Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Микроэкономика
| Бусыгин В.П, Желободько Е.В, Цыплаков А.А.. Микроэкономика. Третий уровень, 2005 | |
6.1 Характеристика Парето-оптимальных состояний в квазилинейных экономиках |
|
|
Квазилинейностью предпочтений потребителей объясняется ряд особых свойств рассматриваемой экономики. В частности, анализировать Парето-оптимальные состояния в квазилинейной экономике можно с помощью следующей задачи оптимизации: Е Vi(xi) - Е Cj (yj) ^ max iei jeJ ' Е Xifc < Е yjk Vk = 1,---,l, (W) iei jeJ xi ^ 0 Vi ? I, у^ ^ 0 Vj ? J Другими словами, верна следующая теорема, дающая полное описание границы Парето экономики EQ . Теорема 78: Состояние {(X1, Z1), Х Х Х, (Xm, Zm), (y 1, Z1), Х Х Х, (yn, Zn)} является Парето-оптимальным состоянием в квазилинейной экономике EQ тогда и только тогда, когда (x ь^^ ^ у l,ХХХ, у n ) является решением задачи (W), Zj = cj (yj) и Е zi = Е wiЧ cj (yj^ iei iei J Доказательство: (^) Докажем сначала, что если {(x1, Z1), Х Х Х, (xm, Zm), (y 1, f1), Х Х Х, (yn, Zn)} - Парето-оптимальное состояние в квазилинейной экономике EQ , то набор (x1, Х Х Х, xm, y 1, Х Х Х, yn) является решением задачи (W). Напомним, что Парето-оптимальное состояние при любом io ? I является решением следующей задачи условной максимизации: Vio (xio) + Zio ^ max Vi(xi) + Zi ^ Vi(xi) + Zi Vi = io Exifc ^ Eyjk Vk = 1, Х Х Х ,l, iei jeJ Е Zi + Е rj < Е iei jeJ iei rj ^ cj (yj) Vj ? J, xi ^ 0 Vi ? I, yj- ^ 0 Vj ? J- Как несложно показать, в этой задаче первое, третье и четвертое неравенства можно заменить на равенства, не изменяя множество решений задачи. Выражая из этих равенств Zi и rj и исключая их из оставшихся неравенств, видим, что данная задача сводится к задаче (W). (^) Обратно, пусть (Xi,...,Xm,y i,...,yn) является решением задачи (W). Рассмотрим произвольные fj, удовлетворяющие балансам Е = Е - Е fj, w iei iei jeJ где fj = Cj (yj) Vj. Легко увидеть, что состояние S = {(Xi, fi), . . . , (Xm, fm), (У1, fi), . . . , (yra, fn)} является допустимым состоянием экономики EQ . Докажем, что оно Парето-оптимально. Пусть это не так, и существует другое допустимое состояние экономики EQ , S = {(X1, Zi), . . . , (Xm, Zm), (У1, fi), . . . , (Уп, fn)}, такое что для всех потребителей (i ? /) Vi(Xi) + Zi Z Vi(Xi) + fi, и существует, по крайней мере, один потребитель io, для которого выполнено vio (Xio ) + Zio > vio (Xio ) + fio. Складывая эти неравенства, получаем Evi(Xi) + E fi >E^(Xi) + E fi. (**) ieI ieI ieI ieI Поскольку S - допустимое состояние, то Е Zi + Е fj = Е Wi ieI jeJ ieI и fj Z cj(yj^j ? J откуда Е Zi < Е Wi - Е Cj(yj). (***) ieI ieI jeJ Складывая (*), (**) и (***), получаем Е vi(Xi) - Е Cj(yj) > Е Vi(Xi) - Е Cj(yj). ieI jeJ ieI jeJ Поскольку (Xi,..., Xm, yi,..., yn) является допустимым в задаче (W), то это означает, что существование состояния S противоречит оптимальности (Xi,..., Xm, yi,..., yn) в задаче (W). I Первая часть доказанной теоремы для экономики E+ в общем случае неверна (см. ниже-приведенный пример). Вторая часть верна при дополнительном предположении о том, что совокупные начальные запасы достаточно велики. Как видно из вышеприведенной теоремы, задача поиска Парето-оптимума для экономики EQ эквивалентна задаче (W). В то же время множество допустимых состояний для экономики E+ является подмножеством множества допустимых состояний для экономики EQ . Поэтому не исключена ситуация, в которой Парето-оптимум экономики E+ не является Парето-опти- мумом экономики EQ и, следовательно, не будет решением задачи (W). Несложно придумать пример экономики E+ и Парето-оптимума этой экономики, так чтобы в этом Парето-оптимуме ограничение Zi ^ 0 оказалось существенным для одного из потребителей, и при снятии этого ограничения можно было бы увеличить полезность одного из потребителей, не уменьшая полезность остальных. Читатель может сконструировать такой