Исследование методов и методик развития математических способностей младших школьников

Вид материала

Исследование

Содержание Целью бакалаврской работы Предметом исследования Методологическую основу исследования Методы исследования Практическое значение Фрагмент урока. Приложение № 1. Серия II. Серия III. Инструкционные карточки по решению задач Фрагмент урока № 1. Фрагмент урока № 2.

Подобный материал:

• Анализ методик использования моделирования в процессе обучения дошкольников математике, 472.24kb.
• Программа «Развитие математических способностей у детей дошкольного возраста», 340.88kb.
• Творческий отчет по теме самообразования, 258.96kb.
• Задачи: провести диагностическое исследование уровня развития творческого мышления, 149.7kb.
• Опыта: «Развитие познавательной способностей младших школьников при обучении математике, 435.59kb.
• Крутецкий В. А. Психология математических способностей школьников, 484.82kb.
• Проблема развития творческих способностей в начальной школе стоит чрезвычайно остро, 117.54kb.
• Пучко Марины Николаевны Стаж работы : 25 года Тема: Развитие творческих способностей, 217.94kb.
• Дидактические условия развития воображения и художественно-творческих способностей, 94.26kb.
• Исследование ученых показывают, что занятие рисованием в детстве положительно влияет, 691.28kb.

Формирование математических способностей у младших школьников в процессе решения математических задач.

Содержание:

Словарь основных педагогических понятий…………………………………..

Введение………………………………………………………………………..

Раздел 1. Психолого-педагогические основы формирования математических способностей у младших школьников………………………………………

1. Особенности развития математических способностей младших школьников……………………………………………………………
   
   1. Определение понятия «Математические способности»…………..
      
   2. Развитие младших школьников в процессе обучения математике..
      

1.2.Исследование методов и методик развития математических способностей младших школьников……………………………………………………….

1.2.1.Состояние проблемы в теории и практике………………………….

1.2.2.Обучение математике - основной способ развития математических способностей младших школьников……………………………………….

Выводы по разделу 1………………………………………………………...

Раздел 2.Методика выявления особенностей формирования математических способностей в процессе решения математических задач………………..

2.1.Этапы выявления особенностей формирования математических способностей в процессе решения математических задач……………….

2.2.Экспериментально – исследовательская работа по формированию математических способностей у младшего школьника в процессе решения математических задач…………………………………………………………..

2.3.Эффективность разработанного метода и рекомендации по его использованию для развития математических способностей младших школьников…………………………………………………………………….

Заключение…………………………………………………………………….

Список использованной литературы…………………………………………

Приложение…………………………………………………………………

Введение


Проблема математических способностей в психологии представляет обширное поле действия для исследователя. В силу противоречий между различными течениями в психологии, а также внутри самих течений, пока не ведется речь о точном и строгом понимании содержания этого понятия. Вместе с тем следует отметить неугасающий интерес к этой проблеме во всех течениях психологии, что делает проблему формирования математических способностей актуальной.

Практическая ценность исследований по этой теме очевидна: математическое образование играет ведущую роль в большинстве образовательных систем, а оно, в свою очередь, станет более эффективным после научного обоснования его основы – теории математических способностей. Как утверждал В. А. Крутецкий: «Задача всестороннего и гармонического развития личности человека делает совершенно необходимой глубокую научную разработку проблемы способности людей к тем или иным видам деятельности. Разработка этой проблемы представляет как теоретический, так и практический интерес» [14, с. 3].

Разработка действенных средств развития математических способностей важна для всех звеньев школы, но особенно актуальна она для системы начального обучения, где закладывается фундамент школьной успеваемости, формируются основные стереотипы учебной деятельности, воспитывается отношение к учебному труду.

В исследование математических способностей внесли свой вклад такие яркие представители определенных направлений в зарубежной психологии, как А. Бинэ, Э. Трондайк и Г. Ревеш. Изучением влияния социальных факторов на способности ребенка занимались С. Л. Рубинштейн, А.Н.Леонтьев, А. Р. Лурия. Проводили исследования задатков, лежащих в основе способностей А.Г. Ковалева, Мясищева. Общую схему структуры математических способностей в школьном возрасте предложил В. А. Крутецкий.

Целью бакалаврской работы является формирование математических способностей младших школьников в процессе решения математических задач.

Объект исследования: учебно-воспитательный процесс в начальных классах, направленный на развитие математических способностей учащихся.

Предметом исследования являются особенности формирования математических способностей у младших школьников.

Рабочей гипотезой нашего исследования является следующее предположение: в процессе решения математических задач происходит формирование математических способностей у младших школьников если:

• выявить содержание понятия математических способностей;
  
• учитывать опыт эффективной психологической деятельности по формированию математических способностей у младших школьников;
  
• предлагать младшим школьникам для решения эвристические задачи; задачи на изучение символов математики и геометрических образов чисел.
  

Задачи исследования:

1. Выявить содержание понятия математических способностей.
   
2. Изучить опыт эффективной психологической деятельности по формированию математических способностей у младших школьников;
   
3. Провести эксперимент по формированию математических способностей младших школьников.
   

Методологическую основу исследования составили современные идеи, концепции и подходы к определению сущности психологических явлений и процессов развития личности: личностно-деятельностный подход (СЛ.Рубинштейн, Л.С.Выготский, А.Н.Леонтьев, Д.Б.Эльконин и др.); теория развивающего обучения (В.В.Давыдов); концепция проблемного обучения (М.Н.Скаткин И.Я.Лернер А.М.Матюшкин и др.); теория поэтапного формирования умственных действий и типов учения (П.Я.Гальперин, Н.Ф.Талызина и др.).

Методы исследования:

1. Теория исследования - изучение и анализ литературы по проблеме выявления психологических особенностей формирования математических способностей.
   
2. Анализ практики работы психолога по формированию математических способностей у младших школьников.
   
3. Изучение опыта эффективной деятельности психологических служб по формированию математических способностей у младших школьников в процессе решения математических задач.
   
4. Наблюдение за учебной деятельностью младших школьников и процессом решения математических задач.
   
5. Педагогический эксперимент.
   
6. Протоколирование действий по формированию математических способностей у младших школьников в процессе решения математических задач.
   

В процессе исследования при выполнении бакалаврской работы нами выявлено основное противоречие: не все математические задачи позволяют формировать математические способности.

Из данного противоречия выявлена проблема исследования: как происходит формирование математических способностей у младших школьников.

С помощью данной проблемы формулируем тему нашей работы: «Формирование математических способностей у младших школьников в процессе решения математических задач».

Научная новизна заключается в том, что:

• изучены специфические условия деятельности, способствующие интенсивному развитию математических способностей учащихся, найдены резервы повышения уровня математических способностей для каждого ученика;
  
• учитываются индивидуальные способности каждого ребёнка в процессе обучения;
  
• выявлены и описаны в полном объёме наиболее эффективные формы, методы и приёмы, направленные на развитие математических способностей учащихся в процессе решения текстовых задач;
  
• предложен комплекс упражнений для развития компонентов математических способностей учащихся начальных классов;
  
• разработаны требования к упражнениям, которые своим содержанием и формой стимулировали бы развитие математических способностей.
  

Это даёт возможность сделать доступным для учащихся усвоение новых видов задач при меньшей затрате времени и большей эффективностью. Часть задач, упражнений, некоторые проверочные работы для определения продвижения детей в развитии математических способностей разрабатывались по ходу работы с учётом индивидуальных особенностей учащихся.

Практическое значение исследования заключается в том, что выявленная система занятий с детьми по формированию математических способностей, которая включает в себя различные типы математических задач, может быть использована психологами, педагогами и родителями в работе с детьми младшего школьного возраста. Предложенные в курсовой работе методики формирования математических способностей у детей младшего школьного возраста через решение эвристических задач, с использованием приемов конкретизации, абстрагирования, варьирования, аналогии, постановки аналитических вопросов, могут использоваться в работе школьного психолога.


Раздел 1. Психолого-педагогические основы формирования математических способностей у младших школьников.

1. Особенности развития математических способностей младших школьников.
   

1.1.1.Определение понятия «Математические способности».

