Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Экономический анализ
| Маракулин В. М.. Равновесный анализ математических моделей экономики с нестандартными ценами., 2001 | |
3.1 Модель рынка с нестандартными ценами |
|
|
Модель рынка или, в другой терминологии, экономики чистого обмена, представляет из себя одну из конкретизаций абстрактной модели экономики типа Эрроу-Дебре, рассмотренной в первом разделе предыдущей главы. В рамках этой модели предполагается, что каждый экономический агент является "торговцем" (потребителем), торговцы торгуют (обмениваются) между собой продуктами, номенклатура которых образует множество {1, 2,...,l}. Торговцы "потребляют" купленные (вымененные) наборы потребительских благ, которые математически представлены как вектора пространства Иг. Будучи ограниченными разного рода институциональными, этическими и просто физическими рамками, допустимые наборы этих благ образуют "потребительские множества", которые потенциально могут быть разными у разных агентов. Итак, пусть I = N = {1, 2,...,n} - множество потребителей и Иг - пространство продуктов, а Xi С Иг - потребительское множество потребителя i. Тогда множество X = Пiex Xi С будет совокупностью всех допустимых состояний экономики, где = L отождествляется с пространством состояний. В простейшем варианте экономики обмена предполагается, что у каждого потребителя имеется вектор исходных запасов, обозначенный как шi G Иг, i GI. Таким обра- зом, заданный набор векторов (^i)iex формализует в модели отношения собственности, и при ш = (ш1,.. ., шп) G X вектор ш можно принять в качестве "исходного" состояния экономики. В соответствии с интерпретацией достижимыми являются такие состояния экономики, которые представляют из себя допустимые обмены совокупных исходных запасов - JШi, т. е., принимая F(x) = ^j xi при x = (xi, Х2,..., xn) G L, для ш = (ш1,... ,шп), получаем A(X) = {x G X \ ? xi = ? шi}. iei iei С содержательной точки зрения интересы потребителей сосредоточены в сфере индивидуального потребления, поэтому в модели рынка предполагается отсутствие внешних влияний и независимость предпочтений от текущих (рыночных) цен. Таким образом, предпочтения потребителей заданы с помощью точечно-множественных отображений Pi : X ^ X и удовлетворяют определению ограниченных внешних влияний из первого раздела предыдущей главы (см. формулу (2.1.2)) при T = I и Ti = {i}, Li = R для i G I, где при Pi(x) = 0 имеет место iЧ 1 п Pi(x) = Y{ Xj xP{i}(x) x Ц Xj. j=i j=i+i Для простоты изложения в пределах этого раздела мы будем отождествлять отображения Pi(.) и V{i} : X^ Xi. Модель оснащена механизмом стоимостного регулирования, который включает в себя множество допустимых рыночных цен Q С IRl, а также заданные для каждого i G I функции распределения дохода - ai : Q ^ R. Таким образом, в отличие от абстрактной модели, где функционируют индивидуальные цены, в модели обмена цены общие, которые являются элементами l-мерного пространства, и, кроме того, функции распределения дохода зависят только от текущих рыночных цен. В простейшем варианте, для заданного набора исходных ресурсов, доход потребителя i определяется в виде ai(p) = (p^j). От цен p G Q можно перейти к соответствующему набору индивидуальных цен q(p) = q = (qi,...,qn), если положить )j f p, при i = j, (qi) \ 0, при i = j, для i, j G I. Отметим, что в терминах абстрактной модели этот набор индивидуальных цен является эффективным по отношению к заданному выше оператору F, ибо, если j xi = 0, т. е. x G kerF, то, так как Qi = (p,p,---,p), имеем Qi,x) = pxi = (p,Y,i xi), что означает ker J2x qi D kerF. В краткой форме модель рынка может быть записана в виде пятёрки: Em = (I, Rl, {Xi, Vi(.)