Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная Экономика Микроэкономика
Бусыгин В.П, Желободько Е.В, Цыплаков А.А.. Микроэкономика. Третий уровень, 2005

5.3 Существование общего равновесия


Одним из наиболее важных вопросов, изучаемых при рассмотрении моделей общего равновесия, является вопрос о том, существует ли в данной экономике равновесие (равновесия). Ведь если равновесие не существует, то анализ его становится бессмысленным. В этом параграфе мы изложим один из стандартных способов доказательства существования равновесия, делая упор на экономиках обмена. Альтернативные способы доказательства существования равновесия, несколько более сложные, но опирающиеся на более слабые предположения, приведены в приложении к главе.
Типичное доказательство существования равновесия основано на демонстрации того факта, что некоторое (подходящим образом построенное) отображение имеет неподвижную точку, и эта неподвижная точка соответствует состоянию равновесия. При этом обычно используется
теорема Брауэра о существовании неподвижной точки непрерывного отображения некоторого компактного выпуклого множества (обычно, множества цен) в себя, или ее непосредственное обобщение - теорема Какутани о неподвижной точке точечно-множественного выпуклознач- ного отображения компактного выпуклого множества в себя.
В наиболее простой версии доказательства построение такого отображения опирается на функцию (отображение) избыточного спроса E(p), то есть превышение спроса над предложением. (Формальное определение избыточного спроса для различных типов экономик при-ведено выше.) Рассматривается вопрос о существовании вектора цен p, такого что 0 G E(p) (E(p) = 0, если избыточный спрос является функцией), то есть такого вектора цен, который уравновешивает спрос и предложение на всех рынках.
Доказательство существования равновесия проводится в два этапа. Сначала доказывается, что те или иные свойства избыточного спроса гарантируют существование равновесия. Далее, для экономик различных типов указываются условия (свойства предпочтений и т. д.), которые гарантируют, что избыточный спрос для этих моделей облагает данными свойствами.
В этом параграфе мы рассмотрим условия существования равновесия в экономике обмена, в которой решение задачи каждого потребителя существует и единственно при любом положительном векторе цен благ, и, следовательно, E(p) является функцией, определенной на множестве положительных цен.
Поскольку функции избыточного спроса положительно однородны нулевой степени, то если p - равновесный вектор цен, то Ap - также равновесный вектор цен при любом А > 0 и наоборот. Т. е. равновесный вектор цен определяется с точностью до нормировки цен. Ниже будут описаны ситуации, в которых гарантируется существование равновесия с положительными ценами. Поэтому равновесный вектор цен будем искать в следующем множестве цен (симплексе цен):
S1-1 = { p Z 0 Е Pfc = 1
^ fceK
При этом каждому вектору цен p из R+ (за исключением нулевого вектора) можно однозначно сопоставить вектор Ap из S1-1 при некотором А > 0. Этот способ нормировки цен удобен тем, что множество S1-1 компактно и выпукло (что, как мы увидим ниже, позволяет непосредственно использовать теорему Брауэра).
Следующее утверждение носит вспомогательный характер и используется в дальнейшем для доказательства существования наиболее простого варианта теоремы существования равновесия в модели обмена. Оно указывает свойства функции избыточного спроса E(-), которые гарантируют существование вектора цен, при котором этот избыточный спрос равен является неположительным, т. е. спрос не превышает предложение.
Теорема 63:
Предположим, что функция избыточного спроса E(-) является непрерывной на множестве цен p G R+, p = 0, положительно однородна нулевой степени и удовлетворяет закону Вальраса, т. е. pE(p) = 0.