Изучение познавательных особенностей, лежащих в основе овладения знаниями, - одно из главных направлений в поисках резервов повышения эффективности школьного обучения.

Перед современной школой стоят задачи   дать общее образование, обеспечитъ развитие общих способностей и всемерно поддерживать ростки    специальных дарований. При этом необходимо учитывать, что обучение и воспитание «оказывают формирующее влияние на умственные возможности подростков не непосредственно, а через внутренние условия - возрастные и индивидуальные.»

         Под способностями, по Теплову, понимаются индивидуально-психологические особенности, обуславливающие лёгкость и быстроту приобретения знаний, навыков, которые, однако, и не сводятся к этим особенностям. В качестве природных предпосылок развития способностей рассматриваются анатомо-физиологические особенности мозга и нервной системы   типологические свойства нервной системы, соотношение 1 и 2 сигнальных систем, индивидуальные особенности строения анализаторов и специфика межполушарного взаимодействия.

Один из самых сложных вопросов психологии способностей – вопрос о соотношении врождённого (природного) и приобретённого в способностях. Основным положением в отечественной психологии в этом вопросе является положение о решающем значении социальных факторов в развитии способностей, ведущей роли социального опыта человека, условий его жизни и деятельности. Психологические особенности не могут быть врождёнными. Это целиком и к способностям. Они формируются и развиваются в жизни, в процессе деятельности, в процессе обучения и воспитания.

       А.Н.Леонтьев говорил о необходимости различать у человека два рода способностей   природные или естественные (в своей основе биологические, например способность быстрого образования условных связей )и способности специфически человеческие (общественно-исторического происхождения ).  «Человек наделён от рождения только одной способностью – способностью к формированию специфических человеческих способностей.» В дальнейшем речь будет идти только о специфически человеческих способностях.

Решающую и определяющую роль играют общественный опыт, социальное воздействие, воспитание. Ну, а какова же роль прирождённых особенностей?  

      Принципиальное решение этого вопроса в отечественной психологии таково: врождёнными способности быть не могут, врождёнными могут быть только задатки способностей - некоторые анатомо-физиологические особенности мозга и нервной системы, с которыми человек появляется на свет.

        Природные данные являются одним из важнейших условий сложного процесса формирования и развития способностей. Как отмечал С.Л.Рубинштейн, способности не предопределены, но не могут быть  просто насажаны извне. В индивидах должны существовать предпосылки, внутренние условия для развития способностей.

       Но признание реального значения врождённых задатков ни в коем случаи не обозначает признание фатальной обусловленности  развитие способностей врождёнными особенностями. Способности не заключены в задатках. В онтогенезе они не проявляются, а формируются.

       Несколько иное понимание задатков даётся в работах А.Г.Ковалёва и В.Н.Мясищева. Под задатками они понимают психофизиологические свойства, в первую очередь те, которые обнаруживаются в самой ранней фазе овладения той или иной деятельностью (например, хорошее цветоразличение, зрительная память). Другими словами, задатки – это первичная природная способность, ещё не развитая, но дающая о себе знать при первых пробах деятельности. Однако, сохраняется основное положение   способности в собственном  смысле слова формируются, в деятельности, являются прижизненным образованием.

       Когда говорят о задатках способностей, обычно в первую очередь имеют в виду типологические свойства нервной системы. Как известно, типологические свойства – природная основа индивидуальных различий между людьми. На этой основе возникают сложнейшие системы разнообразных временных связей – скорость их образования, их прочность, лёгкость дифференцировок. Они определяют силу сосредоточенного внимания, умственную работоспособность.

       Ряд исследований показал, что наряду с общими типологическими свойствами, характеризующими нервную систему в целом, существуют частные типологические свойства, характеризующие работу отдельных областей коры, выявляемые по отношению к разным анализаторам и разным системам мозга. В отличие от общих типологических свойств, которые определяют темперамент, частные типологические свойства имеют наибольшее значение при изучение специальных способностей.

       А.Г. Ковалёв и В.Н.Мясищев склонны придавать несколько большее значение, чем другие психологи, природной стороне, естественным предпосылкам развития. По- видимому, к этой же категории можно отнести взгляды Б.М.Теплова и С.Л.Рубинштейна.

А.Н.Леонтьев и его последователи склонны в большей степени подчёркивать, роль воспитания в формировании способностей.

       В исследование математических способностей внесли свой вклад и такие яркие представители определённых направлений в психологии, как А.Бинэ, Э.Торндайк и Г.Ревеш, и такие выдающиеся математики, как А.Пуанкаре и Ж.Адамар. Большое разнообразие направлений определяет и большое разнообразие в подходах к исследованию математических способностей. Разумеется, исследование математических способностей следует начинать с определения. Попытки такого рода делались неоднократно, но установившегося, удовлетворяющего всех определения математических способностей не имеется до сих пор. Единственное, в чём сходятся все исследователи, это, пожалуй, мнение о том, что следует различать обычные, «школьные» способности к усвоению математических знаний, к их репродуцированию и самостоятельному применению и творческие математические способности, связанные с самостоятельным созданием оригинального и имеющего общественную ценность продукта.

       Ещё в 1918 году в работе А.Роджерс отмечались две стороны математических способностей, репродуктивная (связанная с функцией памяти) и продуктивная (связанная с функцией мышления ). В. Бетц определяет мат. способности как способности

ясного осознания внутренней связи математических отношений и способность точно мыслить математическими понятиями.

       Из работ отечественных авторов необходимо упомянуть оригинальную статью Д.Мордухай-Болтовского «Психология математического мышления», опубликованную в 1918 году. Автор, специалист математик, писал с идеалистической позиции, придавая, например, особо  значение «бессознательному мыслительному процессу», утверждая, что «мышление математика  глубоко внедряется в бессознательную сферу, то, всплывая на её поверхность, то погружаясь в глубину. Математик не осознает каждого шага своей мысли, как виртуоз движения смычка». Внезапное появление в сознание готового решения какой-либо задачи, которую мы не можем долго решить, -пишет автор, - мы объясняем бессознательным мышлением, которое продолжало заниматься задачей, а результат всплывает за порог сознания.По мнению Мордухай-Болтовского наш ум способен производить кропотливую и сложную работу в подсознании, где и совершается вся «черновая» работа, причём бессознательная работа мысли даже отличается меньшей погрешностью, чем сознательная.

       Автор отмечает совершенно специфический характер математического таланта и математического мышления. Он утверждает, что способность к математике не всегда присуще даже гениальным людям, что между математическим и нематематическим умом есть существенная разница.  Большой интерес представляет попытка Мордухай-Болтовского выделить компоненты математических способностей. К таким компонентам он относит в частности:

*сильную память», память на «предметы того типа, с которыми имеет дело математика», память скорее не на факты, а на идеи и мысли.

*»остроумие», под которым понимается способность «обнимать в одном суждении» понятия из двух малосвязанных областей мысли, находить в уже известном сходное с данным, отыскивать сходное в самых отделённых казалось бы, совершенно разнородных предметах.

*быстроту мысли (быстрота  мысли объясняется той работой, которую совершает бессознательное мышление в помощь сознательному). Бессознательное мышление, по мнению автора, протекает гораздо быстрее, чем сознательное.

Д.Мордухай-Болтовский высказывает так же свои соображения по поводу типов математического воображения, которые лежат в основе разных типов математиков – «геометров» и «алгебраистов». Арифметики, алгебраисты и вообще аналитики, у которых открытие производится в самой абстрактной форме прорывных количественных символов и их взаимоотношений, не могут воображать так, как «геометр».

       Советская теория способностей создавалась совместным трудом виднейших отечественных психологов, из которых в первую очередь надо назвать Б.М.Теплова, а так же Л.С.Выготского, А.Н.Леонтьева, С.Л.Рубинштейна и Б.Г.Ананьева.

       Помимо общетеоретических исследований проблемы математических способностей, В.А.Крутецкий своей монографией «Психология математических способностей школьников» положил  начало экспериментальному анализу структуры математических способностей.

