Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Экономический анализ
| Маракулин В. М.. Равновесный анализ математических моделей экономики с нестандартными ценами., 2001 | |
2.4.2 Бюджетные множества без условия Слейтера |
|
|
Представляет интерес выяснение структуры бюджетных множеств с нестандартными ценами в случае когда условие Слейтера нарушается, но при этом выполнено предположение о непустоте бюджетных множеств A7. Дальнейшее изложение в пределах данного пункта будет посвящено исследованию этого вопроса, ответ на который не является столь же элементарным, как в ранее рассмотренных случаях. Нам потребуется следующая вспомогательная Лемма 2.4.1 Для каждого p G *]Rm найдётся такая (единственная) система ортонормальных стандартных векторов {ei, .. ., ek} из ]Rm, что p = X1e1 + жжж + Xkek, X3 G *]R, j = 1, 2,...,k. (2.4.17) При этом коэффициенты Xj > 0 и удовлетворяют соотношениям Xj+1/Xj л 0, j = 1, 2,...,k - 1. Доказательство леммы 2.4.1. Доказательство проводим по индукции, которую ведём по размерности m пространства, содержащего вектор p e *]Rm. При m = 1 утверждение леммы очевидно. Предполагая её истинность при m < l, докажем для m = l + 1. Предполагая p = 0, положим p' = p/*||p||. Так как точка p' около- стандартна, (ввиду компактности единичного шара в конечномерном пространстве и нестандартного критерия компактности), то можно положить e1 = st(p') и X1 = (p, e1). Далее положим p'' = p - X^ и определим подпространство L = {x G ]Rm | (e1 ,x) = 0}. Отметим, что *L будет иметь то же "устройство", что и L (в силу принципа переноса). Из определения p'' получаем: (p'', e1) = (P, e1) - e1)(eb e1) = 0, (ибо (e1, e1) = 1), откудаp'' G *L. Однако dimL < l, что в силу индуктивного предположения означает существование ортонормальной системы стандартных векторов {e2,..., ek}, таких, что p'' = X2e2 + + Xk ek, причём коэффициенты удовлетворяют Xj+1/Xj л 0, j = 2,... ,k - 1. Принимая {e1, e2,..., ek } в качестве искомой системы, получаем p = X1 e1 + p'' = Xe + + Xk ek. Ортонормальность полученной системы стандартных векторов очевидна из построения; нужно установить X2/X1 л 0. Чтобы убедиться в этом, положим S = ||e 1 - p'H2 л 0 и подсчитаем * Hp' - (e1,p')e11|2 = (p',p') - 2(e1,p')2 + (eup')2(eue1) = 1Ч2(e1,p')2 + (e1,p')2 = 1 - (e1,p')2 = 1 Ч(1 - | )2 = 1 Ч1+SЧ ? = S(1 - |). Отсюда заключаем: *||p''|| = *Wp - X1e1|| = *||p||*||p' - (e1,p')e1H = e*M, где e = ySYЧSjA) л 0. Однако, с другой стороны, *l|p''ll = *WP - X1 e11| = *||X2e2 + ж ж ж + Xk ekH = j X2 + жжж + X2. Отсюда, учитывая (e1,p') л 1, получаем 0 < X2 < VX2 + жжж + X2 = *jjpi = e*M = ^Q ~ X1 ~ X1 X1 (e1,p) (e1,p') ' Единственность представления нестандартного функционала по формуле (2.4.17) следует из изложенного выше построения системы {e1,... ,ek}. Действительно, предполагая наличие другого разложения и повторяя рассуждения, убеждаемся в том, что все параметры этого представления должны совпадать с полученными выше. ? В дальнейшем нам потребуется следующая Лемма 2.4.2 Пусть X С ]Rm - полиэдральное множество (многогранник) и p G *]Rm. Тогда (p, X) > 0 влечёт (p, *X) > 0. Прежде всего отметим, что утверждение леммы ложно если множество X не является полиэдральным. Действительно, рассмотрим например X = {x G R+ | (x2)2 < xi] и p = (1, Че), е л 0, е > 0. Тогда для каждого x G X получим px = xi - ех2 > 0. Однако для элемента X = (е2/4,е/2) G *X будем иметь px = е2/4 - е2/2 < 0. Доказательство леммы 