Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Экономический анализ
| Маракулин В. М.. Равновесный анализ математических моделей экономики с нестандартными ценами., 2001 | |
3.2 Экономики с производством - модель ЭрроуЧДебре |
|
|
Неоклассическая модель децентрализованной экономики типа Эрроу- Дебре предполагает наличие двух секторов - потребительского и производственного. Производственный сектор описывается конечным множеством фирм (более общо - производителей), каждая из которых характеризуется посредством собственного производственного (технологического) множества, описывающего производство в терминах "потоков", и формально является подмножеством пространства продуктов. Цель фирмы, являющейся по определению акционерным обществом, состоит в максимизации прибыли (математически выраженной как скалярное произведение вектора цен на технологический вектор), которая затем распределяется среди "пайщиков" (акционеров). Потребительский сектор включает в себя конечное множество потребителей, описанных так же, как в модели рынка. Единственное отличие состоит в способе определения функций распределения дохода: потребители формируют свой доход из двух источников - от продажи имеющихся у них в наличии исходных ресурсов, а также из дивидендов по акциям фирм, которые предполагаются полностью распределёнными между потребителями. В краткой математической форме модель представлена следующей шестёркой: EAD = (I, J, Rl, {Xi, Pi, Wi, 6i}ieI, {Yj}jj, Q ). Здесь I = {1,2,...,n} - множество номеров потребителей, J = {n + 1, n + 2,... ,n + r} - номера производителей; Rl - пространство продуктов, где {1, 2,...,l} - их номенклатура; Xi С IRl - потреби-тельское множество потребителя i, где xi И Xi - его потребительские планы, а Yj С IRl - производственное (технологическое) множество фирмы j, где yj И Yj - производственные планы этой фирмы. В данном случае X = Y\iXi х Y\j Yj С Rl(n+r) является множеством допустимых состояний, где Rl(n+r) = L играет роль пространства состояний. Каждый потребитель характеризуется также вектором исходных ресурсов wi И ]Rl и отношением предпочтения Pi : X ^ Xi, i И I. Таким образом, как и в случае модели рынка, предполагается, что в модели Эрроу-Дебре отсутствуют внешние влияния. Величины Oj > 0 - компоненты вектора О, = (0П+1 ,..., ОП+г ) - указывают на долю (в акциях, дивидендах и т. д.) потребителя i в j-м производстве. Из контекста ясно, что они должны удовлетворять условию i eij = 1 для всех j И J. Механизм стоимостного регулирования в модели EAD определяется посредством множества допустимых рыночных цен Q С IR1 и функций распределения дохода ai : X х Q ^ IR, определённых по формуле ai(x,y,p) = ai(y,p) = (p,"i) + ? ej (p,yj), i И I. jJ Первое слагаемое в доходах потребителя i представляет стоимость его исходных ресурсов, а второе, поскольку (p,yj) следует понимать как прибыль полученную от реализации производственного плана yj при ценах p (ибо yj описывает технологию в терминах потоков), является совокупным (суммарным) дивидендом, полученным потребителем из производственного сектора (заметьте, что эта величина может быть отрицательной). Отметим, что в модели EAD постулируется определённая форма поведения производителей, вытекающая из интересов потребителей - владельцев акций, реализующая принцип максимизации прибыли при экзогенно заданных ценах p. В стандартной постановке в качестве равновесия понимается такая тройка (x, y, p) И X х Q (совокупность всех потребительских и производственных планов и отвечающий им вектор цен), что выполнено условие баланса ?xi =? yj + J2 "и I J I производители максимизируют доход - pyj > (p, Yj) & yj И Yj V j И J, а потребители решают "задачу потребителя" - имеет место X,P < ai(y,p) и при этом Pi(x) П Bi(y,p) = 0 Vi И I, где по определению Bi(y,p) = {y И Xi | pxi < ai(y,p)} Ч бюджетное множество потребителя i. Чтобы перейти