Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Экономический анализ
| Маракулин В. М.. Равновесный анализ математических моделей экономики с нестандартными ценами., 2001 | |
2.2.3 Доказательство теорем существования |
|
|
Доказательство теоремы 2.2.1. Прежде всего отметим, что, с целью упростить изложение и в силу предположения 0 G intQ, мы можем считать, без ограничения общности, что Q является шаром единичного радиуса в (L')N. Более того, в силу предположений A1, A2, поскольку пространство L предполагалось конечномерным, мы можем также считать, что X является компактным подмножеством в L (в противном случае в нижеизложенных рассуждениях можно стандартным образом заменить X пересечением этого множества с любой компактной выпуклой окрестностью множества A(X)). Рассмотрим следующие аппроксимации бюджетных ограничений экономических агентов. Пусть даны е = (ei,...,en) ^ 0, текущее со-стояние экономики x G X и набор допустимых индивидуальных цен q = (qi,.., qn) G Q. В качестве новых доходов примем величину ai(x, q) = т (q)ei + ai(x, q), где для любого фиксированного 0 < в < 1/ (п +1) положим т(q) = (e -||q||)+ + ?min(e,\\q0 ||). N Здесь по определению для всякого действительного y величина y+ = y для y > 0 и y+ = 0 - иначе. Сразу отметим, что по построению 0 < т(q) < 1, откуда в силу ei > 0 и предположений A5, A7 следует, что функции ai(.) непрерывны и удовлетворяют условию Слейтера. На следующем этапе мы переходим к построению точечно- множественного отображения, неподвижные точки которого реализуют е-равновесные состояния абстрактной экономики. Положим Xi = X, Yi = B = {y G L |||y||2 < ?ей}, г GN N и K = ПYi xQ*nXi. NN Множество K является непустым выпуклым компактом. Далее определим отображения, действующие из K в себя. Для каждого г G N и к = (yi, ..., yn, q, xi,..., xn) G K, xi G Xi, q G Q положим ФДк) = ^i(q) = { y' G Yi | qiy' < Чmin(e, MD ж (?ej) }. N Из построения с очевидностью следует, что эти точечно-множественные отображения имеют замкнутый график и непустые выпуклые значения для всех к G K. С целью использовать закон Вальраса A6, рассмотрим согласованное с T проектирование g : LN ^ L и определим xo = g(xi,..., xn) . Далее, для ф,,(к) = фi(xo, xi, q) положим: 6-(K) = i {z' G Xi I qiz' \ {z' G Xi | qiz' к ^ {z' G Xi | qiz' < a1(xo, q)} является полунепрерывным снизу и обладает непустыми, относительно открытыми и выпуклыми значениями. Отсюда, в силу A3, легко заключить, что и отображение к ^ ф^1(к) будет полунепрерывно снизу и иметь открытые в Xi и выпуклые значения. Заметим, однако, что отображение фi(.) может иметь пустые значения. Положим Ui =dom ф^.) = {к | ф^к) = 0}. Теперь уже отображение ф^. имеет в своей области определения непустые значения и, следовательно, удовлетворяет теореме Майкла (о существовании непрерывного селектора). Выберем любой непрерывный селектор ff и положим Ф(к) {ff(n)}, при к G Ui, Xi, при к GUi. Из построения (т. к. Ui открыто в силу A3 и условия Слейтера) легко следует, что данное отображение имеет замкнутый график и принимает непустые выпуклые значения. Последнее, завершающее конструкцию отображение соответствует тому, что иногда называется "ценообразующим органом" и определяет реакцию рынка на текущий стратегический