пример самостоятельно. Но даже если в Парето-оптимуме экономики E+ все ограничения Zi ^ 0 выполняются как строгие неравенства, снятие данных ограничений может позволить осуществить Парето-улуч- шение. Приведем пример. Пример 33: Рассмотрим экономику с одним потребителем (m = 1), одним производителем (n = 1) и двумя благами (1+1 =2). Для упрощения обозначений индексы будем опускать. Предпочтения потребителя заданы функцией v(x) = 5x3 - 9x2 + 6,9x, а технологическое множество фирмы - функцией издержек c(x) = x4. Обе функции являются возрастающими при x ^ 0, поэтому y = x, r = c(x) и z+r = и, так что поиск Парето-оптимума сводится к максимизации функции v(x) - c(x) при ограничениях x ^ 0 и c(x) ^ и. Здесь ограничение c(x) ^ и соответствует ограничению z ^ 0. Можно переписать последнее ограничение в виде x ^ с-1 (и). 0,025 Ч0,025 Ч0,05 Ч0,075 Ч0,1 0,125 Рис. 6.1. Пример существенности ограничения неотрицательности линейного члена Пусть и = 1, при этом с-1 (и) = 1. Как видно на Рис. 6.1 функция v(x) - c(x) имеет два локальных максимума: xi ^ 0,83473 и x2 ~ 1,6988. Только второй из этих максимумов является глобальным. Парето-оптимум экономики E+ достигается при x = xi, поскольку максимизация идет на отрезке [0,1]. В то же время Парето-оптимум экономики EQ и, следовательно, решение задачи (W) достигается при x = x2. А В этом примере ключевым моментом является то, что функция v(-) не является вогнутой. Можно было построить подобный пример иначе: так, чтобы функция v(-) была вогнутой, но функция издержек не была выпуклой. Таким образом, для доказательства аналога первой части предыдущей теоремы в лвыпуклой экономике E+ следует потребовать, чтобы все функции Vi(^) были вогнутыми, а функции Cj (yj) - выпуклыми. Аналогом этой теоремы для случая экономики E+ является следующая теорема. Теорема 79: 1) Предположим, что функции Vi(-) вогнуты, а функции издержек Cj(ж) выпуклы, и пусть S = {(Xi, Zi), . . . , (xm, Zm), (y 1, п), . . . , (Уп, ГД)} Ч Парето-оптимальное состояние в квазилинейной экономике E+, причем Zi > 0 Vi. Тогда набор (Xi,..., xm, yi,..., yn) является решением задачи (W). 2) Обратно, пусть (Xi,..., Xm, yi,..., yn) является решением задачи (W), причем Е Wi - Е cj (yj) Z ieI jeJ Тогда для произвольных fi,..., fm Z , удовлетворяющих балансам Е fi = Е Wi- cj(y j) ieI ieI набор {(Xi, fi),..., (Xm, fm), (y 1, c1(y 1)),..., (yn, cn(yn))} является Парето-оптимальным со-стоянием квазилинейной экономике E+. J Доказательство: 1) Доказательство опирается на следующее вспомогательное утверждение: если S - Парето-оптимум в экономике E+, удовлетворяющий условиям теоремы, то он также является Парето-оптимумом в соответствующей экономике EQ . Если это утверждение верно, то доказываемое является тривиальным следствием предыдущей теоремы. Докажем это вспомогательное утверждение от противного. Пусть в соответствующей экономике EQ существует допустимое состояние S = {(X1, Zi), . . . , (Xm, Zm), (yi, Zi), . . . , (УП, Zn)}, которое доминирует по Парето состояние S. Рассмотрим выпуклую комбинацию этих двух состояний: S(a) = aS + (1 - a)S, a ? [0,1]. Существует достаточно малое a > 0, такое что S(a) является допустимым в экономике E+ . Однако при a > 0 состояние S(a) представляет собой Парето-улучшение в экономике E+ по сравнению с Sf , что противоречит предположению теоремы. Подробное изложение доказательства оставляется в качестве упражнения. 2) Доказательство оставляется в качестве упражнения. I Приведенные выше результаты позволяют нам в случае квазилинейной экономики использовать задачу (W) для анализа Парето-оптимальных состояний. В ситуации, когда функции Vi(-) строго вогнуты, а функции Cj(ж) выпуклы, решение задачи (W) единственно, поэтому два Парето-оптимальных состояния в экономике EQ (в экономике E+, если Zi и fi положительны) {(Xi, Zi), . . . , (Xm, Zm), (y 1, Zi), . . . , (УП, Zn)}, {(Xi, fi), . . . , (Xm, Zm), (У1, fi), . . . , (Уп, fn)}, могут различаться лишь объемами потребления (l + 1) -го блага. Другими словами, Xi = Xi Vi ? 