}iEl, ш, Q ). Как показывает вышеизложенный комментарий, модель рынка действительно является частным случаем абстрактной модели экономики и, следовательно, в её рамках может быть рассмотрено понятие равновесия с нестандартными ценами, адаптированная версия которого приводится ниже. Однако сначала мы напомним стандартное неоклассическое понятие конкурентного равновесия. Состояние x И X и вектор p И Q называется конкурентным, или вальрасовским равновесием модели Em, если x сбалансирован, т. е. Yjxi = j-^i, и при этом Pi(x) П Bi(p) = 0 для всех i И I. Здесь символом Bi(p) обозначено бюджетное множество потребителя i: Bi(p) = {y И Xi \ py < ai(p)}. Для данного p * Q и каждого i I рассмотрим нестандартные бюджетные множества *Bf (p), определяемые посредством ограничения px' < ai(p) + Si, т. е. положим *Bf (p) = {x' И *Xi \ px' < a.i(p) + Si}, i И I. Заметьте, что в отличие от случая абстрактной модели, бюджетные множества являются подмножеством собственного потребительского множества, а не множества всех допустимых состояний модели. Вектор S > 0, определяющий стоимости, добавленные к правым частям бюджетных ограничений потребителей, будем называть, как и в случае абстрактной модели, схемой перераспределения избыточных стоимостей. Определение 3.1.1 Допустимое состояние x И X экономики Em называется равновесием с нестандартными ценами p И *Q и фиксированной схемой перераспределения избыточных стоимостей S И *1RI, S > 0, если выполнены условия: xi Иst*Bf (p) V iИ I; Pi (x) П st*Bf (p) = 0 V i И I; (iii) x И A(X). Тройку (x,p,S) будем называть ^-равновесием с нестандартными ценами. Иллюстрацией определения 3.1.1 служит приведённый выше пример 2.2.1 экономики обмена, а также следующий пример. Пример 3.1.1 Рассмотрим заимствованный из [22] пример экономики, в котором нет ни обычного равновесия, ни равновесия и даже полуравновесия с нестандартными ценами, но есть нестандартное равновесие с трансферабельными стоимостями (см. рис. 3.1.1). В модели имеется два агента и два типа продуктов. При этом X1 = {(x1,x2) | 0 < xj < 10, j = 1, 2},X2 = X1 n{(x1,x2) j x2 > 4 - x1}, полезности заданы по формулам ui = 16 - (x1 - 4)2 - (x2 - 4)2 и U2 = x2, а Q = {p И iR j ||p|| < 2} - множество допустимых рыночных цен и wi = (1, 3), ш2 = (2, 2) - исходные запасы. При ценах p = (p1,p2) таких, что p1 < 0, оптимальная реакция 1-го агента такова, что его спрос на первый товар > 4, т. е. больше общего имеющегося в распоряжении количества данного товара. Поэтому ни равновесие, ни даже полуравновесие в этом случае невозможно. Рис. 3.1.1 При p2 < 0 с нереальным запросом товара x2 выступает 2-й агент: x2 = 10. Следовательно, должно быть p > 0. При p2 > p1 оптимальная реакция 2-го агента совпадает с ш2, а 1-го такова, что xi > 1, т. е. баланс снова недостижим даже в форме неравенства. При p1 >p2 оптимальная реакция 2-го агента это (0,x2), где x2 > 4, а оптимальная реакция 1-го такова, что суммарный спрос на второй продукт > 5 и превышает предложение. Последнее следует из того, что все наборы (xi,x2), которые лучше wi и такие, что x-f < 1 (чтобы выдерживался баланс), находятся при этих ценах вне бюджетного множества 1-го участника. При ценах p = (1,1) так же как и при нестандартных ценах p = (1 + е, 1 - е), е Ф 0, е > 0, спрос на x2 выше предложения. Цены (1 - е, 1+ е) дают превышение спроса на x1 над его предложением. Все случаи, когда нестандартность в ценах играет роль, исчерпываются двумя вышеуказанными. В остальных ситуациях бюджетные множества участников при ценах p и stp совпадают (см. утверждение 2.4.2). Таким образом, при любых ценах из *Q условие сбалансированности нарушается. Однако в этой