к понятию равновесия с нестандартными ценами, прежде всего необходимо уточнить используемое здесь понятие бюджетного множества. Для данного i И I, заданных p И *Q, (x,y) И X и нестандартного Si > 0 в качестве нестандартного бюджетного множества с трансферабельной стоимостью Si примем подмножество *Xi, элементы которого удовлетворяют ограничению px' < ai(y,p) + Si. По-ложим *Bf (y,p) = {x' И Xi | px' < a.i(y,p) + Si}, i И Iж Определение 3.2.1 Состояние экономики (x,y) И X и нестандартный вектор цен p И * Q называется равновесием модели EAD с фиксированной схемой перераспределения избыточных стоимостей S = (Si,..., Sn), S И *]RI, S > 0, если выполнены условия xH И st*Bf (y,p) V i И I; Pi(x) П st*Bf (y,p) = 0 Vi И I; (p,yj) > (p,Yj) V j И J; J2iei xi = T,jeJ yj +J2iei Wi ж Модель EAD может быть приведена к форме абстрактной модели экономики. Проделаем это. Положим N = I и рассмотрим то же самое множество допустимых состояний X = Пi Xi х Y\j Yj. В качестве предпочтений экономических агентов, принимающих свои значения в X, примем отображения Pabs : X ^ X, заданные по формуле Pabs(x,y) = ПXt х Pi(x,y) х ПXt х П Yj ti jeJ для всех i И N и (x,y) И X, таких, что Pi(x,y) = 0. В качестве "балансового оператора" возьмём F(x,y) = ? xH - ? yj, (x,y) И ]Rl(n+r) I J и примем как "исходное" состояние wabs = (wi,... ,wn, 0,..., 0). Ключевым в переходе от EAD к абстрактной модели является адекватное определение механизма стоимостного регулирования. С этой целью сначала определим совокупность допустимых индивидуальных цен. Пусть T = IU J (по определению IП J = 0) и определим Qabs = { (qi, ...,qn) И (L')N ^i И I, Vj ИJ : (qi)i И Q, (qi)j И Q & (qi)t = 0, t = i, t И I & (qi)t =0, i = 1,t И J }. (3.2.4) По построению Qabs "компоненты" векторов индивидуальных цен, отвечающие производственному сектору, могут быть ненулевыми только у 1-го агента. В потребительском секторе "компонента" индивидуальной цены данного агента ненулевая, если только она отвечает потребительским планам этого агента. Легко видеть, что множество Qabs изоморфно QT С L'. Далее определим функции распределения дохода. Пусть (x, y) И X и q И Qabs. Для i = 1 положим aabs(x,y,q) = (qu,"i) + ?(1 - 0j)(yj, qij). (3.2.5) jeJ Для прочих i = 2, 3,... ,n определим доходы формулой aabs(x,y,q) = (qii,"i) + ? ej [(yj ,qij)]-. (3.2.6) jeJ В последнем случае величина z- по определению равна - z при z < 0 и 0 - иначе . Построенную модель обозначим символом E^D. Следует указать на некоторые важные свойства определённых выше функций распределения дохода в абстрактной модели. Поскольку ej > 0, то второе слагаемое в правой части (3.2.6) будет неотрицательное. Отсюда в частности следует, что при И X,, i > 2 доходы i-го агента в модели EaJbDj удовлетворяют предположению A7 (непустота бюджетных множеств). При i =1 и Wi И Xi это предположение также будет выполнено, если дополнительно предположить, что Yj выпуклы и 0 И Yj для всех j И J. Действительно, в таком случае вектор к = (wi,x2,...,xn,(1 - en+1)yn+i,...,(1 - en+r)yn+r) И X при любых yj И Yj, xi И Xi, i = 1, i И N, и, следовательно, к И Bi(x,y, q). Существование равновесий с нестандартными ценами в модели EAD устанавливает следующая Теорема 3.2.1 Пусть модель ?ad удовлетворяет предположениям A1-A4. Дополнительно предположим, что X, и Yj полиэдральны и при этом W, И Xi, 0 И Yj при всех i И I, j И J. Пусть также 0 И int Q и существует io И I - локально ненасыщаемый потребитель, т. е. такой, что x, И cl Vio (x,y) при любом (x,y) И X. Тогда для любого ? ^ 0, е И *IR существует 5-равновесие с нестандартными ценами, такое, что 5 = те при некотором нестандартном т > 0. В соответствии с принятой символикой мы полагаем A(X) =\(x,y) И П Xi х П Yj | ? xi = ? yj + ? WA . I J I J I Замечание 3.2.1 Предположения теоремы 3.2.1 не являются максимально общими. В частности, полиэдральность Xi была использована