Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Экономический анализ
| Маракулин В. М.. Равновесный анализ математических моделей экономики с нестандартными ценами., 2001 | |
3.3 Экономики с общественными благами |
|
|
Модель экономики с общественными благами характеризуется наличием продуктов специального вида, которые по своим физическим качествам являются продуктами общественного потребления. Примерами общественных благ являются общественные теле- и радиотрансляции, уличное освещение, дороги, разного рода продукция типа "безопасность" (полиция, государственная оборона и т. д.). Список примеров можно продолжить, однако ясно, что во всех этих случаях имеется продукт (благо), одновременно потребляемый многими агентами. Этот продукт нужно воспроизводить (ремонтировать дороги, производить телепрограммы и осуществлять вещание), что нужно как-то финансировать. Понятно, что финансирование воспроизводства продукта коллективного потребления должно осуществляться за счёт всех его потребителей. В неоклассической теории децентрализованной экономической системы в основу механизма стоимостного регулирования общественных благ положено понятие индивидуальных стоимостных оценок, вычисляемых как произведение индивидуальной цены на общий объём потребления. Конечно, в экономике могут быть и обычные продукты, процессы обмена и воспроизводства которых осуществляются по обычным рыночным правилам. В теории определяется соответствующее понятие равновесия (по Линдалю), обладающее в том числе тем свойством, что отвечающие ему состояния экономики оптимальны по Парето. Трудным теоретическим вопросом является проблема практического определения индивидуальных цен. Действительно, в случае продуктов индивидуального потребления этот вопрос решается автоматически, посредством рыночного механизма, основанного на большом числе сделок обмена, методом "нащупывания". По отношению к общественным благам этот способ не срабатывает, ибо индивиды в принципе не могут обмениваться частями общественных благ . С теоретической точки зрения индивидуальные цены должны быть пропорциональны маргинальным нормам замещения (обмена), а в терминах функций полезности - фрагменту градиента, отвечающему общественным благам. Таким образом, чтобы "вычислить" индивидуальные цены, нужно обладать сугубо частной информацией о предпочтениях индивидуумов, что практически неосуществимо. Формально модель экономики с общественными благами имеет следующий вид. В модели имеется конечное число потребителей, образующих множество I = {1,..., n}, и конечное число производителей (фирм) J = {n + 1,... ,n + r}. В экономике представлено l типов продуктов частного потребления, их номенклатура {1,... ,1},и s видов общественных благ, занумерованных индексами {l + 1,..., l + s}. Таким образом, всего имеется l + s продуктов. Потребители оснащены индивидуализированными потребительскими множествами частных продуктов Xp С ]Rl и общим для всех потребителей множеством допустимых к потреблению общественных благ Xc С 1RS. Здесь ]Rl+s - это пространство продуктов. Кроме того, потребители обладают исходными запасами частных продуктов wi И ]Rl, i И I, а экономика в целом - запасами общественных благ wc И ]RS. Фирмы могут производить и затрачивать как частные так и общественные блага, их производственные возможности заданы посредством технологических множеств Yj С ]Rl+s, j И J. Производственные планы yj И Yj будут записываться в виде yj = (ypy), где yp И ]Rl соответствует продуктам частного потребления, а yC И ]RS - общественного. Множество Xpg = П Xp х Xc х П Yj I J отождествляется с совокупностью всех допустимых состояний, а про-странство L = ]Rln+s+r(l+s) ^ Xpg есть пространство состояний. Предпочтения