экономике есть состояние нестандартного равновесия: xi = (2, 2), x2 = (1, 3), реализующееся при ценах p = (1 - е, 1 + е) и трансферабельных стоимостях 6 = (0, 2е) (а также при 6 = (е', 2е) и любых е Ф е' Ф 0, е > 0, е' > 0). Как видим, 1-й агент всего лишь выменял единицу 1-го продукта на единицу 2-го у 2-го агента, при этом оба существенно повысили свою полезность, но для описания этой ситуации потребовались нестандартные цены и трансферабельные стоимости. ? Следующая теорема существования нестандартных 6-равновесий фактически является следствием теоремы 2.3.1 о существовании 6-квазиравновесий с нестандартными ценами в абстрактной модели E. Для модели рынка Em могут быть использованы стандартные предположения A1-A7 и A3'. Здесь нужно только уточнить форму закона Вальраса: A6m (закон Вальраса) ХIai(p) = (p,^z Теорема 3.1.1 Пусть Em удовлетворяет предположениям A1, A2, A3', A4, A5, A6m, A7 и 0 И int Q. Тогда для каждого е = (е1,е2,. .. ,еп) И *]RN, такого, что е ^ 0, существуют 6-равновесия, такие, что 6 = т ж е при некотором нестандартном т > 0. Доказательство теоремы 3.1.1. Воспользуемся теоремой 2.3.1, применённой к абстрактной модели экономики, в которой N = I, X = Пi Xi, Q = {(qi, ...,qn) И (L')N j (qi)i И Q У i ИN & (qi)j =0 У i = j,i,j И N}. Функции дохода ai(.) агентов абстрактной экономики определим по формуле ai(x,q) = ai(ql), i ИN. Тогда для Ti = {i} имеем U Ti = N = T ив данном случае получаем N Leff = { q = (qi, ...,qn)И (L')N \ qj =0 V iИ N, V j = i, j И N }. Следовательно, в силу 0 И int Q заключаем 0 И int| ^ (Q П Leff), что заканчивает проверку условий теоремы 2.3.1. Пусть (x,q,S) - соответствующее S-квазиравновесие абстрактной модели (см. Определение 2.3.3). Прежде всего, рассмотрим условие (iv) эффективности равновесных цен q И A(*Q). Из определения F(.) (см. выше) несложно заключить, что для всех q' = (q[,. .., q'n) И (L')n имеет место ker? qi D kerF (.) & q' И Leff N 3p И IR1 : p = (qi)i & (qi)j =0 V i = j, i,jИ N. Следовательно, из принципа переноса и по определению A(Q) заключаем существование такого p И *Q, что p =(qi)i V i И N & (qi)j =0 V i = j, i, j И N. Наконец, из определений и того, что в модели рынка функции дохода потребителей не зависят от текущего состояния экономики, легко заключить, что тройка (x,p, S) является S-равновесием с нестандартными ценами модели Em. ? Замечание 3.1.1 Теорему 3.1.1 можно применить к чисто стандартному случаю, с целью определить условия, при которых существуют обычные конкурентные равновесия. Действительно, это в точности те условия, которые обеспечивают выполнение условия Слейтера для ai(.) - при "потенциально равновесных" (например, всех!) p И Q, таких, что для p = 0 имеет место 3 y И Xi : py < ai(p), i И I. Дополнительно, с тем чтобы избавиться от трансферабельных стоимостей, обычно используется предположение о локальной ненасыщаемости предпочтений в области всех достижимых состояний экономики: Vx И A(X), Vi И I xi И cl Pi(x). Чтобы убедиться в этом, прежде всего укажем, что при условии ненасыщаемости цены p = 0 не могут реализоваться как равновесные, ибо тогда *Bf (p) = Xi и нарушено условие (ii) определения 3.1.1. Следовательно, p = 0, p И *Q и, так как тогда можно считать функции ai(.) однородными по p степени 1 (см. замечание 2.3.1), то можно предполагать, что цены равновесия удовлетворяют *||p|| = 1 (достаточно разделить бюджетное ограничение на *||p|| и рассмотреть новые трансфера- бельные стоимости 6i = б^^Ц). Далее, используя утверждение 2.4.2, заключаем st*Bf (p) = {y И Xi | yp < a.i(p) + Si}, где p = st(p), Si = st^). Теперь, в силу (iii) и локальной ненасыщаемости предпочтений для равновесных (x,p) И X х Q