Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Экономический анализ
| Маракулин В. М.. Равновесный анализ математических моделей экономики с нестандартными ценами., 2001 | |
2.2.2 Техника точечно-множественных отображений |
|
|
Доказательство существования аппроксимирующих равновесий основано на применении техники точечно-множественных отображений (соответствий) и теоремы о неподвижной точке. Ниже даётся соответствующая сводка результатов. Пусть X и Y некоторые множества. Тот факт, что F является либо точечно-множественным отображением, либо отношением, либо соответствием из A в B, мы будем записывать в виде F : X ^ Y (здесь F(x) С Y Vx G X) или в виде x ^ F(x), x G X. Графиком отображения F : X ^ Y называется множество Gr(F) = {(xy) G X х Y l y G F(x)}. Далее пусть X и Y топологические пространства. Нас будут прежде всего интересовать свойства разного рода непрерывности соответствия, выраженные в терминах топологий на X и Y. Определение 2.2.3 Отображение F : X ^ Y называется полунепрерывным сверху (п. н. св.) в точке x G X, если при F(x) = 0 для каждой окрестности U множества F(x) найдётся такая окрестность V точки x, что F(x') С U для всех x' G V. Отображение называется полунепрерывным сверху, если оно п. н. св. для всех x G X. Определение 2.2.4 Отображение F : X ^ Y называется полунепрерывным снизу (п. н. сн.) в точке x G X, если для каждой открытого U С Y, такого, что F(x) П U = 0 найдётся такая окрестность V точки x, что F(x') П U = 0 для всех x' G V. Отображение называется полунепрерывным снизу, если оно п. н. сн. для всех x G X. Определение 2.2.5 Отображение F : X ^ Y называется замкнутым, если замкнут его график. Определение 2.2.6 Отображение F : X ^ Y называется непрерывным, если оно полунепрерывно сверху и снизу одновременно. Для функций (точечно-точечных отображений) понятия полунепрерывности сверху и снизу совпадают с обычной непрерывностью, а если область значений компактна, то они эквивалентны замкнутости отображения. Следующие утверждения описывают характеристические свойства полунепрерывных отображений. Утверждение 2.2.1 Отображение F : X ^ Y полунепрерывно сверху ^^ выполнена одна из альтернатив: множество {x G X l F(x) С U} открыто для любого открытого U С Y; множество F-i (G) = {x G X l F(x) П G = 0} замкнуто для любого замкнутого G С Y. Утверждение 2.2.2 Отображение F : X ^ Y полунепрерывно снизу ^^ выполнена одна из альтернатив: множество {x G X l F(x) С G} замкнуто для любого замкнутого G С Y; множество F-i (U) = {x G X l F(x) П U = 0} открыто для любого открытого U С Y. Утверждение 2.2.3 Пусть отображения Fk : X ^ Y к = 1,...,m полунепрерывны сверху (снизу). Тогда отображение x ^ П Fk(x) является полунепрерывным сверху (снизу) соответственно. Если, дополнительно, Y - линейное пространство, то x Fk(x) является полунепрерывным сверху (снизу) соот ветственно. Если, более того, Y - конечномерное линейное пространство, то x ^ co^2 Fk(x) является полунепрерывным сверху (снизу) соответственно. В приложениях весьма полезно следующее Утверждение 2.2.4 Пусть Y компакт и отображение F : X ^ Y замкнуто-значно. Тогда отображение F полунепрерывно сверху ^^ F замкнуто. Рассмотрим далее применяемую нами теорему о неподвижной точке. Пусть F : X ^ X точечно-множественное отображение. Тогда x G X называется неподвижной точкой, если x G F(x). Теорема 2.2.3 (Какутани) Пусть X - непустое, компактное и выпуклое подмножество некоторого конечномерного пространства . Пусть F : X ^ X замкнутое отображение, и при этом F(x) непустой выпуклый компакт для каждого x G X. Тогда у отображения F существует неподвижная точка. Селектором точечно-множественного отображения F : X ^ Y называется такая функция f : X ^ Y, что f (x) G F(x) для каждого x G domF. Теорема 2.2.4 (Майкл) Пусть F : X ^ E - полунепрерывное снизу точечно-множественное отображение из метрического пространства X в конечномерное пространство E , такое, что F(x) непустое выпуклое подмножество для каждого x G X. Тогда отображение F имеет непрерывный селектор, определённый на X. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "2.2.2 Техника точечно-множественных отображений" |
|
|