Под способностями к изучению математики он понимает индивидуально-психологические особенности (прежде всего особенности умственной деятельности), отвечающие требованиям учебной математической деятельности и обуславливающие при прочих равных условиях успешность творческого овладения математикой как учебным предметом, в частности относительно быстрое, лёгкое и глубокое овладения знаниями, умениями, навыками в области математики.      Д.Н.Богоявленский и Н.А.Менчинская, говоря об индивидуальных различиях в обучаемости детей, вводит понятие психологических свойств, определяющих при прочих равных условиях успех в учении.  Они не употребляют термина «способности», но по существу соответствующее понятие близко к тому определению, которое дано выше.

       Математические способности - сложное структурное психическое образование, своеобразный синтез свойств, интегральное качество ума, охватывающее разнообразные его стороны и развивающееся в процессе математической деятельности. Указанная совокупность представляет собой единое качественно-своеобразное целое, - только в целях анализа мы выделяем отдельные компоненты, отнюдь не рассматривая их как изолированные свойства. Эти компоненты тесно связаны, влияют друг на друга и образуют в своей совокупности единую систему, проявления которой мы условно называем «синдром математической одаренности».


1.1.2. Условия формирования математических способностей младших школьников в процессе обучения математике.

Так как целью нашей работы является не просто список рекомендаций, необходимых для успешного овладения детьми математическими знаниями, а разработка рекомендаций к занятиям, целью которых является развитие математических способностей, то остановимся подробней на условиях формирования собственно математических способностей. Как уже отмечалось, способности формируются и развиваются только в деятельности. Однако, для того, чтобы деятельность положительно влияла на способности, она должна удовлетворять некоторым условиям.

Во-первых, деятельность должна вызывать у ребенка сильные и устойчивые положительные эмоции, удовольствие. Ребенок должен испытывать чувство радостного удовлетворения от деятельности, тогда у него возникает стремление по собственной инициативе, без принуждений заниматься ею. Живая заинтересованность, желание выполнить работу возможно лучше, а не формальное, равнодушное, безразличное отношение к ней  необходимые условия того, чтобы деятельность положительно влияла на развитие способностей.

Если ребенок предполагает, что ему не справиться с задачей, он стремится ее обойти, формируется негативное отношение к заданию и к предмету вообще. Чтобы этого избежать, учитель должен создавать для ребенка “ситуацию успеха”, должен замечать и одобрять любые достижения ученика, повышать его самооценку. Это особенно касается математики, так как этот предмет большинству детей дается нелегко.

Поскольку способности могут принести плоды лишь в том случае, когда они сочетаются с глубоким интересом и устойчивой склонностью к соответствующей деятельности, учителю надо активно развивать интересы детей, стремясь к тому, чтобы эти интересы не носили поверхностного характера, а были серьезными, глубокими, устойчивыми и действенными.

Во-вторых, деятельность ребенка должна быть по возможности творческой. Творчество детей при занятиях математикой может проявляться в необычном, нестандартном решении задачи, в раскрытии детьми способов и приемов вычислений. Для этого учитель должен ставить перед детьми посильные проблемы и добиваться того, чтобы дети с помощью наводящих вопросов самостоятельно решали их.

В-третьих, важно организовать деятельность ребенка так, чтобы он преследовал цели, всегда немного превосходящие его наличные возможности, уже достигнутый им уровень выполнения деятельности. Здесь мы можем говорить об ориентировании на “зону ближайшего развития” учащегося. Но чтобы соблюсти это условие, необходим индивидуальный подход к каждому ученику.

Таким образом, исследуя структуру способностей вообще и математических способностей в частности, а также возрастные и индивидуально характерологические особенности детей младшего школьного возраста, можем сделать следующие выводы:

В психологической науке еще не выработано единого взгляда на проблему способностей, их структуры, происхождения и развития.

Если под математическими способностями подразумевать все индивидуально-психологические особенности человека, способствующие успешному овладению математической деятельностью, то нужно вычленить такие группы способностей:

самые общие способности (условия), необходимые для успешного осуществления любой деятельности:

 трудолюбие;

 настойчивость;

 работоспособность;

кроме того, хорошо развитые произвольная память и произвольное внимание, интерес и склонность заниматься данной деятельностью;

общие элементы математических способностей  те общие

особенности мыслительной деятельности, которые необходимы для очень широкого круга деятельности;

специфические элементы математических способностей  особенности умственной деятельности, которые свойственны только математику, специфичные именно для математической деятельности в отличие от всех других.

Последние и есть собственно математические способности.

Математические способности  это сложное, интегрированное образование, основными компонентами которого являются:

 способность к формализации математического материала;

 способность к обобщению математического материала;

 способность к логическому рассуждению;

 способность к обратимости мыслительного процесса;

 гибкость мышления;

 математическая память;

 стремление к экономии умственных сил.

Компоненты математических способностей в младшем школьном возрасте представлены лишь в своем “зародышевом” состоянии. Однако в процессе школьного обучения происходит заметное их развитие, младший же школьный возраст является наиболее плодотворным для этого развития.

Существуют так же и природные предпосылки развития математических способностей, к коим надо отнести

 высокий уровень общего интеллекта;

преобладание вербального интеллекта над невербальным;

высокая степень развития словесно-логических функций;

сильный тип нервной системы;

некоторые личностные особенности, такие как разумность, рассудительность, упорство, независимость, самостоятельность.

При разработке занятий по развитию математических способностей следует учитывать не только возрастные и индивидуально типологические особенности детей, но и соблюдать определенные условия, чтобы это развитие было максимально возможным:

 деятельность должна вызывать у ребенка сильные и устойчивые положительные эмоции;

 деятельность должна быть по возможности творческой;

 деятельность должна быть ориентирована на “зону ближайшего развития” ученика.

2. Исследование методов и методик развития математических способностей младших школьников.
   

.

1.2.1.Состояние проблемы в теории и практике.

Одной из важнейших теоретических и практических проблем современной педагогики является совершенствование процесса обучения младших школьников. История развития зарубежной и российской педагогики и психологии неразрывно связана с изучением различных аспектов затруднений в обучении. По данным многих авторов (Н. П. Вайзман, Г. Ф. Кумарина, С. Г. Шевченко и др.), число детей, которые уже в начальных классах оказываются не в состоянии за отведенное время и в необходимом объеме усвоить программу, колеблется от 20% до 30% от общего числа учащихся. Являясь умственно сохранными, не имея классических форм аномалий развития, такие дети испытывают трудности в социальной и школьной адаптации, проявляя неуспешность в обучении [3, 7,11].

Затруднения, возникающие у младших школьников в процессе обучения, можно объединить в три группы: биогенные, социогенные и психогенные, что обусловливает ослабление познавательных способностей (внимания, восприятия, памяти, мышления, воображения, речи) ребенка и значительно снижает эффективность обучения [3, 7, 9]. Помимо общих предпосылок трудностей в учении существуют специфические – трудности усвоения математического материала [2].

Проблеме обучения элементарному курсу математики посвящен ряд исследований современных авторов (Н. Б. Истомина, Н. П. Локалова, А. Р. Лурия, Г. Ф. Кумарина, Н. А. Менчинская, Л. С. Цветкова и др.). В результате анализа названных литературных источников и в ходе собственных исследований были выявлены следующие основные затруднения младших школьников при обучении математике:

1. Отсутствие устойчивых навыков счета [4].
   
2. Незнание отношений между смежными числами [4].
   
3. Неспособность перехода из конкретного плана в абстрактный [4, 3].
   
4. Нестабильность графических форм, т.е. несформированность понятия "рабочая строка", зеркальное написание цифр.
   
5. Неумение решать арифметические задачи [2, 5,6].
   
6. “Интеллектуальная пассивность” [10].
   

На основании анализа психологических и психофизических причин, лежащих в основе этих трудностей, можно выделить следующие группы:

• 1 группа – трудности, связанные с недостаточностью операций абстрагирования, что проявляется при переходе из конкретного в абстрактный план действий. В связи с этим возникают трудности при усвоении числового ряда и его свойств, смысла счетного действия.
  