потребителей определены на Xpg и принимают значения в Xp х Xc, т. е. Pi : Xpg ^ Xf х Xc. Как мы видим, в данной модели имеются внешние влияния, сконцентрированные в сфере общественных благ. Кроме того, так же как и в модели Эрроу-Дебре, определены доли ej > 0 - компоненты вектора ei = (вгП+i,..., вгП+г) - потребителя i в прибыли производителя j. Эти величины удовлетворяют условию ej = 1 для всех j И J (т. е. прибыль полностью распределяется между акционерами). Процессы обмена и воспроизводства благ регулируются посредством индивидуальных цен на общественные блага qi И ]RS и рыночных цен p И ]Rl на продукты частного потребления. Множество Qc С ]RS определяет допустимые наборы индивидуальных цен для каждого потреби- ное", с тем чтобы задействовать рыночный механизм. Примером может служить переход к счётчикам при оплате водоснабжения. теля, а Qp С IRl - это множество всех допустимых рыночных цен. Механизм стоимостного регулирования определяется как обычно, с помощью функций распределения дохода ai : П j Yj х Q ^ R, где Q = Qp х [Qc]1, которые задают бюджетное ограничение (xH,p) + (xc, qi) < a.i(y, q,p), xi e Xf, xc e Xc, i e I, где y = (y i,...,yr) e П J Yj, q = (q i,...,qn) e [Qc]T и p e Qf. В чисто неоклассическом варианте функции распределения дохода "вычисляются" по формуле ai(y, q,p) = ,p) + {uc, qi) + ? 6j (pyj + qyC), i e 1, jeJ где q = x qi. Как видим, в последнем случае "доходы" формируются из трёх источников: от продажи исходных ресурсов wi по рыночным ценам p, индивидуализированной стоимостной оценки общественных благ (qi, uc) и как "сумма дивидендов" из прибыли производителей. Отметим (это важно), что прибыль определяется с помощью "производственных цен" (p,q). Кратко модель экономики с общественными благами может быть записана в виде Efg = (I, J, Rl, Rs, { Xf, Pi(.), di, ^ }iex, {Yj }jej, Xc, Qc, Qf, uc). В неоклассической постановке в качестве равновесия (по Линда- лю) принимается такое состояние z = (x,xc,y) e Xpg и набор цен (p,q i,... ,qn) e Q, что при q = ^ т qi выполняется qyj + pyj > qycj + pyf, j e J, для каждого (yf, yc) e Yj (принцип максимизации прибыли производителями); имеет место xip + xcqi < ai(y, q,p) и Vi(x,xc,y) П Bi(y,q,p) = Ф, i e I; и при этом выполнены: баланс по продуктам частного потребления - ?xi = ? ^i + ? yj I I \j и баланс общественных благ - + ? yj. J Здесь Bi(y,q,p) - это бюджетное множество потребителя i, заданное по формуле Bi(y, q,p) = {(xH, xc) e Xf х Xc | xHp + xcqi < a(y, q,p)}. Как это следует из формального определения, в понятие равновесия по Линдалю в модели Efg заложен принцип максимизации прибыли производителями по совокупным производственным ценам (p, q), q = Ет qi. Прочие требования, предъявляемые в понятии равновесия с общественными благами, имеют обычный содержательный смысл и аналогичны соответствующим условиям, которым удовлетворяет конкурентное равновесие модели Эрроу-Дебре. Нужно только обратить внимание на специфическую форму балансовых ограничений общественных благ - это принципиально и следует из содержательной стороны вопроса. С целью перейти к понятию равновесия с нестандартными ценами необходимо определить понятие бюджетного множества. При фиксированных y e П jYj, нестандартных ценах (p,q) e *Q и для нестандартного Si > 0 положим *Bf (y, q,p) = {(xf, xc) e *Xf х *Xc | xfp + xcqi < ai(y, q,p) + Si}. Величины Si > 0 условимся, как обычно, называть трансферабельны- ми стоимостями, а вектор S = (Si,... ,Sn) - схемой перераспределения избыточных стоимостей. Определение 3.3.1 Состояние экономики (x,xc,y) e Xpg, набор нестандартных индивидуальных цен q = (qi, .. ., qn), qi e *Qc, i e I и нестандартный вектор рыночных цен p e *Qp называется равновесием модели Epg с