Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Микроэкономика
| Бусыгин В.П, Желободько Е.В, Цыплаков А.А.. Микроэкономика. Третий уровень, 2005 | |
6.2 Характеристика поведения потребителей в квазилинейных экономиках |
|
|
В дальнейшем сравниваются потребительские наборы, которые оказываются рыночными равновесиями при различных организациях рынков (совершенная конкуренция, монополия, олигополия и т. д.). При этом всюду предполагается, что потребители рассматривают рыночные цены как данные. Другими словами, определяя предпочитаемый потребительский набор (xi,Zi) при рыночных ценах благ (p, 1), потребитель в экономике EQ решает следующую задачу: Vi(xii,... ,жй) + Zi ^ max pxi + Zi ^ ei, (CQ) Xifc ^ 0. Соответствующая задача в экономике E+ включает дополнительное ограничение Zi ^ 0. (Будем обозначать эту задачу через (C++).) Здесь через в обозначен доход потребителя. Имеют место следующие результаты, характеризующие оптимальный выбор потребителя. Теорема 81: Предположим, что (Xi,Zi) - решение задачи потребителя (CQ) при ценах p. Тогда Xi является решением следующей задачи: Vi(xii,..., %ц) - pXi ^ max Xifc ^ 0. (й) И обратно, пусть Xi - решение задачи (й), тогда (Xi,e - pXi) - решение задачи (CQ) при ценах p. J Доказательство: Доказательство оставляется в качестве упражнения. ж Это означает, что спрос потребителя на первые l благ не зависит от его дохода. Аналог этого результата верен и в случае задачи (C++), когда допустимые потребительские наборы удовлетворяют дополнительному условию Zi ^ 0, что показывает следующая теорема. Теорема 82: Предположим, что Vi(-) - вогнутая функция, а (Xi,Zi), - решение задачи потребителя (C++) при ценах p (соответствующей экономике E+), такое что Zi > 0. Тогда Xi является решением следующей задачи Vi(xii,..., хц) - pXi ^ max Xifc ^ 0 Vk (о) И обратно, пусть Xi - решение задачи (й), и в ^ pXi, тогда (Xi,e - pXi) - решение задачи (CQ+) при ценах p и доходе fa. J Доказательство: Доказательство оставляется в качестве упражнения. ж Предположим дополнительно, что Vi(-) - непрерывно дифференцируемая функция. Тогда для решения задачи оптимального выбора потребителя (CQ) (или (CQ+) при Zi > 0) должно выполняться следующее условие Vvi(Xi) ^ p, причем если Xik > 0, то dVi(X i) ~Я = Pfc. dxifc Таким образом, если решение задачи потребителя внутреннее (Xi > 0) и, кроме того, Zi > 0 в случае задачи (C++)), то Vvi(Xi) = p. Другими словами, градиент функции Vi(-), вычисленный для набора благ, совпадающего с рыночным спросом потребителя, равен вектору рыночных цен этих благ. Таким образом, градиент функции Vi(-) представляет собой обратную функцию спроса pi(Xi) потребителя i - вектор цен первых l благ, при котором потребитель предъявляет спрос именно на этот набор благ. В классе квазилинейных экономик важную роль играет случай когда предпочтения всех потребителей, помимо свойства квазилинейности обладают свойством сепарабельности, т. е. функции полезности таких потребителей представимы в виде Ui (Xi!,...,Xa, Zi) = Vi(Xil, ... ,жй) + Zi = E Vifc (Xik) + Zi. fceK Если функция полезности i-го потребителя имеет такой вид, то задачу потребителя (CQ) можно разложить на l задач - по одной на каждое благо кроме (l + 1)-го: Vifc (xifc) - pfcXifc ^ max (CQfc) xik Z0 Теорема 83: Если Xi - решение задачи потребителя (CQ) при ценах p, то Xik - решение задачи (Cgfc) при цене pk. Обратно, если Xik - решение задачи (Cgk) при цене pk при k = 1,..., l, то Xi = (Xii,..., Xiz) - решение задачи (CQ) при p = (pi,... ,рг). J Доказательство: Доказательство оставляется в качестве упражнения. ж Из данной теоремы следует, что функция спроса на k -е благо зависит только от цены на это благо, т. е. имеет вид Xik(pk). В этом случае (при условии дифференцируемости) необходимое условие оптимальности потребительского набора (Xi,^i) (как в случае экономики EQ , так и в случае E+ при Zi>0) имеет вид: dvifc (Xifc) -^ < pfc, dxifc причем если Xik > 0, то dvifc (Xifc) = pk. dxifc Это условие является также и достаточным, если Vik(ж) - вогнутые функции. Из Теоремы 83 следует, что, вместо исходной задачи мы можем