• 2 группа – трудности, связанные с недостаточным развитием мелкой моторики, несформированностью зрительно-моторных координаций. Эти причины лежат в основе таких затруднений учащихся, как овладение написанием цифр, зеркальное их изображение.
  
• 3 группа – трудности, связанные с недостаточным развитием ассоциативных связей и пространственной ориентацией. Эти причины лежат в основе таких затруднений учащихся, как трудности при переводе из одной формы (словесной) в другую (цифровую), при определении геометрических линий и фигур, затруднений в счете, при выполнении счетных операций с переходом через десяток.
  
• 4 группа – трудности, связанные с недостаточным развитием мыслительной деятельности и индивидуально-психологическими особенностями личности учащихся. В связи с этим младшие школьники испытывают трудности в формировании правил на основе анализа нескольких примеров, трудности в процессе формирования умения рассуждать при решении задач. В основе этих затруднений лежит недостаточность такой мыслительной операции, как обобщение.
  
• 5 группа – трудности, связанные с несформированностью познавательного отношения к действительности, что характеризуется “интеллектуальной пассивностью”. Учебную задачу дети воспринимают лишь тогда, когда она переведена в практический план. При необходимости решать интеллектуальные задачи у них появляется стремление использовать различные обходные пути (заучивание без запоминания, угадывание, стремление действовать по образцу, использовать подсказки).
  

Немаловажное значение при обучении учащихся имеет мотивация предстоящей деятельности. Для младшего школьника первостепенной задачей при организации мотивации является преодоление страха перед трудной, абстрактной, непонятной математической информацией, пробуждение уверенности в возможности ее усвоения и интереса к обучению.

Учителю необходимо в каждом конкретном случае профессионально подходить к построению и реализации учебного процесса, ориентируясь на личностный рост ребенка, учитывая индивидуальные особенности его психической деятельности, создавая позитивные перспективы развития личности ученика, организовывая личностно-ориентированную образовательную среду, позволяющую на практике выявлять и реализовывать творческий потенциал ребенка. Опираясь на теоретические знания, учитель должен уметь предвидеть затруднения ребенка в обучении и устранять их; планировать коррекционно-развивающую работу, создавать проблемные ситуации для активизации динамики развития познавательных процессов; организовывать продуктивную самостоятельную работу, создавать благоприятный эмоционально-психологический фон процесса обучения. Особенность методических знаний и умений заключается в том, что они тесно связаны с психологическими, педагогическими и математическими знаниями [1].

Зависимость одних математических знаний и умений от других, их последовательность и логичность показывают, что пробелы на той или иной ступени задерживают дальнейшее изучение математики и являются причиной школьных трудностей. Решающую роль в предупреждении школьных трудностей играет диагностика математических знаний и умений учащихся. При организации, и проведении которой необходимо соблюдать определенные условия: формулировать вопросы четко и конкретно; предоставлять время для обдумывания ответа; относиться к ответам ученика позитивно.

Рассмотрим типичную ситуацию, которая часто имеет место на практике. Ученику предложено задание: “Вставь пропущенное число так, чтобы неравенство было верным 5> ? ”. Задание школьник выполнил неверно: 5 > 9. Как поступить учителю? Обратиться к другому ученику или попытаться разобраться в причинах допущенной ошибки?

Выбор действий учителя в этом случае может быть обусловлен рядом психолого-педагогических причин: индивидуальными особенностями ученика, уровнем его математической подготовки, целью с которой предлагалось задание, и др. Предположим, был выбран второй путь, т.е. решили выявить причины ошибки.

Прежде всего, необходимо предложить ученику прочитать выполненную запись.

1. Если школьник читает ее, как “пять меньше девяти”, значит ошибка в том, что не усвоен математический символ. Для устранения ошибки необходимо учитывать особенности восприятия младшего школьника. Так как оно имеет наглядно-образный характер, то необходимо использовать прием сравнения знака с конкретным образом, например, с клювиком, который раскрыт к большему числу и закрыт к меньшему.
   
2. Если ученик читает запись, как “пять больше девяти”, значит ошибка в том, что не усвоено какое-то из математических понятий: отношение “больше”, “меньше”; установление взаимно-однозначного соответствия; количественное число; натуральный ряд чисел; счет. Учитывая наглядно-образный характер мышления ребенка, необходимо организовать работу над данными понятиями с применением практических заданий.
   

Учитель предлагает одному ученику выложить на парте 5 треугольников, а другому – 9 и подумать, как можно расположить их, чтобы выяснить, у кого больше или меньше треугольников.

Опираясь на свой жизненный опыт, ребенок может самостоятельно предложить способ действий или найти его с помощью учителя, т.е. установить взаимно-однозначное соответствие между элементами данных предметных множеств (треугольников):



Если ученик успешно справился с выполнением заданий на сравнение чисел, то необходимо установить, насколько осознаны его действия. Здесь учителю понадобится знание таких математических понятий, как “счет” и “натуральный ряд чисел”, так как именно они лежат в основе обоснования: “Число, которое называют при счете раньше, всегда меньше любого числа, следующего за ним”.

Практическая деятельность педагога требует целого комплекса знаний по психологии, педагогике и математике. С одной стороны, знания должны быть синтезированы и объединены вокруг определенной практической проблемы, имеющей многосторонний целостный характер. С другой стороны, они должны быть переведены на язык практических действий, практических ситуаций, то есть должны стать средством решения реальных практических задач.

При обучении математике младших школьников педагог должен уметь создавать проблемные ситуации для развития познавательных процессов; организовывать продуктивную самостоятельную работу, создавать благоприятный эмоционально-психологический фон процесса обучения.

В психолого-педагогических исследованиях, посвященных проблемам обучения математике, отмечаются трудности, которые испытывают учащиеся младших классов общеобразовательной школы в овладении умением решать арифметические задачи. Вместе с тем решение арифметических задач имеет большое значение для развития познавательной деятельности учащихся, т.к. способствует развитию логического мышления.

Г.М. Капустина отмечает, что дети с трудностями в обучении на разных этапах работы над задачей испытывают затруднения: при чтении условия, в анализе предметно-действенной ситуации, в установлении связей между величинами, в формулировке ответа. Они часто действуют импульсивно, необдуманно, не могут охватить многообразия зависимостей, составляющих математическое содержание задачи. Вместе с тем решение арифметических задач имеет большое значение для развития познавательной деятельности учащихся, т.к. способствует развитию их словесно-логического мышления и произвольности деятельности [2]. В процессе решения арифметических задач дети учатся планировать и контролировать свою деятельность, овладевают приемами самоконтроля, у них воспитывается настойчивость, воля, развивается интерес к математике.

В своих исследованиях М. Н. Перова предложила следующую классификацию ошибок, которые учащиеся допускают при решении задач [8]:

1. Привнесение лишнего вопроса и действия.

2. Исключение нужного вопроса и действия.

3. Несоответствие вопросов действиям: правильно поставленные вопросы и неправильный выбор действий или, наоборот, правильный выбор действий и неверная формулировка вопросов.

4. Случайный подбор чисел и действий.

5. Ошибки в наименовании величин при выполнении действий: а) наименования не пишутся; б) наименования пишутся ошибочно, вне предметного понимания содержания задачи; в) наименования пишутся лишь при отдельных компонентах.

6. Ошибки в вычислениях.

7. Неверная формулировка ответа задачи (сформулированный ответ не соответствует вопросу задачи, стилистически построен неверно и т.д.).

При решении задач у младших школьников развивается произвольное внимание, наблюдательность, логическое мышление, речь, сообразительность. Решение задач способствует развитию таких процессов познавательной деятельности, как анализ, синтез, сравнение, обобщение. Решение арифметических задач помогает раскрыть основной смысл арифметических действий, конкретизировать их, связать с определенной жизненной ситуацией. Задачи способствуют усвоению математических понятий, отношений, закономерностей. В этом случае они, как правило, служат конкретизации этих понятий и отношений, так как каждая сюжетная задача отражает определенную жизненную ситуацию.