Тогда существует вектор цен p G R+, p = 0, такой что E(p) ^ 0. При этом если p > 0, то E(p) = 0. J
Доказательство: Определим на множестве S1-1 следующую систему функций:
= Pk + max{0 Efc(p)} , G K. 1 + ESGK max{0,Es(p)}'
Функция g(-) удовлетворяет всем условиям теоремы Брауэра: она отображает компактное выпуклое множество S1-1 в себя по построению и является непрерывной, так как состоит из операций, сохраняющих непрерывность. Поэтому существует вектор цен p, являющийся неподвижной точкой функции g(-):
g(P) = Р,
т. е.
/-ч Pk + max{0,Ek (p)}
Pk = gk(p) = Ч fn . Vk е K.
1 + ? seK max{0,Es(p)}
Преобразуя это выражение, получим
pk E max{0, Es(p)} = max{0, Ek(p)} Vk е K.
seK
Умножим каждое из этих равенств на Ek(p) и сложим:
Е PkEk(Р) Е max{0,Es(p)} = Е Ek(p)max{0,Ek(p)}.
keK seK keK
В соответствии с законом Вальраса первый сомножитель левой части данного соотношения равен нулю, поэтому
Е Ek(p) max{0,Ek(p)} = 0. keK
Величина Ek(p) max{0, Ek(p)} равна либо 0, либо (Ek(p))2. Поскольку каждое из слагаемых неотрицательно, то сумма может быть равна нулю, только если каждое слагаемое равно нулю. Отсюда следует, что Ek(p) ^ 0 Vk е K. I
Правило пересчета структуры цен, используемое в приведенном доказательстве, состоящее в том, что цены p заменяются на цены g(p) , имитирует возможную реакцию органа, ответственного за ценообразование, на отклонения от равновесия на рынках благ. В соответствии с ним цена дефицитного блага увеличивается на величину, пропорциональную дефициту.
Коэффициент пропорциональности выбирается так, чтобы новый вектор цен был элементом elЧ i
множества Sl i.
Рассмотрим теперь, какие условия на предпочтения гарантируют нам выполнение предположений вышеприведенного утверждения. Предположим, что Xj = R++. Тогда строгая выпуклость и непрерывность предпочтений обеспечивает существование и единственность решения задачи потребителя, а также непрерывность функций избыточного спроса по крайней мере на множестве строго положительных цен (p е R++). Локальная ненасыщаемость предпочтений гарантирует выполнение закона Вальраса (pE(p) = 0). Таким образом, обычные предположения относительно предпочтений обеспечивают требуемые (для существования равновесного вектора цен) свойства избыточного спроса, правда не на всем множестве цен p е R++, p = 0, а только на его подмножестве - векторах положительных цен, тогда как в доказательстве утверждения требуется выполнение аналогичных свойств на множестве всех неотрицательных цен. Более того, задачи потребителей могут не иметь решения если цены некоторых благ равны нулю. Это значит, что при таких ценах функция избыточного спроса не определена.
Описанный ниже прием позволяет в ряде случаев обойти это затруднение путем модификации избыточного спроса таким образом, чтобы
модифицированный спрос был определен для всех (неотрицательных) цен;
удовлетворял условиям утверждения;
совпадал на множестве векторов равновесных цен с фактическим избыточным спросом.
Таким образом этот прием позволяет установить простейший вариант теоремы существования равновесия в модели обмена.
Теорема 64:
Предположим, что в экономике обмена Xi = R+ Vi, предпочтения потребителей локально ненасыщаемы, непрерывны и строго выпуклы, а начальные запасы всех потребителей положительны (Ui > 0 Vi). Предположим также, что существует потребитель, предпочтения которого строго монотонны. Тогда существует равновесие, такое что p G R++. J
Доказательство: Модифицируем задачу потребителя, введя дополнительно к бюджетному огра-ничению количественное ограничение (квоту на потребление) по каждому продукту следующего типа:
xik ^ wEk + е, i G I, k G K.
где wEfc - совокупные запасы благ в экономике, е - произвольная положительная константа.