использовать для анализа спроса на k -е благо задачу (Cgk). Мы будем предполагать, что функция Vik(xik) дважды дифференцируема, имеет положительную производную и строго вогнута. Строгая вогнутость гарантирует, в числе прочего, что если решение задачи (Cgk) существует, то оно единственно. Очевидно, что это решение есть значение функции спроса рассматриваемого потребителя на k -е благо при данном pk, ж^ (pk). Рассмотрим условия существования решения задачи (Cgk). (Заметим, что из Теоремы 83 следует, что решение исходной задачи (CQ) в случае сепарабельной функции полезности существует тогда и только тогда, когда существуют решения задач (Cgk) при любом k = 1,..., l.) Введем обозначения dvjfc (xjfc) p = sup Ч xik>0 dxik и . Д dvjfc (xifc) p = mt Ч . - xik >0 dxifc Легко видеть, что при любом pk, таком что p < pk < p, решение задачи (Cgk) существует. Действительно в силу непрерывности функции dvik(xik)/dXjfc, существует xik, такое что dvjfc (xifc) Чя = pfc. dxfc Это Xjfc должно быть решением задачи потребителя при ценах pk. Кроме того, при ценах pk < p задача (Cgk) не имеет решения. Покажем это. Пусть при pk < p существует решение xik (pk) ^ 0. Тогда должно выполняться необходимое условие оптимума (условие первого порядка) dvik(xik(pk)) < pk. dxik Откуда в силу того, что pk < p имеем dvik(xik(pk)) < .nf dvik(xik) dxik xik>o dxik Рассмотрим теперь значение функции dvik (xik )/dXik в точке Xik (pk) + ? .В силу убывания этой функции имеем dvik (xik (pk) + g) < dvik (xik (pk)) dxik dxik при любом g > 0. Откуда получаем dvik(xik(pk) + g) < dvik(xik(pk)) < .nf dvik(xik) = dxik dxik ^ xik >0 dxik Так как xik (pk) + g > 0, мы получили противоречие с определением инфимума. Тем самым, предположив существование решения задачи (CQk) при pk < p мы пришли к противоречию, а значит полностью обосновали то, что при pk < p задача (C^k) не имеет решения. Покажем теперь, что xik (pk) ^ 0 при pk ^ то. Рассмотрим для этого два случая: pi = то и p < то. Пусть pi = то. При pk > p, по доказанному ранее решение xik (pk) задачи (CQk) существует, причем оно будет внутренним (xik (pk) > 0), так как любое значение pk > p по непрерывности функции dvik(xik)/dxik может быть реализовано при соответствующем подборе xik. Это означает, что условие первого порядка в этой задаче выполнено как равенство при pk > p: dvik(xik(pk)) = pk, dxk и оно определяет функцию спроса Xik (pk) при pk > p. Рассмотрим теперь последовательность {pn}, такую что lim pn = го. Выделим из последовательности {pn} возрастающую подпоследовательность {p*}. На основании подпоследовательности цен {p*} построим соответствующую ей последовательность объемов спроса {X*k} по правилу dVjkKfc) = pns dXik pk . Так как p* = го, то в силу строгой вогнутости функции полезности имеем, что после довательность объемов спроса {X*k } убывает, причем X^^1 < ж*^ . Как мы отметили выше при pk > p решение задачи (Cgk) является внутренним и, таким образом, ж* > 0 Vns, но каждая убывающая и ограниченная снизу последовательность имеет предел. Пусть Xik - предел этой последовательности объемов спроса и Xik > 0. Тогда, как нетрудно заметить, подпоследовательность {p*s} имеет (в силу непрерывности dvik(Xik)/dXik) конечный предел dvik(Xik)/dXik, что противоречит ее построению. Получив противоречие, мы доказали, тем самым, что Xik = 0 и тем самым, что Xik(pk) ^ 0 при pk ^ го. Пусть теперь pi < го. Тогда в силу убывания функции dvik(xik)/dxik имеет место равенство dvik(xik) dvik (xik) p = lim Ч = max Ч . xik ^o dxik xik zo dxik Тогда при любой цене pk Z p выполнено dvik (0) ^ pk. dxik Отсюда следует, что при pk Z p спрос на данное благо равен нулю, т. е. Xik (pk) = 0, поскольку в силу вогнутости целевой функции это необходимое условие оптимальности является также и достаточным. Отметим, что так как функция полезности в задаче (Cgk) является строго вогнутой, то Xik (pk) =0 - единственное решение этой задачи. Тем самым мы доказали, что в общем случае Xik (pk) ^ 0 при pk ^ го. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "6.2 Характеристика поведения потребителей в квазилинейных экономиках" |
|
|