только с целью применить более слабое предположение о непрерывности предпочтений A3 вместо A3' (а также из соображений симметрии с полиэдральностью производственных множеств). Полиэдральность Yj играет более существенную роль и требуется, чтобы удовлетворить условию (iii) определения 3.2.1. В общем случае (при выпуклых и замкнутых Yj) можно только гарантировать существование таких нестандартных Yj > 0, что в "равновесии" имеет место (p,yj) + Yj > (p,Yj) (величины Yj можно определить как Yj = pyj - pyj при некотором yj ~ yj, yj И Yj, удовлетворяющем (p,yj) > (p,Yj) ). В таком случае в качестве трансферабельных стоимостей необходимо также принять 5, = те, + ej Yj. Последнее обобщение может иметь значение например, для того, чтобы установить существование стандартных равновесий (здесь можно использовать соображения подобные указанным в замечании 3.1.1 по отношению к модели рынка). Дополнительно можно заметить, что функции распределения дохода также могут иметь более общий вид. В действительности главное, что необходимо, - это предполагать не общую форму их зависимости от p и y, но зависимость от стоимостных величин (p,yj), j И J. Можно также отметить возможность замены требования о существовании локально ненасыщаемого потребителя на просто ненасыщаемого, используя стандартный приём, связанный с переходом в модели от исходного предпочтения к "приращённому", см. по этому поводу [7] и [8]. Более того, требование о том, что этот агент является ненасыщаемым на всём X, можно заменить требованием ненасыщаемости на A(X) - множестве всех достижимых состояний экономики. Действительно, если это так, то ненасыщаемость будет иметь место на некоторой окрестности множества A(X) (из непрерывности предпочтения), и, следовательно, можно стандартным приёмом перейти к другой модели, в которой множество допустимых состояний совпадает с этой окрестностью (выпуклым замкнутым подмножеством в X). Легко видеть, что полученное в новой модели равновесие будет также равновесием в исходной. ? Доказательство теоремы 3.2.1. Доказательство будет основано на применении теоремы 2.3.1 о существовании нестандартных S- квазиравновесий к модели абстрактной экономики E^D, построенной выше. Сразу укажем, что без ограничения общности мы будем считать в условиях теоремы io = 1 (т. е. потребитель с номером 1 является локально ненасыщаемым на X). Условия теоремы 3.2.1 обеспечивают предположения A1-A5 и A7, а также A3' применительно к модели E*AD (напомним, что из построения и условий следует A7, а из полиэд- ральности X и A3, A4 следует A3', см. замечание 2.2.1). Таким образом, чтобы воспользоваться теоремой 2.3.1, достаточно установить A6 - закон Вальраса. Сделаем это. Положим Ti = {i} при i И I, i > 2 и Ti = {1} U J. Здесь Ti П Tk = 0 для всех i = к и U Ti = T = IU J. Следовательно, существует N единственное согласованное отображение проектирования g : LN L, такое, что (g(zi,..., zn))t = (zi)t при t И Ti и любом i И I. По выбору Ti и определению aabs(y, q) достаточно рассмотреть оптимальные реакции 1 -го агента. Итак, пусть (qi, (x,y))<(qi, Pabs(x,y)) & Pabs(x,y) П Bi (x,y,q) = 0, где Bi(x,y,q) = {(x',y') И X | (qn,x'i) + ?(qij,yj) < afs(y,q)}. J По построению Pabs{Tl} (x,y) = Pi (x,y) х П Yj и при этом xi И J cl Pi (x, y). Ясно, что первая часть предыдущего соотношения возможна только если (qij ,Vj }<(qij ,Yj) V j ej, откуда в силу 0 e Yj заключаем (qij,Vj) < 0 [{qij,Vj)]~ = -(qij,Vj) Vj e Jж Теперь, подставляя эти равенства в правую часть (3.2.6) и суммируя (3.2.5) и (3.2.6) по i e I = N, с учётом построения Q, см. (3.2.4), находим ?a$bs(x,y,q) = ? (qu,Wi) = {? qi, (ши . . . ,шп, 0, . . . , 0)), N N N что и доказывает A6. Итак, пусть (x, y, q) - S-квазиравновесие абстрактной модели, существующее в силу теоремы 2.3.1, где S = те, т > 0, т e *IR. Пусть также (X, y) Ф (x, y) - нестандартное состояние модели, отвечающее