Модифицированное таким образом бюджетное множество каждого потребителя оказывается компактным при любом векторе цен p G R+ (с учетом того, что Xi = R+), и поэтому в случае непрерывных предпочтений всегда существует наиболее предпочитаемый потребительский набор. В случае, когда предпочтения строго выпуклы, этот набор единственный, и таким образом, оказываются определенными модифицированные функции спроса x*(p) и, следовательно, модифицированная функция избыточного спроса E*(-). При этом функция E*(-) оказывается непрерывной.
Непрерывность функции E*(-) на p G R+\0 доказывается способом, аналогичным доказательству непрерывности функции спроса на множестве цен p G R++ (см. главу, посвященную поведению потребителя). При этом используется то, что предпочтения потребителей непре-рывны и строго выпуклы, а начальные запасы потребителей строго положительны (Ui > 0).
Тогда Теорема 63 гарантирует существование вектора цен p, при котором выполняется соотношение
E*(p) < 0.
Покажем теперь, что для любого вектора цен p, такого что E*(p) ^ 0 определен избыточный спрос исходной задачи E(p), и выполнено соотношение E*(p) = E(p). Пусть E*(p) ^ 0. Тогда EieT x|(p) ^ Eie/ U = US . Отсюда следует, что
Xk(p) ^ wSfc - X xSfc (p) ^ ^Sfc < wSfc + е.
Это означает с учетом выпуклости предпочтений, что дополнительно введенные нами ограничения несущественны, т. е. для всех потребителей выполнено x|(p) = xi(p). (Если это не так, и в бюджетном множестве потребителя i найдется набор xi, более предпочтительный, чем x|(p), то все наборы на внутренней части отрезка, соединяющего xi и xi(p) также более предпочтительны, чем x* (p). Но по крайней мере часть данного отрезка принадлежит модифицированному бюджетному множеству, а это противоречит определению x* (p).) Таким образом, E*(p) = E(p) .
Поскольку по предположению теоремы существует потребитель, предпочтения которого строго монотонны, то p G R++, т. е. цена любого блага окажется положительной. Действительно, предположение о том, что существует благо k, цена которого равна нулю, противоречит тому факту, что x* (p) является выбором такого потребителя при ценах p.
По Теореме 63 если p > 0, то E * (p) = 0. Следовательно, E(p) = 0. I
Заметим, что мы, вообще говоря, не можем использовать прием, состоящий во введении количественных ограничений, в ситуации, когда начальные запасы хотя бы одного из потребителей не содержат хотя бы одного блага. Как показывает приведенный ниже пример, в этом случае функция избыточного спроса может не быть непрерывной на границе множества цен. Пример 29 ((Контрпример к теореме в случае нулевых начальных запасов одного из благ)
Пусть в экономике обмена есть только два блага (l = 2), функции полезности любого потребителя i имеют вид
uj(xji,xj2) = VX! + VX2,
а начальные запасы равны Uj = (0,1). Очевидно, что предпочтения рассматриваемых потребителей локально ненасыщаемы, непрерывны и строго выпуклы.
Задача потребителя состоит в том, чтобы максимизировать Uj(xji,xj2) при следующих ограничениях:
PiXji + P2Xj2 ^ P2, Xji ^ 0,Xj2 ^ 0. При Pi, P2 = 0 спрос потребителя на второе благо равен
Pi
Xj2 (pi, P2) =
Pi + P2
Таким образом, Xj2(Pi,P2) ^ 1, когда P2 ^ 0. Но если P2 = 0, то полезность можно сделать неограниченно большой, увеличивая Xj2 (спрос на второе благо бесконечен). Таким образом, спрос на 2-е благо не является непрерывным при P2 = 0.
Покажем, что в этой экономике равновесие не существует. При Pi, P2 = 0 спрос потребителя на первое благо равен
P2
Xji (Pi, P2) = 2
Pi (Pi + P2)
т. е. положителен. Значит, при положительных ценах равновесия быть не может, так как в экономике первое благо отсутствует. Если же цена на одно из благ равна нулю, то соответствующий спрос бесконечен, и равновесия при этих ценах тоже нет.