выбор экономических агентов: Г(к) = W eA(Q) \ ? q'i(yi + Xi - ш) > ? qH(yi + Xi - ш) V q" e A(Q)}. N N "Собирая" построенные отображения в одно по формуле H(к) = Л Щк) х Г(к) х Л Фi(к), к eK, NN мы получаем точечно-множественное отображение, которое имеет замкнутый график и непустые выпуклые значения в K при любом к e K (в силу вышеуказанных свойств построенных отображений). Следовательно, применима классическая теорема Какутани, и отображение H(.) имеет неподвижную точку в K. Пусть к e H(к). На финальном этапе мы исследуем свойства этой неподвижной точки. Прежде всего заметим, что неравенство qiXi > ai(Xo,q) невозможно по определению отображений ф-^(.) и $i(.). Следовательно, должно быть qiXi < [(в - \\q\\)+ + ?min(e,\\qj\\Ж + a.i(Xo,q) V i e N. (2.2.11) N Далее, для какого-либо i e N также невозможно /Ф(к) e {z' e Xi \ qiz' < al(X0,q)}^\ co Vi(xH) = 0, ибо это противоречит предположению A4 (выпуклость и иррефлексивность предпочтений). Следовательно, последнее пересечение должно быть пусто, откуда, в силу A3(i) и условия Слейтера для af(.), заключаем {z' e Xi \ qiz' < aei(X0,q)}['] co Pi(Xi) = 0 V i eN. (2.2.12) Далее, из построения ФД.) и свойства неподвижной точки yi e Ф^к) заключаем \\yj\2 < ?з и ш < Чmin(e, \\qi\\2) Х (??j) Vi eN. N Теперь просуммируем по i G N данные неравенства и неравенства из (2.2.11). В результате, после соответствующих сокращений и простейших преобразований, а также используя A6 (закон Вальраса), выполненный в силу (2.2.12) и a.i(xo,q) - af(xo,q) "в точке" xo = g(x\, .. . ,xn), получим J2qixi + ? qiyi < N N [(вЧШ++? \ \qj ||)] ? е-? min(e,\\q, ||)) ? ei+? ai(xo,q), N N N N N откуда следует ?qi(Xi + yi) - (в - ||q||)+ E^i ^E^ N N N ?qi(Xi + yi - w) - (в - ||q||)+?' NN Далее рассмотрим величину, стоящую в последнем соотношении слева. Предположим, что Х^ЛА qi(xi + yi - w) > 0. Из построения отображения Г(.) и свойств неподвижной точки следует, что функционал Q(q,y,x) = qi(xi+yi-w) достигает максимума на q при ограничениях q G A(Q). Однако по предположению Q является шаром единичного радиуса в (L')N, поэтому с необходимостью получаем ||q|| = 1, откуда следует (в - ||q||)+ = 0 (по выбору в < 1/(n + 1)). Таким образом, сделанное предположение неверно, и можно заключить, что ?qi(xi + Vi - w) < ? qi(xi + yi - w) = 0 V q e A(Q). NN Более того, последнее соотношение выполняется тогда и только тогда, когда ? qi(Xi + Vi - w) = 0 Vq G E(L) = {q G (L')N | ker ? qi(.) D kerF(.)}. NN Анализ данной формулы позволяет сделать все необходимые выводы. Действительно, если положить qi = -qj = q' и qk =0 для всех прочих k = i,j, то можно заключить q'(Vi + Xi) = q'(yj + Xj) V q' G L' yk + Xk = x V k GN . Продолжая, для всех q' G L', удовлетворяющих kerq'(.) D kerF(.), для z' = x - w должно быть ((q', .., q'), (z',..., z')} =0 ^ q'z' = 0 ^ z' G kerF(.) ^ x - w G kerF(.). В итоге, суммируя сказанное, получаем x = yi + xi Уi GN & F(x) = F(ш), что в силу ||yi||2 <^j\f ?j и ввиду соотношений (2.2.11), (2.2.12) и реализует (x, q) как е-равновесие абстрактной модели с тотальными внешними влияниями относительно "аппроксимаций": zo = xo = g(xi,... ,xn), zi = xi, i G N. ? |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "2.2.3 Доказательство теорем существования" |
|
|