2.4-2. По данным леммы множество X состоит из векторов из ]Rm, удовлетворяющих некоторой системе линейных неравенств, т. е. X = {x G ]Rm | dax < ga, a G A], где da G ]Rm, d = 0, ga G ]R и A конечно. Из теории многогранников (основная теорема о представлении) известно, что множество X может быть альтернативным образом описано как сумма некоторого выпуклого многогранника Y С ]Rm (выпуклая оболочка конечного множества векторов) и выпуклого конуса Z С ]Rm с конечным числом образующих, т. е. X = Y + Z, и для некоторых конечных B С ]Rm, C С ]Rm имеет место Y = co B = {? РФ I У bGB pbG R,, въ > 0 & ? въ = 1 ] B B и Z = con C = {? Ycc I У cGC Yc G R,, Yc > 0]. C Тогда по условию {p,X) > 0 pb > 0 & pc > 0 У bGB, У cGC. С другой стороны, по принципу переноса *X =* Y +*Z, а множества *Y и *Z описаны, как указано выше, при условии замены ]R на *]R (т. е. "навешиваем" звезду на константу ]R). Но тогда pb > 0 & pc > 0 У bGB, У cGC {p, *X) > 0. ? Одним из основных результатов настоящего раздела является нижеследующая теорема, описывающая в стандартных терминах структуру бюджетных множеств с нестандартными ценами. Пусть p G *Rm - любой фиксированный нестандартный вектор. Используя лемму 2.4.1 рассмотрим представление p (единственное!) в виде (2.4.17). При фиксированном w e ]Rm, X С ]Rm определим следующие множества. Для t = 1, 2,... ,k положим B(t,p, w) = {y G X | yet < etw, yej = ej w, j = 1, 2,. .. ,t - 1}, для t = k + 1 определим B(k + 1,p, w) = {y G X | yej = ejw, j = 1, 2, .. ., k}, и пусть для t = 0 B(0,p, w) = X. Теорема 2.4.1 Если X С ]Rm - полиэдральное множество, w G ]Rm - некоторый стандартный, а p G *]Rm - любой нестандартный вектор, то B(p) := st{x G *X Kp,x) <(p, w)} = B(t,p, w) (2.4.18) при некотором натуральном t < k + 1, причём для всех t = 1, ... ,k найдётся такой y G B(t,p, w), что yet < etw. Доказательство теоремы 2.4.1. Без ограничения общности можно считать, что w = 0 и p = 0 (иначе тривиально). Положим eo = 0. Далее предположим, что существует t G {1,..., k} и такой элемент y G X(eo,...,et-1) := {y G X | yej =0, j = 0, 1,...,t - 1}, что ety < 0; и пусть t наименьший такой номер. В случае, когда в {1, . . . , k} нет такого номера, положим t = k+1. Прежде всего, заметим, что по выбору t (из "минимальности") будем иметь (ej ,X (eo,...,ej-1)) > 0, V j G {1, .. . ,t - 1}. Далее покажем, что для t > 2 и любого j = 2, . . . , t - 1 имеет место (X1e1 + + X3ej, X) > 0. Действительно, возьмём любой стандартный x' G X и рассмотрим в упорядоченном множестве {e1x', .. ., ejx'} первый ненулевой элемент erx', если он вообще существует. Так как r < t - 1, то из предыдущего заключаем, что этот элемент положительный. Следовательно, ввиду стандартности e^x' и в силу X^ > 0 & X^+1/X^ л 0, ? = 1,..., k, где Xk+1 = 0, заключаем (X1e1 + ж ж ж + Xj ej, x') = Xr erx' + ж ж ж + Xj ejx' > 0 Ч что и требовалось доказать. Но тогда в силу леммы 2.4.2 заключаем (Aiei + ХХХ + Ajej, *X)> 0. (2.4.19) Далее докажем собственно тождество (2.4.18). Для t = 1 оно следует из Утверждения 2.4.2. Предположим, t И {2,... ,k} и покажем, что B(p) = B(t,p, w). _ Начнём с проверки включения B(p) С B(t,p, w) . С этой целью возьмём произвольный x И B(p) и предположим, что x И B(t,p, w). В таком случае по выбору t найдётся такой номер j И {1,..., t}, что ejx> 0, e^x = 0, ? =1,...,j - 1. (2.4.20) Теперь рассмотрим x л x, x И *X и подсчитаем Чpx = - [Aiei + + Aj-iej-i]x + ej x + ^[Aj+iej+i + + Akek ]x. Aj