Заметим, что модифицированная функция избыточного спроса не является непрерывной. При Pi,P2 = 0 спрос потребителя такой же, как в исходной модели, и Xj2(Pi,P2) ^ 1 при P2 ^ 0. Но при P2 = 0, спрос на второе благо равен 1 + е. Таким образом, спрос на второе благо не является непрерывным при P2 = 0, и приведенное доказательство существования лне работает. Д
Если в приведенном примере дать хотя бы одному из потребителей ненулевой запас первого блага, то хотя избыточный спрос по прежнему не будет непрерывным, но равновесие существует. (Доказательство этого оставляем читателю в качестве упражнения.) Таким образом, вышеприведенные условия на избыточный спрос являются довольно ограничительными.
В приложении к главе приводится другой вариант теоремы существования (Теоремы 70 и 72), с более слабыми условиями на избыточный спрос. Доказательство этого утверждения состоит в указании правила процесса ценообразования (отличного от описанного выше), имитирующего поведение ценообразующего органа, которое порождает отображение множества цен Sl-i в себя, удовлетворяющее теореме Какутани (о существовании неподвижной точки выпуклозначного замкнутого отображения компактного выпуклого множества в себя).
Рассмотрим также вопрос о том, как использовать те же приемы и полученные результаты для экономики с производством. Чтобы избыточный спрос являлся непрерывной функцией, требуется сделать определенные предположения относительно технологий. Выше мы установили условия, при которых совокупный спрос потребителя является непрерывной функцией. Если, в дополнение к этим условиям, технологическое множество каждого производителя является строго выпуклым, то как предложение, так и совокупный избыточный спрос также будут непрерывными функциями. В случае, когда технологические множества представляются производственными функциями, можно предположить строгую вогнутость последних. Характерным примером этого типа функций является функция КоббаЧ Дугласа.
Вообще говоря, для многих лобычных функций полезности и производственных функций спрос и предложение являются точечно-множественными отображениями, а не функциями (прежде всего если рассматривать их на более широком множестве, чем множество положительных цен). Поэтому подход, основанный на функциях избыточного спроса, который мы обсуждали выше, имеет не очень широкую область приложимости. Возможно заменить пред-положения о строгой выпуклости предпочтений и технологических множеств на предположения о выпуклости, если применить другой, более прямой подход (см. Теоремы 75 и 76 в приложении к главе). Он приводит к более длинному доказательству, но зато является более элегантным и расширяет область приложимости теорем существования.
И наконец, выполнение условий теоремы Какутани для отображений, построенных на основе функций избыточного спроса, можно гарантировать лишь при достаточно сильных предположениях относительно предпочтений потребителей, начальных запасах и технологических множеств производителей. Поэтому при установлении условий существования равновесия используются различные модификации функций избыточного спроса, концепций равновесия и т. д. Некоторые приемы такого такого анализа условий существования равновесий также приведены в приложении.
