Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Экономический анализ
| Маракулин В. М.. Равновесный анализ математических моделей экономики с нестандартными ценами., 2001 | |
2.4.1 Бюджетные множества, условие Слейтера и непрерывные предпочтения |
|
|
На первоначальном этапе рассматриваются наиболее общие свойства бюджетных множеств и предпочтений, вытекающие собственно из свойств операторов st(.) и si(.). Прежде всего, укажем на взаимосвязь между этими операциями, следующую непосредственно из их определения. Напомним, что для всякого внутреннего подмножества A С *X, где X - топологическое пространство, определены следующие подмножества stA = st(A) = {y e X | i(y) П A = 0}, siA = si(A) = {y e X | i(y) С A}, где i(x) это .монада точки x G L. Операции st(.) и si(.) связаны между собой соотношениями: st(A)= X \ si(*X \ A) & si(A)= X \ st(*X \ A). (2.4.15) Нижеследующее утверждение фактически является следствием нестандартного критерия открытости множества (см. теорему 1.3.5). Утверждение 2.4.1 Пусть G С X - подмножество некоторого топологического пространства X. Тогда истинны формулы st(*G)=cl(G) & si(*G) = int(G), (2.4.16) где cl(.) и int(.) означают операции взятия замыкания и взятия внутренности множества, соответственно. В частности, если множество G замкнуто, то st(*G) = G, а если оно открыто, то si(*G) = G. Доказательство утверждения 2.4.1. В силу (2.4.15) чтобы доказать (2.4.16), достаточно установить истинность одного из соотношений в (2.4.16). Докажем, что si*G = intG. Чтобы убедиться в истинности включения D в последнем соотношении, возьмём любой g G intG. Поскольку intG С G, а intG является открытым подмножеством в X, содержащем точку g, то по определению монады в точке заключаем l(g) С * [intG] С *G, что всё доказывает. Чтобы установить включение С, выберем любой g G si*G. По опре-делению имеем I (g) С *G и I(g) = П{*Б | D G Wg}, где Wg - совокупность всех открытых подмножеств X, содержащих точку g. Далее, воспользуемся теоремой 1.3.4, которая утверждает, что "монада в стандартной точке содержит некоторое внутреннее подмножество, принадлежащее *-изображению совокупности всех открытых окрестностей данной точки", т. е. имеет место D С i(g) С *G для некоторого D G *Wg. Следовательно, в универсуме нестандартной математики *U истинно 3 D G *Wg : D С *G, откуда, применяя принцип переноса (можно "стереть" звёздочки), заключаем: 3 D GWg : D С G. Следовательно, g G intG - что и требовалось доказать. ? Значение доказанного утверждения для теории равновесия с нестандартными ценами определяет следующее Следствие 2.4.1 Пусть У бинарное отношение, определённое на множестве X допустимых состояний абстрактной модели экономики E, удовлетворяющее предположению A3', т. е. У имеет открытый график в X х X. Тогда у= si(* у) =У'. В условиях этого следствия, комбинируя его с Утверждением 2.3.2, заключаем, что если точечно-множественное отображение P : X ^ X имеет открытый график, то P(st(x)) С si(*P(x)), если st(x) существует. Тем самым, если нестандартный x G *X оптимален на некотором внутреннем множестве *X для *P(.), т. е. если *P(x) П *X = 0, то st(x) будет оптимален (если существует) для P(.) на X. Другой важный результат состоит в том, что специфика нестандартных цен может проявиться только в ситуации, когда нарушено условие Слейтера в задаче потребителя при стандартизации нестандартных цен. А именно, если стандартизовать цены (т. е. перейти к их стандартным частям) и трансферабельные стоимости (величины, добавляемые к правым частям бюджетных ограничений) и определить соответвующие стандартные бюджетные множества, то это будут в точности множества, использованные в определении 2.3.3. Утверждение 2.4.2 Пусть X С L - выпуклое замкнутое подмножество, аp G *L и y G *R таковы, что существуютp = st(p) и Y = st(Y), и при этом выполнено "условие Слейтера": существует x G X, такой, что px < Y. Тогда имеет место st{x' G *X | px' < y} = {x G X | px < 7}. Доказательство утверждения 2.4.2. Чтобы установить С, возьмём любой x' G *X, такой, что px' < Y и существует st(x'). В силу замкнутости X и утверждения 2.4.1 заключаем st(x') G X. Далее, стандартизуя нера-венство, находим st(x')st(p) = st(px') < st(Y), что всё доказывает. Установим включение D. Пусть x G X и удовлетворяет px < 7. Положим p = p + Ap и Y = Y + AY , где по определению Ap л 0 и AY ~ 0. Необходимо найти такой Ax л 0, чтобы x + Ax G *X и при этом (p + Ap)(x + Ax) < Y + AY. Раскрывая последнее неравенство находим (p + Ap)(x + Ax) < Y + AY ^^ px + Ap ж x + p ж Ax + Ap ж Ax < Y + AY, что, с учётом ||Ax|| < 1, будет выполнено, если показать, что имеет место p ж Ax < (Y - fix) + AY - Ap ж x - ||Ap||. Последнее эквивалентно p ж Ax < (Y - px) + p при p = AY - x ж Ap - ||Ap|| л 0. Далее, при (Y - px) > 0, положим Ax = 0, а при (Y - px) = 0 воспользуемся условием Слейтера и возьмём любой x G X, удовлетворяющий условию px < Y, и такой а л 0, а > 0, чтобы выполнялось условие ap(x - x) < p. В последнем случае положим Ax = a(x - x). Поскольку по построению имеем x + Ax G *X и pAx < p, то необходимое неравенство доказано, а с ним и утверждение 2.4.2. ? Следствие 2.4.2 Применительно к концепции S-квазиравновесия с нестандартными ценами (x, q, S) в модели экономики E при предположениях A1, A5, последнее утверждение означает, что если существуют Y = (Yi,...,Yn) = st(q) G Q, S = (Si,...,Sn) = st(S), и для данного i G N выполнено условие Слейтера: найдётся такой стандартный x' X, что Six' < a.i(x, q) + Si, с то "бюджетное" множество st*B (X,q) совпадает с {y G X | {qi, y) < a.i(x,Y) + Si} = st{y G *X | {qi,y) < a.i(x,q) + Si}. Здесь x л x, x G *X, существование которого постулируется в квазиравновесии (см. определение 2.3.3). Таким образом, если условие Слейтера выполнено для каждого потребителя, то S-квазиравновесие с нестандартными ценами превращается в стандартное равновесие (x,q,S) с "5-схемой перераспределения избыточных стоимостей" . |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "2.4.1 Бюджетные множества, условие Слейтера и непрерывные предпочтения" |
|
|