Более доступными для учащихся становятся текстовые задачи, содержащие данные исторического характера. Например, на занятиях по математике в начальной школе детям можно предложить для решения следующие задачи:

1. 22 июня 1941 года памятно нам как один из самых трагических дней в истории страны. В этот день фашистская Германия без объявления войны напала на нашу Родину. 9 мая 1945 года Красная Армия разгромила фашистскую Германию. Укажите, сколько дней длилась Великая Отечественная война? (1417 дней и ночей продолжалась битва с германским фашизмом)
   
2. В сентябре 1876 года в городе Белгороде был открыт учительский институт. Вуз функционирует по настоящее время. Сколько лет действует вуз?
   
3. В 1976 году в Белгородском педагогическом институте им. М.С.Ольминского был открыт педагогический факультет. Сколько лет функционирует педагогический факультет?
   

Необходимо отметить воспитательные возможности использования исторического материала на уроках математики. Исторические экскурсы положительно сказываются на воспитании моральных качеств учащихся, развитии их интеллекта, способствуют расширению кругозора, формированию положительной мотивации на осознанное изучение математики. Задания по решению и составлению задач, на основании дат, интересных событий своего родного края, Родины способствуют развитию интереса, созданию благоприятного эмоционально-психологический фона процесса обучения. Упражнения в решении задач помогают учащимся видеть в окружающей действительности такие факты и закономерности, которые используются в математике.

На этапе закрепления решения задач можно предложить учащимся самостоятельно составить задачи, материал для составления задачи может быть взят из справочников, получен самими учащимися во время экскурсий. Из удачно составленных учениками текстов задач можно составить небольшой задачник, и предлагать их для решения в других классах.

Подводя итог, следует отметить, что рассматриваемая нами тема является актуальной для современной школы. Для профилактики и устранения трудностей в обучении математике младших школьников учитель должен: знать психолого-педагогические особенности младшего школьника; уметь организовывать и проводить профилактическую и диагностическую работу; создавать проблемные ситуации и создавать благоприятный эмоционально-психологический фон процесса обучения математике младших школьников.


1.2.2.Обучение математике - основной способ развития математических способностей младших школьников.

Анализ школьного обучения показывает, что развитие способностей у многих учащихся значительно отстает от темпов роста объема знаний. Это объясняется тем, что усилия учителей, как правило, направлены на усвоение знаний, хотя известно, что система знаний нужна ученику не сама по себе, а для решения самых разнообразных задач.

Развитие способностей школьника не могло бы протекать и даже начинаться без постановки и решения самых разнообразных задач. Задача – это начало познавательного, поискового и творческого процесса. Однако в широкой практике школьного обучения в большинстве случаев используются репродуктивные задачи, ориентирующие на однозначные ответы, не активизирующие мыслительную деятельность ученика. Математические способности школьников проявляются именно в решении познавательных задач.

Развитие математических способностей личности требует длительной, целенаправленной работы, поэтому эпизодическое использование развивающих задач не принесет желаемого результата. Следовательно, давать новые задачи необходимо не сами по себе, в определенной системе, приводящей к интенсивному общему развитию детей. Система познавательных задач, стимулирующая учебно-познавательную деятельность, развивающая гибкость и нестандартность мышления, должна, по нашему мнению, отвечать следующим требованиям:

• возбуждать интерес к деятельности по их решению;
  
• опираться на знания и опыт учащихся;
  
• способствовать развитию психических механизмов, лежащих в основе творческих способностей (внимания, памяти, мышления, воображения);
  
• строиться на междисциплинарной (интегративной) основе;
  
• быть направлена на овладение обобщенными приемами познавательной деятельности;
  
• учитывать уровни развития творчества.
  

Специально отбираемые учителем из методических пособий или самостоятельно конструируемые задания должны быть ориентированы на:

• постепенное усложнение материала;
  
• поэтапное увеличение объема работы;
  
• повышение уровня самостоятельности учащихся;
  
• интеграцию знаний и способов деятельности;
  
• привлечение элементов теории для решения познавательных задач;
  
• обучение способам рассуждения (как по образцу, так и самостоятельно) с учетом принципа вариативности задач;
  
• формирование следующих важнейших характеристик творческих способностей: беглость мысли (количество идей, возникающих за единицу времени), гибкость ума (способность переключаться с одной мысли на другую), оригинальность (способность находить решения, отличающиеся от общепринятых); любознательность (чувствительность к проблемам в окружающем мире), умение выдвигать и разрабатывать гипотезы;
  
• усложнение творческой направленности в выполнении заданий. Для продуктивного усвоения учеником знаний и для его интеллектуального развития важно давать задачи внутри предметной и меж предметной интеграции, поскольку потребность в синтезе научных знаний обусловлена все увеличивающимся количеством комплексных проблем, стоящих перед человечеством. Формирование интегративного способа мышления достижимо посредством интегративных познавательных задач.
  

К сожалению, все еще распространено мнение, что сама природа творчества противоречит прямому управлению этим процессом, что способы руководства творческой деятельностью человека могут носить лишь косвенный, опосредованный характер, но, тем не менее, многие ученые соглашаются, что обучение решению творческих задач традиционно считается одним из важнейших, а иногда и самым главным компонентом образовательного процесса в школе. При направленной организации умственной деятельности школьников в процессе решения познавательных задач необходимо планировать управление ею, учитывая следующие этапы в продвижении учащихся:

• решить задачу по аналогии;
  
• решить задачу при частичной подсказке учителя;
  
• доказать правильность решения;
  
• решить нестандартную задачу;
  
• самостоятельно составить творческое задание;
  
• выполнить диагностическую (тестовую) работу.
  

Успешность решения школьниками познавательных задач зависит от уровня сотрудничества учителя и ученика, от овладения учеником системой умственных действий (сравнение, анализ, синтез и т.д.). В процессе обучения, направленного на развитие творческих способностей учащихся, следует планомерно управлять их учебной деятельностью, в том числе и при решении учебных задач. В качестве основных форм управления можно выделить:

• на начальном этапе – ввод учителем плана (схемы, карточки) рассуждения, действия, образцов решения задачи, а впоследствии – самостоятельное составление плана учениками;
  
• применение алгоритмов и алгоритмических предписаний;
  
• использование средств наглядности и моделирования как зрительной опоры учебного диалога;
  
• установление очередности высказываний;
  
• установление правил ролевой игры и т.д.
  

В теории и практике обучения нередко ставят знак равенства между определениями “творчество”, “инсайд”, “озарение”, полагая, что творчество – удел немногих. С этим трудно согласиться полностью, т.к., по мнению многих авторов, “инсайт” – это своего рода свернутый алгоритм, которым ученик овладел при решении различного рода задач. Известно, что многие из подходов к решению проблем очень схожи в разных школьных дисциплинах. В этих условиях ученик, “достав” из своей памяти нужный в данный момент принцип решения сложной творческой задачи, может прийти и к “озарению”. Ключ к пониманию сущности такого рационального творчества дает подход к обучению как к процессу овладения способами деятельности, поэтому знание и творчество – это владение способами действия, в том числе и на основе использования алгоритмов.

Продуктивность мыслительной и особенно умственной деятельности школьников, к сожалению, остается далеко позади их потенциальных возможностей и не в полной мере отвечает задачам современного обучения.

Сегодня вопрос о развитии математических способностей учащихся в теории и практике обучения стоит особенно остро, так как исследования последнего времени выявили у школьников значительно большие, чем предполагалось ранее, возможности усваивать научные понятия, применять знания и умения как в привычной, так и в нестандартной ситуации.

Это, в свою очередь, привело к разработке новых дидактических подходов в обучении школьников – не к простому накоплению суммы знаний, а целенаправленному усвоению (в условиях применения эвристически ориентированных методов обучения) систем, понятий, закономерностей, обобщенных структур, позволяющих глубже осознавать суть конкретного учебного предмета и на этой основе овладевать общими приемами решения самых разнообразных задач.

Процесс обучения математике младших школьников может протекать с различным приложением сил, познавательной активности и самостоятельности школьников. В одних случаях он носит характер подражательный, репродуктивный, в других – поисковый, а иногда и творческий. Именно характер учебного процесса влияет на его конечный результат – уровень приобретенных знаний, умений и навыков.

