации в деньгах.

Перемена цены базиса ведет к переменам в расчете стоимости опциона и его показателей, что определяет и решение участника.

8.2.5.3. Средний опцион для цены исполнения (Average Strike-option)


Подход к ценообразованию этого опциона похож на подход к ценообразованию азиатского опциона, но с существенными изменениями. В этом опционе средний курс текущих цен базиса становится ценой исполнения в опционе. Соответственно внутренняя стоимость в момент исполнения появляется как разница между дискретной текущей ценой базиса и его средней (расчетной) ценой (за принятый промежуток времени).

Схемы выявления цен опционов (Average Rate и Average Strike), по сравнению со схемами выявления цен стандартных опционов, даны в табл. 8.6.


Таблица 8.6

Сопоставление схем расчета цен опционов

Разновидность опциона	Схема расчета цен
Стандартный европейский	max (0,S – E)
Азиатский опцион (Average Rate)	max (0,SA – E)
Средний опцион (Average Strike)	max (0,S – SA)
Примечание. SA – средняя цена базиса за принятый период времени. Временная стоимость исчезает к моменту исполнения опциона.

8.2.5.4. Обратный опцион (Look Back-Option)


В этом опционе перемена связана так же, как в среднем опционе (Average Strike), с ценой исполнения. Расчет же изменен. Цена исполнения определяется для опциона колл (Call) как низшее значение цены базиса за время до исполнения опциона и для опциона пут (Put) как высшее значение цены базиса за время до исполнения опциона.

Вариантом расчета этого опциона является расчет обратного по текущей цене опциона (Price Look Back), в котором используется твердая цена исполнения, но внутренняя стоимость зависит не от текущего курса момента исполнения, а вычисляется в зависимости от низшего (для Call) и высшего (для Put) значений цены базиса за время до исполнения. Другим вариантом выступает расчет обратного по цене исполнения опциона (Strike Look Back), в котором цена исполнения определяется в виде средней и сопоставляется с низшим и высшим значениями цены базиса.

Временная стоимость исчезает к моменту исполнения опциона. Особенностью ценообразования обратного опциона является его повышенная стоимость. Повышение цены, по сравнению с ценой стандартного опциона, появляется (в результате соглашения участников), поскольку усиливается защита сделок при применении состоявшихся низшего и высшего курсов базиса. При одинаковых прочих условиях этот опцион может быть почти в 2 раза дороже стандартного опциона.

Цена Look Back-Option возрастает при усилении колебаний цен базиса.

Характерно также, что во многих случаях опцион исполняется раньше установленного срока.


8.2.5.5. Замкнутый опцион (Cliquet, Ratchet-Option), опцион с условием (Delay-Option)


Особенности этих экзотических опционов (так же, как и в предыдущих вариантах) – в переменах в цене исполнения. Однако это не средняя цена, а текущая цена базиса, выявленная при последней проверке (замере). В замкнутом опционе (Cliquet-Option или Ratchet-Option)– это цена твердо определенного момента времени, обычно выступающего в виде ряда последовательных временных интервалов. Опцион предполагает последовательное установление (расчетной) внутренней стоимости для защиты стоимости опциона от внезапных перемен на рынках. Опцион с условием (Delay-Option) – это опцион, при котором цена исполнения в начале срока фиксируется, подлежит пересмотру в определенные периоды и для каждого из этих периодов фиксируется. Тем не менее с самого начала определяются показатели (параметры) колебаний цен и рыночного процента, соответственно цена исполнения не меняется при сохранении колеблемости цен базиса и рыночного процента на уровне, принятом в начале срока опциона.

Перечисленные в этом разделе опционы в силу предоставляемых ими преимуществ для покупателя дороже стандартных опционов.


8.2.5.6. Барьерный (ограждающий) опцион (Barrier-Option)


Существенная характеристика этого варианта опционов сводится к тому, что сам по себе такой опцион начинает "жизнь" только при достижении определенного уровня (барьера) стоимости базиса (Knock- In), или его "жизнь" прекращается с появлением такого барьера (Knock-Out). Различаются между собой они также в зависимости от того, находится ли данный барьер выше (обозначение Up) или ниже (обозначение Down) текущей цены базиса. Отдельно существуют барьерные опционы (Barrier-Option) для разновидностей колла (Call) и пута (Put). Классификация их приведена в табл. 8.7.


Таблица 8.7