находим x^p = ai (p) + S i для всех i И I. Суммируя эти неравенства и используя закон Вальраса A6m, в силу J^x = находим ХISi = 0, что при 6i > 0 возможно только при 6i = 0 для всех i И I. Таким образом (x,p) - стандартное равновесие модели Em. ? Далее, рассмотрим модель Em применительно к случаю, в котором функции дохода принимают наиболее естественный вид ai(p) = (p,w), а также при полиэдральных потребительских множествах Xi. В данных условиях возможно совместное использование теорем 3.1.1, 2.4.2. Теорема 2.4.2 характеризует структуру бюджетных множеств, по отношению к которым и формулируется понятие 6-равновесия в модели Em. Теперь, в силу произвола в выборе нестандартного вектора е = (е1,...,еп) ^ 0 - это вектор, задающий в теореме 3.1.1 вектор 6 в виде 6 = те, т > 0, без ущерба к содержательной стороне вопроса можно считать стандартным и, более того, конкретизировать (например положить е = (1, 1, . . . , 1), постулируя тем самым равномерную схему перераспределения избыточных стоимостей 6 = (т,т,...,т)). В таком случае величину т можно рассматривать как своего рода цену на избыточные финансовые ресурсы и, таким образом, вектор (p, т) можно понимать как нестандартный расширенный вектор цен. Сказанное выше в данных условиях можно положить в основу понятия "обобщенного равновесия" в модели Em, по сути очень близкого к понятию равновесия в меновых стоимостях (а также и обобщённого равновесия) по Данилову - Сотскову (см. [4]). В силу теорем 3.1.1 и 2.4.2 отвечающие этому понятию состояния экономики будут существовать только если wi И Xi и при прочих других "естественных" предположениях A2, A3' и A4 (ограниченность сбалансированных состояний, открытость графика предпочтений, а также их выпуклость и иррефлексивность). Итак, перейдём к определению (одному из возможных вариантов) обобщённого равновесия. Любой упорядоченный набор ортонормальных векторов {ej }j=k, к < l, связанное с ним число h > 0 и вектор в = (вь..., в) ^ 0 назовём в-обобщённой ценой рынка. Набору {ej }j=k сопоставим матрицу P, строка j которой совпадает с вектором ej. Вектору x И IRl поставим в соответствие k-мерный вектор стоимостных оценок Px. Теперь предположим, что некоторый потребитель имеет "доходы", формализованные посредством к-мерного вектора 7 . Тогда его потребительский выбор x И IRl должен удовлетворять "бюджетному ограничению" Px< 7, где посредством < обозначено лексикографическое упорядочивание в Rk . Таким образом, в силу свойств << введение обобщённой цены и связанный с ним способ стоимостного сравнения потребительских наборов, постулируют иерархию стоимостных оценок, отвечающую упорядочению, заложенному в определении обобщённой цены посредством набора векторов {ej}. В модели рынка, имеющийся у потребителя, вектор доходов естественно положить равным набору стоимостных оценок, полученных из имеющихся у него исходных ресурсов. Тем самым логично считать, что потребительский выбор торговца i удовлетворяет ограничению Px < P^i для x И Xi. Однако множества вида l ks {x И Xi \ Px l < Pc*} обладают плохими математическими свойствами и, в частности, могут быть незамкнуты (что может повлечь невозможность решить задачу потребителя). Более того, нетрудно видеть, что в общем случае, даже при "обычных" ценах, в силу закона Вальраса все рынки продуктов могут быть одновременно сбалансированны (в форме равенства) только при наличии какого-либо механизма перераспределения избыточных стоимостей (в соответствии с некоторой схемой перераспределения). Оказывается, что в случае обобщенного стоимостного регулирования достаточно использовать этот механизм только на последнем, к-м иерархическом уровне. Этот механизм вводится с