Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Микроэкономика
| В. П. Бусыгин, Е. В. Желободько, С. Г. Коковин, А. А. Цыплаков. Микроэкономический анализ несовершенных рынков, 1999 | |
2. Характеристика поведения потребителей в квазилинейных экономиках |
|
|
В дальнейшем сравниваются потребительские наборы, которые оказываются рыночными равновесиями при различных ор- ганизациях рынков (совершенная конкуренция, монополия, олигополия и т.д.). При этом всюду предполагается, что потребители рассматривают рыночные цены как данные. Другими словами, определяя предпочитаемый потребительский набор (ж;, zt) при рыночных ценах благ (р, 1), потребитель в экономике решает следующую задачу: pXl + z^UP) (CI(P)) х* > 0. Соответствующая задача в экономике включает дополнительное ограничение z{ > 0. (Будем обозначать эту задачу через С2(Р) ) Здесь через (ЗДр) обозначен доход потребителя при данных ценах: где 7ij(p) ру ' ( (/) - прибыль производителя j при ценах (р, 1). Имеют место следующие результаты, характеризующие оптимальный выбор потребителя. ! Теорема 12. j Предположим, что (xi: zt) - решение задачи потребите- ! ля Сх(р). Тогда ж; является решением следующей задачи I ''.( 'V ' ) рх > шах | _ (й) ! И обратно, пусть xt - решение задачи (й), тогда сущест- j вует такое zi} что (ж;, zt) - решение задачи Сх(р). Доказательство. Доказательство оставляется в качестве упражнения. ж Это означает, что спрос потребителя на первые I благ не зависит от его дохода. Аналог этого результата верен и в случае задачи С2(р), когда допустимые потребительские наборы удовлетворяют дополнительному условию z^ 0, что показывает следующая теорема. | Теорема 13. j Предположим, что г>;(-) - вогнутая функция, а (ж j - решение задачи потребителя С2(р) (соответствующей экономике ?2), такое что z{ >0. Тогда х{ является решением следующей задачи У к _ (й)_ И обратно, пусть xt - решение задачи (й) и pxt < Р/р), тогда существует такое z.t ' 0, что (ж,. ;;,) - решение задачи С2(р). Доказательство. Доказательство оставляется в качестве упражнения. Предположим дополнительно, что г>;(-) - непрерывно дифференцируемая функция. Тогда для решения задачи оптимального выбора потребителя Сх(р) (или С2(р) при z{ > 0) должно выполняться следующее условие Vvt(xt) < р, причем если xik>0, то дх г к :Ркж Таким образом, если решение задачи потребителя внутреннее (xi > 0) и, кроме того, >0 в случае задачи С2(р)), то Vvt(xt)=p. Другими словами, градиент функции г>;(-), вычисленный для набора благ, совпадающего с рыночным спросом потребителя, равен вектору рыночных цен этих благ. Таким образом, градиент функции гь( ) представляет собой обратную функцию спроса р;(х;) г-ro потребителя - вектор цен первых I благ, при котором потребитель предъявляет спрос именно на этот набор благ. В классе квазилинейных экономик важную роль играет случай когда предпочтения всех потребителей, помимо свойства квазилинейности обладают свойством сепарабельности, т.е. функции полезности таких потребителей представимы в виде "ifer"! xih zi) ~ vi(xilT--i xil) + zi ~ ~}2vik(xik) + Zi- к Если функция полезности г-го потребителя имеет такой вид, то задачу потребителя Сх(р) можно разложить на I задач - по одной на каждое благо кроме (/+1)-го: г'г(жп,..., хи) - pkxik max *it0Vfc (Clk(Pk))? I Теорема 14. j Если ж; - решение задачи потребителя Сх(р), то ха. - j решение задачи С1к(рк). Обратно, если xik - решение за- | Дачи Cik(Pk) при к = 1, ..., I, то ж, = (хп, ..., хи) - решение j задачи Сх(р) при р = (ръ ..., Pl). Доказательство. Доказательство оставляется в качестве упражнения. ж Из данной теоремы следует, что функция спроса на k-е благо зависит только от цены на это благо, т.е. имеет вид xik(pk). В этом случае (при условии дифференцируемости) необходимое условие оптимальности потребительского набора (ж;, zt) (как в случае экономики так и в случае ?