В теории и практике обучения вопросу развития способностей учащихся пока не уделено должного внимания. Не сформулирован целостный комплекс показателей, отражающих многообразие понятия “математические способности”, и, как следствие, – недостаточно разработаны диагностические методики оценки их уровня. Это тормозит широкое внедрение идей развивающего обучения в практику общеобразовательной школы.

Решение проблемы развития интеллектуальных способностей младших школьников на уроках математики предполагает учет и введение в обиход системы специальных развивающих средств, так как уровень развития способностей учащихся зависит от содержания и методов обучения в школе.

Развитие математических способностей школьника не может происходить без постановки и решения самых разнообразных задач. Задача – это начало, исходное звено познавательного, поискового и творческого процесса, именно в ней выражается первое пробуждение мысли. Однако анализ учебной литературы по различным школьным предметам, наблюдения за работой учителей и учащихся зачастую показывают, что в широкой практике школьного обучения в большинстве случаев используются репродуктивные задачи, ориентирующие ученика на однозначные ответы, не активизирующие его мыслительной деятельности. По данным некоторых исследователей, лишь 10% задач вызывают сенсорные продуктивные процессы, например, творческого видения, самостоятельного наблюдения, обращения внимания, быстроты схватывания. Среди них и те задачи, которые стимулируют познавательную активность школьников, содержат элементы неизвестности, противоречия, направлены на выяснение причин и взаимосвязей явлений, то есть задачи творческого уровня.

Из школьной практики известно, что вопросы, требующие рассмотрения чего-либо с непривычной стороны, нередко ставят детей в тупик. И это понятно: ведь их этому не учили. Между тем, больше пользы приносит рассмотрение одного и того же предмета с десяти разных сторон, чем изучение десяти различных предметов с одной стороны.

Разумеется, увидеть что-то по-новому, не так, как все, и не так, как ты видел раньше, – очень не простая задача. Но этому можно научить, если направить процесс обучения на развитие и усовершенствование творческих способностей учащихся.

Как правило, в традиционном обучении собственно творческие задачи являются средством диагностики уже сформированных творческих способностей учащихся. Нас же должна интересовать проблема целенаправленного, управляемого со стороны учителя развития математических способностей при помощи специальной системы познавательных задач, при решении которых у школьников должен появляться интерес не только к знаниям, но и к способам их приобретения. Учащиеся соприкасаются также и с эстетической стороной умственного труда, когда они учатся сравнивать несколько способов решения одной задачи, как по правильности, рациональности, так и по “красоте” – простоте, изяществу, лаконизму.

Необходимо особо отметить, что не стоит готовить творческие задания персонально для наиболее способных учащихся и предлагать их вместо обычных заданий, которые даются всему классу. Такой способ индивидуализации нельзя считать лучшим, поскольку он ставит в заведомо неравные условия детей, делит их на способных и неспособных. Задания творческого характера должны даваться всему классу. При их выполнении оценивать следует только успех. Учитель должен всегда внимательно выслушивать ученика, видеть в каждом школьнике индивида с особыми возможностями и дарованиями. Когда педагог ожидает выдающихся успехов от детей, они действительно этих успехов начинают добиваться, даже если раньше считались не очень способными.

У каждого ребенка есть способности и таланты. Дети от природы любознательны и полны желания учиться. Для того чтобы они могли проявить свои дарования, нужно умное руководство со стороны взрослых. Задачи педагога, используя разнообразные методы обучения, в том числе и игровые, систематически, целенаправленно развивать у детей подвижность и гибкость мышления, настойчиво стимулировать процессы перестройки, переключения, поисковой активности; учить детей рассуждать, гибко подходить к проблемам, не зубрить, а мыслить, самим делать выводы, находить новые, оригинальные подходы, получать изящные результаты, красивые решения, чтобы ощутить удовольствие от обучения.

Современные психологи сходятся во мнении, что большинство детей, да и, как это ни странно, взрослых успешнее решают те проблемы и задачи, которые предлагаются им в игровой форме. Тем не менее, на уроке можно часто услышать фразу: “Это вам не игрушки!” В ней – пренебрежение учителя к такому виду деятельности. Конечно, легче объяснить какой-либо материал в стандартной, научной форме, чем в доступной, игровой.

Важно помнить также, что огромное, неоценимое влияние оказывает игра на учебную деятельность интеллектуально пассивных детей, выполняющих в процессе игры большую умственную работу, которая была бы им не под силу в обычной ситуации. Недаром у детских психиатров существует диагноз: ребенок в детстве не доиграл.

Ни для кого не секрет, что с каждым годом все более возрастают требования к умственной деятельности людей. И поэтому в последнее время растет число обучающих и обучающихся, удлиняются сроки обучения, увеличивается объем усваиваемых знаний. До сих пор этот путь приводил к весьма значительным результатам. Но становится очевидным, что такой процесс имеет определенные границы. Беспредельно увеличивать время обучения невозможно. До сих пор усилия педагогики по совершенствованию системы обучения концентрировались преимущественно на улучшении содержания и повышении качества преподавания. Были разработаны новые методы обучения. Однако, в то время как процесс передачи знаний интенсивно совершенствовался, методам усвоения и практического применения этих знаний уделялось сравнительно мало внимания. Возникает противоречие: требования к умственной деятельности учащихся непрерывно растут, а их способность усваивать и использовать полученные знания остается на довольно низком уровне.

В наши дни существуют специальные программы по работе с талантливыми детьми. А люди с нормальными способностями оказывались и оказываются в самом неблагоприятном положении. От них часто требуют лишь средних, посредственных знаний. Они менее других доверяют своим знаниям и способностям, не верят в свои возможности, потому что им редко говорили о том, что с помощью специальных методов и приемов обучения, раскрывая резервы своей личности, они способны достичь гораздо большего. Всем нам надо постоянно помнить: специальные изолированные программы развития для избранных детей могут в лучшем случае на время задержать регресс. Ученый или инженер может претворить в жизнь свои мечты в том случае, когда все возрастающее число людей с развитыми творческими способностями подхватят его идеи, разовьют их и реализуют.

Ученые отмечают, что развить сразу весь комплекс свойств, входящих в понятие “математические способности”, невозможно. Это длительная, целенаправленная работа, поэтому эпизодическое использование интеллектуальных задач не принесет желаемого результата. Познавательные задания должны составлять систему, позволяющую формировать и развивать все многообразие интеллектуальной и творческой деятельности учащихся и обеспечивать переход от репродуктивных, формально-логических, действий к интеллектуальным. Необходимо также помнить, что интеллектуальные способности рассматриваются как-то, что не сводится к знаниям, умениям, навыкам, но объясняет (обеспечивает) их быстрое приобретение, закрепление и эффективное использование на практике. Поэтому нельзя не отметить огромное значение для развития интеллектуальных способностей уровня развития психических механизмов – памяти, внимания, воображения и др. Именно эти качества, по данным психологов, являются основой развития продуктивного мышления и творческих способностей учащихся. К сожалению, именно этим так мало занимается нынешняя школа, хотя можно планировать работу по их формированию и развитию на основе специально разработанной системы задач, заданий и упражнений (часть из которых представлена в данной книге) и ввода рациональных приемов (в том числе и алгоритмов), ориентированных на организацию управляемой деятельности учащихся. Принципиальное значение в данном случае имеет и отработка приемов умственной деятельности.

Многие творческие задачи, наряду с репродуктивными и выводными, должны включать и интуитивные процессы догадки. Поэтому для обучения решению задач с творческими компонентами необходимо использовать специальные приемы, которые называются эвристическими. Выделим среди них анализ условия задачи, доопределение (движение от конца к началу), изменение уровня обобщенности задачи, анализ допущений, моделирование, выдвижение любых гипотез, перерыв в решении задачи и другие.

Общий подход в управлении развитием математических способностей состоит в том, что в начале должны использоваться более репродуктивные и определенные по механизму приемы, а затем более продуктивные. Овладение эвристическими приемами повышает успешность решения задач больше, чем простая тренировка в их решении при проблемном обучении. При этом не стоит готовить творческие задания персонально для наиболее способных учащихся и предлагать им вместо обычных заданий, которые даются всему классу. Задания творческого характера должны даваться всему классу. При их выполнении оценивать следует только успех. Очевидно, что качество педагогического руководства будет тем выше, чем большую активность и самостоятельность в рамках учебного диалога может проявить ученик.