фиксированной схемой перераспределения избыточных стоимостей S = (Si,. .., Sn), S e *ШХ, S > 0, если выполнены условия (xi,xc) e st*Bf (y, q,p) Vi e I; Pi(x,xc,y) n st*Bf (y,q,p) = Ф Vi eI; (p, yf) + (Ex qi, yj) > (p, yp) + Ei qi, j V (yf, yc) e Yj, Vj e j; Tiex xi = ? jeJ yj + ? iei "i> x = ? jeJ УЗ + шcж Исследование модели Efg и проблемы существования равновесий с нестандартными ценами будет осуществлено стандартным приёмом, посредством сведения Efg к модели абстрактной экономики. С этой целью положим N = I, а в качестве пространства состояний L и множества допустимых состояний X возьмём L = Rln+s+r(l+s) & x = П X х Xc х П Yj, I J соответственно. Предпочтения агентов абстрактной экономики V*bs : X ^ X определим по формуле P?bs(x,xc,y) = П Х! xPi(x,xc,y) х ПYj t=i teN J для всех i И N и (x,xc,y) таких, что Pi(x,xc,y) = 0. Ясно, что таким образом определены предпочтения с ограниченными внешними влияниями. Далее определим балансовый оператор F : L ^ ]Rl+s, полагая F = (Fp, Fc), где Fp : L ^ ]Rl и Fc : L ^ ]Rs задаются тождествами Fp(x,xc,y) = ?xi yj & Fc(x,xc,y) = xc yj, (x,xc,y) И L. I J J Примем в качестве "исходного состояния" вектор wabs = (wi ,w9 ,...,wn,wc, 0,..., 0) И L. В таком случае имеем F(wabs) = (Yj W,wc). Наконец, необходимо подходящим образом определить механизм стоимостного регулирования. Положим T = IU J U {с}, где индекс "с" отвечает множеству Xc допустимых общественных благ, и определим Qabs = { (qi, ...,qn) И (L')N | (qji, q?), qij И Qp X Qc i ИI, j ИJ & (qi)t = 0, t = i, t И I & (qi)t = 0, i = 1, t И J }. (3.3.10) Здесь (qpi,q'c) - это "фрагмент" вектора qi, отвечающий потреблению агента i, где qji - для частных, а qc - общественных благ. Аналогично, (qi)t - это "фрагмент", отвечающий t И T. Заметьте, что только у 1-го агента компоненты индивидуальной цены, соответствующие производственному сектору, могут принимать ненулевое значение. Из построения множества Qabs и определения предпочтений в абстрактной модели следует, что в качестве эффективной области изменения цен можно принять подпространство Leff = { (qi,...,qn) И (L')N I (qi)t = 0, t = i, t ИI & (qi)t = 0, i = 1, t И J }. Функции распределения дохода зададим по формулам aabs(y, q,p) = (qfi, шi) + (qf, uc) + ? ej [{yj, qi j)]- jeJ при i = 1 и i e N. Для i = 1 положим aabs(y,q,p) = (qfi,шi) + (q^c) + ?(1 - ej){yj,qij). jeJ Так же как и в модели Эрроу-Дебре легко убедиться в том, что условия wi e Xf, wc e Xc и 0 e Yj при выпуклых Yj для всех i e I и j e J влекут истинность предположения A7 в абстрактной модели - ибо ш^ принадлежит бюджетному множеству при i > 2, а (ш 1,Ш2, ...,Шп, ШС, (1 - en+i )yn+1,. . ., (1 - en+r )yn+r) находится в бюд-жетном множестве агента 1. Прежде чем перейти к теореме существования равновесий с нестандартными ценами, установим следующий вспомогательный результат. Лемма 3.3.1 Пусть q i,q2,. .. ,qn e L' ж Тогда условие ker Е.Л/ qi ^ kerF для q = (qi,...,qn) e Leff эквивалентно существованию такого p e IR1, что qpu = p V i eI; Ei qic = q= -(qi j)c, qi j = q) V j e J; (qi)t = 0, t = i Vt,i e I; (qi)t = 0, i = 1 V t eJ, Vi eI. Доказательство леммы 3.3.1. По определению имеем kerF = F-1 (0) = [Fp]-1 (0) n [Fc]- 1 (0) = kerFp n kerFc. С другой стороны, для любого линейного h : L ^ IR условие ker(h) D kerF эквивалентно h e (kerF= (kerFp) + (kerFc). Таким образом, чтобы получить необходимую характеризацию, нужно определить (kerFp)^ и (kerFc)^. Легко видеть, что h' e (kerFp)^ ^^ 3p e IR1 : hi = p, h'c = 0, hj = (-p,0) e RLl+s Vi eI, j e J, и h" И (kerFc)L ^^ 3 q И Rs : hi = 0, h'c = q, hj = (0, -q) И ]Rl+s V i ИI, j ИJ. Учитывая условие q = (qi,q9,. .. ,qn) И Leff и, таким образом, Sjv qi = h' + h", имеем искомый результат. ? Существование