% при г;>0) имеет вид: ik причем если xik>0, то Это условие является также и достаточным, если vik(-) - вогнутые функции. Из Теоремы 14 следует, что, вместо исходной задачи мы можем использовать для анализа спроса на к-е благо задачу С1к(рк). Мы будем предполагать, что функция vik(xik) дважды дифференцируема, имеет положительную производную и строго вогнута. Строгая вогнутость гарантирует, в числе прочего, что если решение задачи С1к(рк) существует, то оно единственно. Очевидно, что это решение есть значение функции спроса рассматриваемого потребителя на к-е благо при данном рк, xik(pk). Рассмотрим условия существования решения задачи С1к(рк). (Заметим, что из Теоремы 14 следует, что решение исходной задачи Сх(р) в случае сепарабельной функции полезности существует тогда и только тогда, когда существуют решения задач Cu-Ы при любом к= 1,..., I.) Введем обозначения ? sup ^>0 CIXik и Мдип,(хц dxik Легко видеть, что при любом рк, таком что р< рк< р, решение задачи С1к(рк) существует. Действительно в силу непрерывности функции dvik(xik)/дхл, существует xik, такое что Эх, Это xik должно быть решением задачи потребителя при ценах рк. Кроме того, при ценах рк< р задача С1к(рк) не имеет решения. Покажем это. Пусть при рк< р существует решение xik(pk) > 0. Тогда должно выполняться необходимое условие оптимума (условие первого порядка) f)'-., (г, (;,,)) дхгк Откуда в силу того, что рк< р имеем di'jxjp,,)) <)rjr,) ^ 1П1х,Д>0 OX,!, v/X.i, Рассмотрим теперь значение функции ' * в точке xik(pk) + oxik di'n е. В силу убывания функции дх., dvjxjpt)+e) <)r,( г, (!>,)) Э'' ж dxik при любом е >0. Откуда получаем +?) ()г.,(.г.,(//,)) dvik(xik) Ss 1Ш x^o Ч p- "Х''ХI ж ж Так как xik(pk) + e > 0, мы получили противоречие с определением инфимума. Тем самым предположив существование решения задачи С1к(рк) прир,^ р мы пришли к противоречию, а значит полностью обосновали что при рк< р задача С1к(рк) не имеет решения. Покажем теперь, что xik(pk) Ч> 0 при рк Ч> Рассмотрим для этого два случая: р = и р < Пусть р = оо. При рк > р, по доказанному ранее решение xik(pk) задачи С1к(рк) существует, причем оно будет внутренним (xik(pk) > 0), так как любое значение рк > р по непрерывности функции Чг-1Ч'-может быть реализовано при соответствующем подборе xik. oxik Это означает что условие первого порядка в этой задаче выпол- Эг'ь (ж,,.(,.)) нено как равенство г:Ч1Ч= рк при рк > р, и определяет функ- "хк цию спроса х1к(рк) при рк>р. Рассмотрим теперь последовательность {pi}, такую что limД^ pi = оо. Выделим из последовательности {р" [ возрастающую подпоследовательность {pi}. На основании подпоследовательности цен {рк'} построим соответствующую ей последовательность объемов спроса {жд} по правилу Ч= pi. Так как lim. pi = о, то в "Хгк силу строгой вогнутости функции полезности имеем, что последовательность объемов спроса {x"i} убывает, причем x"i+1< х"к. Как мы отметили выше при рк > р решение задачи С1к(рк) является внутренним и, таким образом, х"к > О V ns, но каждая убывающая и ограниченная снизу последовательность имеет предел. Пусть xik - предел этой последовательности объемов спроса и xik>0. Тогда, как нетрудно заметить, подпоследовательность {pi} имеет (в силу di'ii.fe.). Д dvik(xik) непрерывности Ч"s " ) конечный предел Ч , что противо- речит ее построению. Получив противоречие, мы доказали, тем самым, что xik= 0 и тем самым, что xik(pk) Ч> 0 при рк Ч> Пусть теперь р < Тогда в силу убывания функции dvik(xik)/dxik имеет место равенство р = lim ^ ' = 11ИХ () г Тогда при любой цене рк > р выполнено Рк- 0) дх г к Отсюда следует, что при рк > р спрос на данное благо равен нулю, т.е. xik(pk) = 0, поскольку в силу вогнутости целевой функции это необходимое условие оптимальности является также и достаточным. Отметим, что так как функция полезности в задаче СМ является строго вогнутой, то xik(pk) =0 - единственное решение этой задачи. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "2. Характеристика поведения потребителей в квазилинейных экономиках" |
|
|