Выводы по разделу 1.

В связи с проблемой формирования и развития способностей следует указать, что целый ряд исследований психологов направлен на выявление структуры способностей дошкольников к различным видам деятельности. При этом под способностями понимается комплекс индивидуально – психологических особенностей человека, отвечающих требованиям данной деятельности и являющиеся условием успешного выполнения. Таким образом, способности – сложное, интегральное, психическое образование, своеобразный синтез свойств, или как их называют компонентов.

Общий закон образования способностей состоит в том, что они формируются в процессе овладения и выполнения тех видов деятельности, для которых они необходимы.

Способности не есть нечто раз и навсегда предопределённое, они формируются и развиваются в процессе обучения, в процессе упражнения, овладения соответствующей деятельностью, поэтому нужно формировать, развивать, воспитывать, совершенствовать способности детей и нельзя заранее точно предвидеть, как далеко может пойти это развитие.

Говоря о математических способностях как особенностях умственной деятельности, следует, прежде всего, указать на несколько распространенных среди педагогов заблуждений.

Во-первых, многие считают, что математические способности заключаются, прежде всего, в способности к быстрому и точному вычислению (в частности в уме). На самом деле вычислительные способности далеко не всегда связаны с формированием подлинно математических (творческих) способностей. Во-вторых, многие думают, что способные к математике дошкольники отличаются хорошей памятью на формулы, цифры, числа. Однако, как указывает академик А. Н. Колмогоров, успех в математике меньше всего основан на способности быстро и прочно запоминать большое количество фактов, цифр, формул. Наконец, считают, что одним из показателей математических способностей является быстрота мыслительных процессов. Особенно быстрый темп работы сам по себе не имеет отношения к математических способностям. Ребенок может работать медленно и неторопливо, но в то же время вдумчиво, творчески, успешно продвигаясь в усвоении математики.

Крутецкий В.А. в книге «Психология математических способностей дошкольников» различает девять способностей (компонентов математических способностей):

1) Способность к формализации математического материала, к отделению формы от содержания, абстрагированию от конкретных количественных отношений и пространственных форм и оперированию формальными структурами, структурами отношений и связей;

2) Способность обобщать математический материал, вычленять главное, отвлекаясь от несущественного, видеть общее во внешне различном;

3) Способность к оперированию числовой и знаковой символикой;

4) Способность к «последовательному, правильно расчленённому логическому рассуждению», связанному с потребностью в доказательствах, обосновании, выводах;

5) Способность сокращать процесс рассуждения, мыслить свернутыми структурами;

6) Способность к обратимости мыслительного процесса (к переходу с прямого на обратный ход мысли);

7) Гибкость мышления, способность к переключению от одной умственной операции к другой, свобода от сковывающего влияния шаблонов и трафаретов;

8) Математическая память. Можно предположить, что её характерные особенности также вытекают из особенностей математической науки, что это память на обобщения, формализованные структуры, логические схемы;

9) Способность к пространственным представлениям, которая прямым образом связана с наличием такой отрасли математики как геометрия.

Раздел 2.Методика выявления особенностей формирования математических способностей в процессе решения математических задач.

2.1.Этапы выявления особенностей формирования математических способностей в процессе решения математических задач .

Решение задач занимает в математическом образовании огромное место. Математика - самая теоретическая наука из всех изучаемых в школе. В ней высокий уровень абстракции и наиболее естественным способом изложения знаний в ней является способ восхождения от абстрактного к конкретному. Умение мыслить логически, выполнять умозаключения без наглядной опоры, сопоставлять суждения по определённым правилам – необходимое условие успешного усвоения учебного материала. Математику любят в основном те ученики, которые умеют решать задачи. Следовательно, научив детей владеть умением решения задачи, учитель окажет существенное влияние на их интерес к предмету, на развитие мышления и речи.

Первоначальные математические знания усваиваются детьми в определенной, приспособленной к их пониманию системе, в которой отдельные положения логически связаны одно с другим, вытекают одно из другого. При сознательном усвоении математических знаний учащиеся пользуются основными операциями мышления в доступном для них виде: анализом и синтезом, сравнением, абстрагированием и конкретизацией, обобщением; ученики делают индуктивные выводы, проводят дедуктивные рассуждения. Сознательное усвоение учащимися математических знаний развивает математическое мышление учащихся. Овладение мыслительными операциями в свою очередь помогает учащимся успешнее усваивать новые знания.

Задачи педагога, используя разнообразные методы обучения систематически, целенаправленно развивать у детей подвижность и гибкость мышления, настойчиво стимулировать процессы перестройки, переключения, поисковой активности; учить детей рассуждать, мыслить, самим делать выводы, находить новые, оригинальные подходы в решениях, чтобы ощутить удовольствие от обучения.

Хорошо подобранные и правильно методически расположенные задачи помогают ученику усвоить теоретический материал, делают курс математики более интересным, вызывают потребность в новых знаниях и умении самостоятельно их приобретать.

Приступая к решению задачи, ученик сначала знакомится с ее формулировкой, решение же пока остается вне поля его деятельности. Поэтому очень важно, чтобы содержание задачи вызывало живой интерес. Полезно, когда тексты задач обращены не только к уму, но и к эмоциям детей, вызывая у них чувство причастности к решению актуальных проблем. При этом воспитательное воздействие содержания задач осуществляется не только через условие задачи, но и непроизвольно, через подтекст материала.

Каждая задача — это единство условия и цели. Если нет одного из этих компонентов, то нет и задачи. Это очень важно иметь в виду, чтобы проводить анализ текста задачи с соблюдением такого единства. Это означает, что анализ условия задачи необходимо соотносить с вопросом задачи и, наоборот, вопрос задачи анализировать направленно с условием. Их нельзя разрывать, так как они составляют одно целое. Математическая задача — это связанный лаконический рассказ, в котором введены значения некоторых величин и предлагается отыскать другие неизвестные значения величин, зависимые от данных и связанные с ними определенными соотношениями, указанными в условии.

Решение задачи надо начинать с глубокого и всестороннего анализа задачи. Для выработки умений анализировать условие задачи, выделять существенные данные, выявлять закономерности, устанавливать связи между данными задачи и искомыми величинами, грамотно строить умозаключения необходимо всячески побуждать ребенка к "работе" мысли следующими способами:

1. Задавать вопросы такого рода: «В трёх пакетах по 5 яблок. Вывод…», «Дима старше Коли и младше Саши. Вывод…».

2. Предлагать проблемные ситуации, например, такого рода: «Как с помощью двух кастрюль вместимостью 3 и 5 литров отмерить ровно 4 литра воды. (Найди наиболее рациональное решение)».

3.Приучать к решению нестандартных задач, начиная с задачи-шутки, задачи-сказки, старинных задач. Такие задания стимулируют мыслительный процесс, заставляют рассматривать условие задачи с разных точек зрения.

Задача – это логический процесс. Смысл – увидеть и понять логику задачи. Затем увидеть последовательность действий. Когда процесс решения понят, задачу можно считать решённой. Далее важно безошибочно выполнить вычисления.
Можно выделить несколько этапов решения задачи:

• исследование задачи;
  
• планирование решения;
  
• выполнение решения;
  
• проверка результата.
  

При исследовании задачи необходимо установить, что дано, что нужно получить, выяснить значение непонятных слов, выделить важные слова упрощающие смысл задачи. Важно понять: решаема ли задача, возможно ли выполнить условие, достаточно ли данных в условии? После исследования условия желательно нарисовать схему, чертеж или таблицу. Иллюстрация задачи – это использование средств наглядности для выявления величин, входящих в задачу, данных и искомых чисел, а также для установления связей между ними.

После исследования задачи намечаются шаги, которые требуются для её решения, и порядок, в котором они должны быть выполнены. Шаги, необходимые для решения задачи, и их последовательность — это алгоритм. Планирование решения означает разработку алгоритма, т.е. последовательности действий и предварительную прикидку ответа на вопрос задачи. На данном этапе важно отобрать самое рациональное решение задачи.