Aj Aj В силу (2.4.19) первое слагаемое суммы из правой части неотрицательно (при j = 1 оно отсутствует), второе слагаемое превосходит 0 на стандартную величину, а третье пренебрежимо мало. Следовательно, (1/Aj )px строго положительно, откуда px > 0 для всех x И *X, x л x, что противоречит выбору x И B(p). Таким образом B(p) С B(t,p, w) доказано. Докажем включение D в равенстве (2.4.18). При t = k + 1 доказывать нечего. Пусть t < k и x И B(t,p, w). Предполагая (x, et) = 0 (напомним, что w = 0), возьмём x' И B(t,p, w), такой, что (x',et) < 0, и оценим величину (x',p): к к (x',p) = (x\?Aj ej) = At(x',et) + ? Aj (x',ej) = j=i j=t+i к Aj (x',et) + ? Aj (x',ej) j=t+i At Так как Aj/At л 0 при j > t, то должно быть (x',p)/At < d < 0 при некотором стандартном d. Теперь положим xM = (1 - f)x + fix', где fi > 0 и f л 0. По построению xM л y, xM И *X, и справедлива оценка к (xm,p) = (1 - f)(x,p) + f(x',p)< (1 - f) ? Aj(x,ej) + ffAtd. j=t+i Ясно, что при ц = \JAt+i /At ~ 0 величина, стоящая в последнем неравенстве справа, будет отрицательна, и, стало быть, {x^,p) < 0. Таким образом, по произвольно заданному x G B(t,p, w) найден xм л y, принадлежащий множеству {x G *X | {p,x) < {p, w)}, что всё и доказывает. ? Формулировка и особенно анализ доказательства Теоремы 2.4.1 мо-гут породить сомнения в необходимости предположения о полиэдраль- ности (многогранности) множества X и желание заменить его чем- нибудь более слабым, например выпуклостью. Следующий пример показывает, что для выпуклых множеств результат неверен. Пример 2.4.1 Пусть множество X С R3 задано формулой X = {(xi, x2, xs) I xi > 0 & x2 < 0 V x2 > 0 & xi > x2} и изображено на рис. 2.4.1. xi x3 ^ X x2 Рис. 2.4.1 Рассмотрим в качестве нестандартных цен вектор вида p = (1,0, 0) + 2s2 (0, Ч1, 0) + еА(0, 0,1) при е л 0, е > 0. Положим w = 0 и исследуем структуру множества st{x G *X | {p,x) < {p, w) = 0}. С учётом строения множества X, для околостандартных x = (xi,x2,xs) G *X получаем px < 0 xi < 0 & xi > 0 st(xi) = 0, px < 0 x2 - 2е2x2 < 0 x2 < 0 st(x2) = 0, px < 0 s4x3 < 2s2x2 Чx\ < max(Чx2 +2s2x2) = s4 st(x3) < 1. Тем самым доказано, что st{x G *X I px < 0} С {(yi,y2,ys) G X I yi = У2 =0, ys < 1}. Чтобы убедиться в истинности обратного включения, достаточно заметить, что для любого y = (0, 0,УЗ), удовлетворяющего уз < 1, вектор y' = (е4, е2,уз) л у, принадлежит *X и удовлетворяет py' < 0. В итоге имеем "бюджетное" множество, строение которого отличается от описанного в теореме 2.4.1. Анализ данного примера может подсказать гипотезы о строении "бюджетных множеств при выпуклом X". Последнее, однако, остаётся открытым вопросом. ? Теорема 2.4.1 не дает непосредственного ответа на вопрос относительно ключевого понятия для теории равновесия - устройства бюджетного .множества с нестандартными ценами и трансферабельны- ми стоимостями. Тем не менее эта теорема является достаточно мощной, чтобы дать корректный ответ, нужно всего лишь воспользоваться следующим несложным техническим приёмом. Рассмотрим (m + 1)-мерное множество X = X х {1} и вектор цен p* = (p, - Y). Тогда проекция множества B* = {x G *X I p*x < 0} на первые m компонент является в точности множеством B(p,Y) = {У G *X I py < Y}. (2.4.21) Ясно, что стандартная часть множества B* может быть описана посредством теоремы 2.4.1 (относительно w = 0), а её проекция на ]Rm совпадает со стандартной частью множества B(P,Y) (в силу непрерыв-ности проектирующего