помощью вектора в = (в1,..., вп) ^ 0, определяющего пропорции (доли) потребителей в общем объёме избыточной стоимости к-го уровня. В итоге в качестве ключевого понятия бюджетного множества с обобщенной ценой примем множества вида Bf (ei, ...,ek )= cl{x И Xi | Px < P(U, + 6i ek)}, (3.1.1) где 6i = hpi, i И I, т. е. мы полагаем 6 = hp. Теперь, чтобы ввести понятие в-обобщённого равновесия, достаточно в определении 3.1.1 заменить нестандартный вектор цен p обобщённой ценой (ei,..., en, h), предположить стандартность 6 = (6i,..., 6п) = hж в и заменить в условиях (i) - (iii) множества st*Bf (p) на Bf (ei,..., en). Бюджетным множествам, заданным формулой (3.1.1), можно дать и другую, более привычную характеризацию. Для каждого i И I определим номер t(i) < k по следующему правилу: положим t(i) = k, если функционалы ej опорны к Xi в точке wi для всех j < k; в противном случае определим такой t(i) < k, что все ej опорны в wi к Xi при j < t(i) и при этом существует такой y И Xi, что (et(i),y) < (et(i),wi). Теперь, анализируя свойства < и формулу (3.1.1), несложно убедиться в том, что при t(i) < k имеет место Bf (ei, ...,en) = {x И Xi | ej x = ej j < t(i) & (et(i),x) < (et(i),Ui)}, а при t(i) = k имеем Bf(ei,...,en) = {x И Xi | ejx = ejj < k & (ek,x)<(ek+ 6i}. Имеется ещё одна возможность найти номер t(i), определяющий "длину цепочки линейных ограничений" в структуре обобщённого бюд-жетного множества. Именно, для i И I определим k-мерный вектор Y, как минимум оператора P : IR1 ^ Rk на множестве X,, где на Rk рассматривается лексикографическое упорядочение ; < . Отметим, что при многогранном X, этот минимум всегда существует . Далее сравним вектор Yi с вектором + 6i ek). Очевидно, что Yi < P(^i + 6i ek). Теперь в качестве t(i) нужно взять минимальный номер компоненты, для которой имеет место строгое неравенство (Y,)J < (P(W, + 6i ek))j. Из сказанного в частности следует, что обобщённое бюджетное ограничение Px < P( ^i + Si ek) удовлетворяет обобщённому условию Слейтера на Xi, если только Si > 0: существует y И Xi, такой, что Py l Итак, если резюмировать сказанное в комментариях к понятию обобщённого равновесия, то можно заключить, что это понятие полностью совпадает с понятием равновесия с нестандартными ценами и схемой распределения избыточных стоимостей, заданной с помощью стандартного вектора в = (PI, ж ж ж, вп) ^ 0, определяющего трансферабель- ные стоимости по правилу S = т-в, где нестандартный т > 0. Действительно, каждому обобщённому равновесию можно поставить в соответствие нестандартный вектор цен p = Xiei + X2e2 + ж ж ж + Xkek И *Q, где коэффициенты Xj И *IR удовлетворяют единственному требованию - Xj+i/Xj Ф 0, Xj > 0 для всех j = 1,2,...,к (Xk+i = 0), и набор нестандартных трансферабельных стоимостей Si из условия Si/Xk Ф pi = h(3i (т. е. полагаем т = Xk h). Тогда в силу теоремы 2.4.2, где нужно принять w = wi, 7 = Si при j (p,7) = к заключаем, что st*Bf (p) является множеством, определяемом в (3.1.2), (3.1.3), и, следовательно, совпадает с Bf (ei,..., ek). Таким образом, каждому обобщённому равновесию отвечает нестандартное, удовлетворяющее определению 3.1.1. Чтобы убедиться в обратном, предположим, что задано некоторое нестандартное S-равновесие, такое, что S = тв, где в ^ 0 - некоторый заданный стандартный вектор и т > 0. Чтобы охарактеризовать бюджетные множества, вновь воспользуемся теоремой 2.4.2. Отметим, что номер j, фигурирующий в этой теореме в описании структуры множеств BUi (p,Si) = st*Bf (p), является общим для всех i И I (ибо Si/Si' = вi/вi' Ф 0 при т = 0), т. е. j = j(p,Si) = j(p,Sv) = j(p,т), при любых i = i'. Теперь, при т/Xj ф ж, выберем в качестве обобщённой цены