1 и yj = yj Vj ? J. Поэтому, как несложно заметить, в случае экономики EQ граница Парето представляет собой гиперплоскость вида (читателю предлагается доказать этот результат самостоятельно) = const. ieI В экономике E+ граница Парето может лзагибаться из-за того, что некоторые из ограничений fi Z являются существенными, что иллюстрирует следующий пример. Mu2 6 8 10 Рис. 6.2. Парето-граница в экономике типа E+ 0 2 4 14 12 10 8 6 4 2 0 Пример 34: На Рис. 6.3. изображена Парето-граница в экономике типа E+ со следующими параметрами: 2 блага (l + 1 = 2), 2 потребителя, с функциями полезности ui = 2^X1 + zi и U2 = 4^X2 + Z2, и один производитель с функцией издержек c(y) = У. Начальные запасы 2-го блага равны 10. Несложно проверить, что решение задачи (W) дает xi = 1 и X2 =4. Однако это решение описывает точки границы Парето только при ui ? [2, 7]. Парето-граница при этом имеет вид u2 = 15 - u1. При ui ? [0, 2] Парето-граница имеет вид 1. ui u2 = 14 - -4. При ui ? [7,11] Парето-граница имеет вид Д u2 = 4\/11 - ui. В случае двух благ можно привести графическую иллюстрацию Парето границы экономики типа E+ на основе диаграммы Эджворта (см. Рис. 6.3). Жирная линия представляет собой границу Парето. Так как в достаточно широком классе случаев решения задачи (W) описывают Парето-гра- ницу, то целевую функцию задачи (W) можно использовать для решения вопроса о принадлежности некоторого допустимого состояния к Парето-границе. В связи с этим, естественно рассматривать функцию W(х, y) = ? ^г(хг) - ? Cj (Yj) iei jeJ в качестве индикатора благосостояния. Основанием для этого является следующая теорема. Пусть S = {(Xi, zi),..., (Xm, гт), (yi, fi),..., (yra, fn)}, S = {(Xi, zi), . . . , (Xm, Zm), (yi, fi), . . . , (yД, fn)} - допустимые состояния экономики EQ (E+). Тогда выполнена следующая теорема. Рис. 6.3. Парето-граница экономики типа E+ на основе диаграммы Эджворта Теорема 80: 1) Если каждый из потребителей в состоянии S имеет не меньшую полезность, чем в состоянии S, т. е. Vi(xi) + Zi Z Vj(xj) + Zi Vi, и4 E Zi + E cj(yj) = E iei iei jeJ то W(X,y) Z W(X,y), причем если существует потребитель io, такой что vio (Xio ) + Zi0 > vio (Xio ) + Zi0 (т. е. состояние S доминирует S по Парето), то W(X,y) > W(X,y). 2) Для экономики EQ выполнено и обратное: если для состояний S и S верно W(X, y) > W(X, y), то можно подобрать Zi,..., Z^ такие, что состояние экономики l(Xi , Z1), . . . , (Xm, Zm), (y Ь^..^ (y n,Zn)} будет допустимым, причем Vi(Xi) + Zi > Vi(Xi) + Zi Vi. J Доказательство: Доказательство оставляется в качестве упражнения. ж Первая часть данного утверждения говорит о том, что любое Парето-улучшение сопровождается ростом индикатора W(ж). Смысл второй части приведенного утверждения состоит в том, что если W(X, y) > W(X, y), то можно в состоянии S произвести такие трансферты (перераспределить деньги), что новое состояние будет строго доминировать состояние S 4Это условие будет, например, выполнено в общем равновесии.? по Парето. Заметим, что некоторые Zi при этом могут оказаться отрицательными, поэтому вторая часть утверждения неприменима к экономике E+. В Парето-оптимуме квазилинейной экономики индикатор благосостояния достигает максимума. Пусть W - это максимальное значение. Разность между W и уровнем индикатора W(S) в некотором состоянии S называется чистыми потерями благосостояния: DL = W - W (S). Сравнение уровней благосостояния в анализируемом состоянии и в идеальной ситуации позволяет количественно оценить, насколько далеко данное неэффективное состояние от границы Парето, и сколько экономика в целом теряет вследствие неэффективности. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "6.1 Характеристика Парето-оптимальных состояний в квазилинейных экономиках" |
|
|