<< Предыдушая Следующая >>
= К содержанию =
Похожие документы: "5.3 Существование общего равновесия"
  1. 15.1. ПРОСТОЙ ОБМЕН В ДВУХСУБЪЕКТНОЙ ДВУХПРОДУКТОВОЙ ЭКОНОМИКЕ
    существования общего равновесия - достаточно сложная задача, решить которую не удалось ни самому Вальрасу, ни его последователям. Несмотря на некоторые достижения на пути к ее решению, современное состояние наших знаний не дает оснований для убеждения в возможности существования общего равновесия в реальном мире, где преобладают отнюдь не совершенно конкурентные рынки, а производственные
  2. 1.1.Теоремы существования общего равновесия
    существования равновесия в двух типах экономик: экономиках обмена и экономиках Эрроу-Дебре. Рассмотрим вначале экономику обмена. Пусть имеются I благ и п потребителей, каждый из которых характеризуется отношением предпочтения н на множестве Xi (в дальнейшем всюду предполагается, что отношение предпочтения является полным, транзитивным и непрерывным, так что, в соответствие с теоремой Дебре,
  3. 7.2. Методологические подходы к задачам краткосредне- и долгосрочного прогнозирования мировых товарных рынков
    существовании международных экономических сообществ и организаций, монополисти ческих объединений и транснациональных корпораций постоянно возни кают колебательные процессы с достаточно большой амплитудой и про должительностью как следствие временного нарушения идеального рыночного равновесия. Сегодня рыночный механизм претерпел существенную трансформа цию в силу господства монополистических
  4. 8.1. Стандартная модель международной торговли
    существовании торговли двумя товарами между двумя странами. В рамках стандартной модели рассмат ривается и производство товаров с растущими издержками замещения. Простейший случай обмена товаров. В стандартной модели обмен товаров принято задавать прямой линией, что соответствует идее линей ного (пропорционального) обмена. Рисунок 8.1 иллюстрирует случай, когда некая страна, обладая количеством Ь
  5. 1.5. Структура современной экономической теории
    существования экономического роста в условиях инфляции и безработицы. Специфическим методом макроэкономики выступает метод агрегирования, подразумевающий рассмотрение совокупных показателей в масштабах национального хозяйства. Показатели макроэкономики образуют систему национального счетоводства и используются для характеристики национальной экономики, государственного планирования, проведения
  6. 3. Экономическая и социальная функции занятости
    существования обедняет жизнедеятельность человека, снижает его потребности, стимулы. Ослабление трудовой моти вации было зарегистрировано социологами в 90-х гг. Оно нега тивно отражается на развитии производства, человека и обще ства. Об этом свидетельствуют падение ВВП, рост теневой эко номики, криминогенной ситуации в стране. Поэтому возвышая значение всех видов человеческой деятельности,
  7. 5.3. МОДЕЛИ МЕЖГОСУДАРСТВЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ: РЕГИОНАЛЬНЫЙ АСПЕКТ
    существование жизнеспособной рыночной экономики, а также способность противостоять давлению конкуренции и рыночных сил на внутреннем рынке Евросоюза; готовность взять на себя обязательства, связанные с членством в Евросоюзе, в частности, поддерживать цели политического, экономического и валютного союза. В копенгагенском решении был и четвертый критерий, касающийся расширения ЕС. Это способность
  8. 14.2.1. Теоремы благосостояния. Коробка Эджуорта
    существования, а также одинаковые порции чая и сигарет. И Филипп, и Жасмин съедают всю свою пищу, но обладают разными предпочтениями относи тельно чая и сигарет. Это создает возможность установления обмена. Предполо жим, что каждый из заключенных получает недельную порцию сигарет (С)п чая (Т), состоящую из 100 сигарет и 15 пачек чая: Ср = 100 С = 100 /= 15 f- 15 В отсутствии обмена запас
  9. 14.2.2. Критерии общественного благосостояния
    существования подобного общества. Невозможность эгалитаризма на практике подтвердили эксперименты Роберта Оуэна (1771-1858). Основанная им коло ния Новая Гармония в США (1825 г.) просуществовала очень недолго. Одна ко самым сокрушительным провалом эгалитарного проекта явилась история нашей страны. Глубинная причина августовских событий 1991 г., в результате которых стратегический курс страны
  10. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
    общего равновесия 376 позитивный 40 предельной полезности 132 производства экономический 170 рационального поведения 124 рыночной структуры 225-226 рыночный 13 экономический 18 Анализ поведения 298 Антиблаго 141 Арбитраж 72 Аренда капитального оборудования 361 фактора производства 360 Асимметричность информации 407 Б Барьеры 230 входные 273 Бедность 349, 357 Безработица 333 Безразличие 136,