равновесий с нестандартными ценами и фиксированной схемой перераспределения избыточных стоимостей в модели Epg будет установлено для полиэдрального множества допустимых состояний и основано на применении теоремы о существовании S-квазиравновесий в абстрактной модели. Теорема 3.3.1 Пусть модель Epg удовлетворяет предположениям A1-A4. Дополнительно предположим, что Xp, Xc и Yj полиэдральны и при этом wi И Xp, wc И Xc, 0 И Yj при всех i И I, j И J. Пусть также 0 И int Qp, 0 И int Qc и существует io ИI - локально ненасы- щаемый потребитель, т. е. такой, что (xi0 ,xc) И cl Pi0 (x,xc,y) при любом (x,xc,y) И Xpg. Тогда для любого ? > 0, ? И Ш1 существует S-равновесие с нестандартными ценами, такое, что S = Т? при некотором нестандартном Т > 0. Доказательство теоремы 3.3.1. Доказательство идёт симметрично теореме 3.2.1 о существовании нестандартных равновесий в модели Эрроу- Дебре. Напомним, что в условиях полиэдральности Xpg и A4 предположение A3 эквивалентно A3'. Таким образом, в силу условий теоремы выполнены предположения A1-A5 и A7 в абстрактной модели экономики. Проверка закона Вальраса - предположения A6 - осуществляется с помощью тех же аргументов, что и в теореме 3.2.1. В данном случае нужно положить Ti = {1, с} U J и Ti = {i, с} для всех i = 1. Далее, используя локальную ненасыщаемость 1-го агента (так можно считать без ограничения общности), заключаем, что для оптимальных реакций (x, xc, y, q) имеет место (qij,yj)<{qij,Yj} Vj ИJ. Отсюда, в силу 0 И Yj, следует {qij,yj) < 0, что даёт [{qij,yj)]_ = -{qij, yj) для всех j И J. Последнее из определений и после несложных вычислений даёт ?afs(y,q) = {? qi,wabs), N N что доказывает A6.? Итак, выполнены все условия теоремы 2.3.1 в абстрактной модели, отвечающей Epg, используя которую, заключаем, что существует S-квазиравновесие, такое, что S = те при некотором нестандартном т > 0. Пусть (x,xc,y,q) и есть это S-квазиравновесие, а (x,xc,y) Ф (x, xc, y) - нестандартное состояние экономики, отвечающее определению 2.3.3 и обладающее свойствами, указанными в теореме 2.3.1. Опять, также как в доказательстве теоремы 3.2.1, из локальной ненасыщаемости 1-го агента следует (qij, У j)<{qij, *Yj) V j eJ, (3.3.11) откуда, используя свойство (ii) определения квазиравновесия, а также из построения, несложно заключить, что Pi(x,xc,y) не пересекается с st{(xi, xc') e * (Xf х Xc) | qfixi + qcxc' < qf^i + q^c - ? ej (y j, qij) + Si} jeJ (3.3.12) для всех i e N. Действительно, проверки требует только случай i = 1, ибо qj = 0 для i > 2, j e J по построению Qabs, а дальше из определения равновесия. Напомним, что в рассматриваемом случае бюджетное ограничение для i = 1 имеет вид qpi xi + q1xc' + ? q ij yj < qpiш i + qc^c + ?(1 - ej ){yj ,q ij) + S ь jeJ jeJ xf' e *Xf, xc' e *Xc, yj e *Yj, j e J. Однако опять, в силу теоремы 2.3.1 (см. последний фрагмент), последнее неравенство остаётся истинным p' c p c при замене в его левой части xi , xi , yj на xi, xi, y j и, кроме того, имеет место vabs(x,~xci ,y j) n *B I (y ,p,q) = ф. Отсюда, стандартным образом используя ненасыщаемость 1-го агента, заключаем истинность нужного соотношения (грубо говоря величину q j yj нужно перенести в правую часть бюджетного неравенства и "сократить" с Yj jqi j У j). Наконец, используя (3.3.11) и полиэдральность X, заключаем, что (qij,y j) = (qij,yj), j e J, что можно подставить в (3.3.12). Чтобы закончить доказательство, осталось воспользоваться свойством q = (qi,..., qn) e *Qabsn*Leff, пунктом (iv) определения нестандартного квазиравновесия, что влечёт ker Ej\f qi ^ kerF, и применить принцип переноса к лемме 3.3.1. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "3.3 Экономики с общественными благами" |
|
|