Выполнение решения задачи – это следование алгоритму. При этом необходимо очень внимательно выполнять каждый шаг и убедиться, что выполнение последнего шага алгоритма привело к ответу на вопрос задачи.

Конечное решение задачи требует проверки. На данном этапе следует сверить ответ задачи с предварительной прикидкой, подставить ответ задачи в схему (чертёж, таблицу) и, просчитав, выявить истинность или ложность найденного ответа задачи.

Следует отметить, что решение задач различными способами позволяет убедиться в правильности решения задачи, даёт возможность глубже раскрыть зависимости между величинами, рассмотренными в задаче. Возможность решения некоторых задач разными способами основана на различных свойствах действий или вытекающих из них правил.

Наибольший эффект может быть достигнут в результате применения различных форм работы над задачей. Каждая форма записи и каждый искомый способ решения позволяет взглянуть на задачу по иному, яснее осознать процесс решения, глубже понять связи и отношения между данными и искомым.

Формы работ с задачами:

• Решение задач различными способами.
  
• Представление ситуации, описанной в задаче. Мысленное участие в этой ситуации. Разбиение текста задачи на смысловые части.
  
• Решение задач с недостающими или лишними данными.
  
• Объяснение готового решения задачи.
  
• Изменение условия задачи так, чтобы задача решалась другим действием.
  
• Изменение вопроса задачи после её решения.
  
• Решение обратных задач.
  
• Составление аналогичной задачи с измененными данными.
  
• Самостоятельное составление задач учащимися.
  
• Выбор верного решения из двух, трёх предложенных.
  
• Закончить решение задачи.
  
• Составление условия к данному вопросу задачи.
  
• Постановка вопроса к данному условию задачи.
  
• Включение в условие лишних данных.
  
• Составление задачи по готовому решению.
  
• Переформулировка текста задачи; замена описания данной в ней ситуации другой, сохраняющей все отношении и зависимости, но более точно их выражающие
  

2.2.Экспериментально-исследовательская работа по формированию математических способностей у младших школьников в процессе решения математических задач.


С целью практического обоснования выводов, полученных в ходе теоретического изучения проблемы: каковы наиболее эффективные формы и методы, направленные на развитие математических способностей школьников в процессе решения математических задач было проведено исследование. В эксперименте приняли участие два класса: экспериментальный 2 (4) «Б», контрольный – 2 (4) «В» УВК «Школа-гимназия»№1 п.г.т. Советский .

Этапы экспериментальной деятельности

I – Подготовительный. Цель: определение уровня математических способнос-тей по результатам наблюдений.

II – Констатирующий этап эксперимента. Цель: определение уровня сформированности математических способностей.

III – Формирующий эксперимент. Цель: создание необходимых условий для развития математических способностей.

IV – Контрольный эксперимент.Цель: определение эффективности форм и методов, способствующих развитию математических способностей.


На подготовительном этапе проведены наблюдения за учащимися контрольного – 2 «Б» и экспериментального 2 «В» классов. Наблюдения проводились как в процессе изучения нового материала, так и при решении задач. Для наблюдений были выделены те признаки математических способностей, которые наиболее ярко прявляются у младших школьников:

1) относительно быстрое и успешное овладение математическими знаниями, умениями и навыками;

2) способность к последовательному правильному логическому рассуждению;

3) находчивость и сообразительность при изучении математики;

4) гибкость мышления;

5) способность к оперированию числовой и знаковой символикой;

6) пониженная утомляемость при занятиях математикой;

7) способность сокращать процесс рассуждения, мыслить свернутыми структурами;

8) способность переходить с прямого на обратный ход мысли;

9) развитость образно–геометрического мышления и пространственных представлений.

В ноябре 2011 г. мы заполнили таблицу математических способностей школьников, в которой оценили в баллах каждое из перечисленных качеств (0-низкий уровень, 1-средний уровень, 2-высокий уровень).

На втором этапе в экспериментальном и контрольном классах проведена диагностика развития математических способностей.

Для этого использовался тест «Решение задач»:

1. Составь из данных простых задач составные. Реши одну составную задачу разными способами, подчеркни рациональный.

Корова кота Матроскина в понедельник дала 12 литров молока. Молоко разлили в трёхлитровые банки. Сколько банок получилось у кота Матроскина?

Коля купил 3 ручки по 20 рублей каждая. Сколько денег он заплатил?

Коля купил 5 карандашей по цене 20 рублей. Сколько стоят карандаши?

Корова кота Матроскина во вторник дала 15 литров молока. Это молоко разлили в трёхлитровые банки. Сколько банок получилось у кота Матроскина?

2. Прочитай задачу. Прочитай вопросы и выражения. Соедини каждый вопрос с нужным выражением.

В
а + 18
классе 18 мальчиков и а девочек.

Сколько всего учеников в классе?

18 - а

На сколько мальчиков больше, чем девочек?

а - 18

На сколько девочек меньше, чем мальчиков?

3. Реши задачу.

В своём письме родителям Дядя Фёдор написал, что его дом, дом почтальона Печкина и колодец находятся на одной стороне улицы. От дома Дяди Фёдора до дома почтальона Печкина 90 метров, а от колодца до дома Дяди Фёдора 20 метров. Какое расстояние от колодца до дома почтальона Печкина?

С помощью теста проверялись те же компоненты структуры математических способностей, что и при наблюдении.

Цель: установить уровень математических способностей.

Оборудование: карточка ученика (лист).

Таблица 2

Тест проверяет умения и математические способности:

№ задачи	Умения, необходимые для решения задачи.	Способности, проявляющиеся в математической деятельности.
№ 1	Умение отличать задачу от других текстов.	Способность к формализации математического материала.
№ 1, 2, 3, 4	Умение записывать решение задачи, производить вычисления.	Способность к оперированию числовой и знаковой символикой.
№ 2, 3	Умение записывать решение задачи выражением. Умение решать задачу разными способами.	Гибкость мышления, способность сокращать процесс рассуждения.
№ 4	Умение выполнять построение гео-метрических фигур.	Развитость образно–геометри-ческого мышления и прост-ранственных представлений.

На данном этапе изучены математические способности и определены следующие уровни:

- низкий уровень: математические способности проявляются в общей, всем присущей потребности.

- средний уровень: способности появляются в сходных условиях (по образцу).

- высокий уровень: творческое проявление математических способностей в новых, неожиданных ситуациях.

Качественный анализ теста показал основные причины затруднения выполнения теста. Среди них: а) отсутствие конкретных знаний в решении задач (не могут определить, во сколько действий решается задача, не могут записать решение задачи выражением (во 2 «Б» (экспериментальном) классе 4 человека - 15%, во 2 «В» классе - 3 человека - 12%) б) недостаточное формирование вычислительных навыков ( во 2 «Б» классе 7 человек – 27%, во 2 «В» классе 8 человек – 31%.

Развитие математических способностей учащихся обеспечивается, в первую очередь, развитием математического стиля мышления. Для определения различий в развитии у детей способности рассуждать было проведено групповое занятие на материале диагностического задания «разное-одинаковое» по методике А.З. Зака. Выявлены следующие уровни способности к рассуждению:

высокий уровень – решены задачи № 1-10 (содержат 3-5 персонажей)

средний уровень – решены задачи № 1-8 (содержат 3-4 персонажа)

низкий уровень – решены задачи № 1 - 4 (содержат 3 персонажа)

В эксперименте применялись такие методы работы: объяснительно-иллюстративный, репродуктивный, эвристический, проблемного изложения, исследовательский метод. В настоящем научном творчестве постановка проблемы идёт через проблемную ситуацию. Мы стремились к тому, чтобы ученик самостоятельно научился видеть проблему, формулировать её, исследовать возможности и способы её решения. Исследовательский метод характеризуется самым высоким уровнем познавательной самостоятельности учащихся. На уроках мы организовывали самос-тоятельную работу учащихся, давая им проблемные познавательные задачи и задания, имеющие практический характер.