определению 3.1.1. Теперь в силу теоремы 2.3.1 (см. последнее из заключений теоремы), "устройства" отображения проектирования g(.), а также ввиду ненасыщаемости 1-го агента и того факта, что y является "фрагментом" его оптимальной реакции, заключаем, что (qij )<{qij, *Yj), j ej. (3.2.7) При этом, поскольку 0 e Yj для всех j, то бюджетные ограничения имеют вид (qii,x'i) < qii^i0j (qij ,yj) + Si, i el (3.2.8) J для i > 2. Кроме того, в силу пункта (ii) определения нестандартного квазиравновесия, для 1-го агента имеет место vabs(x,y) П st*Bf (y,q) = Ф, где множество *Bf (y, q) = *Bf задаётся формулой *B f = {(x'',y'') e X | q 11 x'l + ? qij yj < qi ^ i + ?(1 - j ){q ij y) + S i}. JJ Последнее условие эквивалентно Pi(x,y) П pr|X [st*Bf (y,q)] = 0 . Однако в силу (3.2.7) при определении проекции нестандартного множества *Bf (y,q) (очевидно, что в силу "прямоугольности" X порядок применения операций проектирования pr|Xi [.] и взятия стандартной части множества может быть любым) в левой части определяющего его бюджетного неравенства величины (qij,yj') можно заменить на (qij,yj), что после их "переноса" в правую часть даёт ограничение q 11 x'{ < q 11 w i (q ij ,yj) + $ i. Таким образом, для всех i ИI имеет J место Pi(x, y) p| st{x'' И *Xi I qiixi < qiiWi - ? j (q ij ,Vj) + Si} = 0ж (3.2.9) J Далее, по определению $-квазиравновесия должно быть q И A(*Q), откуда получаем ker? qi ^ kerF & q И Leff ^ 3 p И ]Rl : p = qii V i ИI & qit = 0, t = i, i = 1 V i ИI Vt И T & qij = Чp V j И Jж Теперь, чтобы получить искомый результат, достаточно заменить в (3.2.9) "компоненты" вектора qi на p или Чp и установить тот факт, что pyj = pyj для всех j. Чтобы убедиться в последнем, воспользуемся (3.2.7), что в данном случае даёт (p,yj )>(p, *Yj), j И J, и полиэдральностью Yj. Действительно, без ограничения общности можно считать Yj многогранником (в силу ограниченности A(X)), т. е. предположить, что Yj = co Aj при некотором конечном Aj С ]Rl. Но тогда множество решений задачи pyj ^ max, yj И Yj может быть записано в виде coAj для некоторого Aj С Aj. Таким образом, вектор yj представляется как (нестандартная) выпуклая комбинация конечного числа (стандартных) точек из ]Rl, на которых нестандартный функционал p достигает максимума и, очевидно, pa = pa' для всех a, a' И Aj. Отсюда по линейности заключаем pyj = p(st yj), что ввиду st y = y всё доказывает. ? Заканчивая данный раздел, приведём пример, показывающий, что условия выпуклости и замкнутости множества Y С Ш недостаточно, для того, чтобы из (p, y) > (p, *Y) при y e *Y следовало бы {p, st(y)) > (p,Y). Любопытно, что в двумерном случае это всегда так (легко доказывается). Пример 3.2.1 Пусть Y С IR3 и определён следующим образом: {(yi,y2 ,УЗ) e Ш I y = h(x i,x2,0) + (1-h)(0,0,1), 0 < h < 1, x\ +x22 < 1}. Другими словами, Y представляет из себя выпуклую оболочку диска единичного радиуса с центром в нуле в подпространстве, определён-ном ортами ei и в2, с точкой (0,0,1) - это круговой усечённый конус, представленный на рис. 3.2.1. i У b Рис. 3.2.1 Выберем точки a = (^, ^, 0), b = (0,0,1), принадлежащие *Y, и проведём через них опорную гиперплоскость. Эта гиперплоскость определяется вектором нормали p = 2(^^+?2, ^i++?2, 1). Действительно, вычисление показывает, что (p,a) = (p,b) = 1/2. Однако при этом для y e *Y имеем (y,p) = hx = + - ^vrre2 2У/гтё2 h?x2 + 2 (1 - h) = 2 [( (x i, x2),( , 7+?)) h +(1 - h) Положим x = (xi,x2) и d = ^i+?2, ^i+e^. По условию \lx\l2 = \Jx2 + x2 < 1 и ||d||2 = 1. Поскольку (x,d) = ||||2IId||2 cos(a), где a - угол между векторами x и d, то (x,d) < 1 и, значит, (p,y) < 1/2, т. е. (p, *Y) < (p,a). Однако ^ st(a)) = < (p,a) = (p, b) = ^, т. е. отрезок (st(a),b] не пересекается с {y И Y | (p,y) < (p, st(a))}. ? |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "3.2 Экономики с производством - модель ЭрроуЧДебре" |
|
|