набор функционалов {er }гг=1, тот же вектор в, а в качестве h возьмём st^/Xj). В случае т/Xj Ф ж в качестве обобщённой цены примем {er}r=i, в и h = 0. В силу теоремы 2.4.2, формул (3.1.2), (3.1.3) и по определению имеем искомый результат. Прежде чем сформулировать теорему существования обобщённых равновесий, которая является, таким образом, следствием теоремы 3.1.1 и 2.4.2, напомним, что при полиэдральных Xi, i Иl и A4 предположение A3 - слабая непрерывность предпочтений - эквивалентно предположению A3' - открытость графика предпочтений, см. замечание 2.2.1. Теорема 3.1.2 Пусть Em удовлетворяет A2 - A4, потребительские множества Xi полиэдральны, wi И Xi, а функции дохода определяются как ai(p) = (p,Wj); i И I. Тогда, если 0 И intQ, то при любом в ^ 0 существуют обобщенные в -равновесия. Иерархия стоимостных оценок, положенная в основу понятия обобщённого равновесия, индуцирует иерархическое расслоение экономических агентов, что позволяет дать этому понятию следующую интерпретацию (см. также [4]). Действительно, в состоянии обобщённого равновесия потребителей экономики Em можно расклассифицировать по признаку принадлежности бюджетных множеств Bf (ei,..., ek) к тому или иному типу, определяемому соотношениями (3.1.2), (3.1.3). Точнее, для t = 1,... ,k определим At С I как множество At = {i И I | t = t(i)}, где номер t(i), определённый выше, отвечает номеру первого ограничения, удовлетворяющего условию Слейтера. Далее, в пространстве продуктов IR1 всегда можно перейти к другому ортонормальному базису, обладающему тем свойством, что первые k < l базисных векторов совпадают с векторами ei,e2,... ,ek. Содержательно последнее означает переход от отдельных продуктов к "продуктовым корзинам". В таком случае можно предполагать, без ограничения общности, что вектора ei,e2,... ,ek изначально совпадают с единичными ортами исходного пространства продуктов. Теперь тот факт, что i И At можно понимать так, что данный агент обладает ненулевыми ресурсами продукта t (в количестве (wi)t - (Yi)t, где вектор Yi был определён выше), которые могут быть реализованы (проданы) на t-м рынке. Имеющаяся иерархия стоимостных оценок предполагает, что при i И At, t < k потребитель i может потреблять любое количество продуктов с номерами t + 1,... ,l, или, в другой терминологии, обменять сколь угодно малое количество продукта t на любое (сколь угодно большое) количество продукта более низкого иерархического уровня. Наличие механизма перераспределения избыточных стоимостей означает, что если i И At вдруг решит потреблять продукт t в количестве меньшем, чем имеется у него в наличии (т. е. если он достиг насыщения), то неизрасходованный остаток этого ресурса должен быть передан агентам данного и более низких уровней. Последнее очевидно приводит к тому, что агенты более низких уров-ней, получив ненулевое количество ресурса t, поднимаются на уровень t. В особом случае, когда потребительские множества совпадают с положительным ортантом, в пространстве продуктов можно не переходить к новому базису, а ситуацию интерпретировать как расслоение общего рынка продуктов на "подрынки", на каждом из которых ходит соб-ственная "валюта", причём так, что агенты данного рынка всегда имеют доступ на рынки более низкого уровня и способны "обменять" единицу своей валюты на любое количество валюты "более низкого качества". При этом существует строгий запрет на вход на рынок более высокого уровня. Данилов - Сотсков в [4] указанную ситуацию описывают в терминах меновых стоимостей, допуская возможность пропорциям обмена обращаться в 0 или ж. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "3.1 Модель рынка с нестандартными ценами" |
|
|