отображения). Далее, чтобы воспользоваться теоремой 2.4.1, с целью описать stB*, нужно иметь представление вектора нестандартных цен (p, ЧY) в виде "разложения по ортонормальному стандартному базису", определённому в лемме 2.4.1 с помощью формулы (2.4.17). Полученное на этом пути описание структуры множества stB(p, Y) имеет довольно громоздкий вид, и мы его опускаем. Однако важен сам принцип описания - это множества типа B(t,p, w), определённые в пространстве RЩ^1. Из последнего в частности следует, что стандартные части множеств вида (2.4.21) имеют следующие небезынтересные математические свойства. Следствие 2.4.3 Если X - полиэдральное множество, то при любом Y И *И и каждом y И stB(p,Y) имеет место st{z И *X \(p,z)< (p,y)}C stB (p, Y ). Следствие 2.4.4 Если X - полиэдральное множество, то при любом околостандартном x И *X имеет место st{z И *X \(p,z) < (p, st(x))} С st{z И *X \(p,z) < (p,x)}. Следующий пример показывает, что включение, описанное в следствии 2.4.4, может быть собственным. Пример 2.4.2 Пусть X = [0, 2] х [0, 2], p = (1, е), x = (е, 1) при е л 0, е > 0. Так как st(x) = (0,1) и ei = (1, 0), e2 = (0,1), где p = 1 Х ei + е Х e2, то в силу теоремы 2.4.1 должно быть st{z И *X \(p,z)< (p, st(x))} = {(yi,y2) И X \ yi =0,У2 < 1} = {0}х [0,1]. В то же время {(yi,y2) И *X \ yi + ?y2 < 2е} D {0} х [0, 2] и {(yi, y2) И *X \ yi + ?y2 < 2е} С [0, 2е] х [0, 2], откуда следует st{(yi,y2) И *X \ yi + ?y2 < 2е} = {0} х [0, 2]. ? Особый интерес в приложениях понятия равновесия с нестандартными ценами и схемой перераспределения избыточных стоимостей к классическим моделям экономики представляет выяснение структуры бюджетных множеств с трансферабельными стоимостями, заданных с помощью функций распределения дохода, имеющих вид скалярного произведения (содержательно - это стоимость исходных запасов, по определению представленных стандартными векторами при нестандартных ценах). Изучение внутренней структуры множеств этого типа является (i) предметом нижеследующих рассмотрений. В отличие от общего случая множеств типа (2.4.21) мы дадим, используя специфику определения, полноценное описание структуры этих множеств в исходных терминах нестандартной цены и заданных трансферабельных стоимостей (а не в терминах расширенного функционала цен, как это было отмечено выше). Итак, далее нас будет интересовать внутреннее устройство множеств вида Bw(p, Y) = st{x G *X I px < pw + Y} при некотором нестандартном Y > 0, где X С ]Rm, а w - любой стан-дартный вектор из ]Rm. Прежде всего установим следующий вспомогательный результат. Лемма 2.4.3 Пусть множество X С ]Rm выпукло и замкнуто, а нестандартные вектора p,p' G *]Rm и величины Y > 0,Y' > 0 удо-влетворяют условиям IIp - p'II / Y л 0 & Y/Y' л 1 и найдется такой околостандартный z G *X, что pz < pw. Тогда BW (P,Y)= BW(p',y'). Доказательство леммы 2.4.3. Сначала установим Bw(P,Y) = Bw(P,Y'). Предполагая Y' > Y, покажем, что имеет место BW (P, y') с BW(P, y). Действительно, пусть x G Bw(p,Y'). По определению найдется такой y л x, y G *X, что py < pw + Y'. Предположим, что py > pw + Y (иначе нечего доказывать), и рассмотрим z' = (1 - е)у + ez = y + e(z - y), где нестандартный вектор z выбран из условия леммы, а е л 0 - из условия Y' = (1 + S)Y. По построению, z' л y л x, z' G *X, а из предположений следует, что pz - py < ЧY, откуда получаем pz' < pw + Y' + S(Z - y)p < pw + Y' - SY = pw + Y, что все и доказывает. Теперь установим Bw(p, Y') = Bw(p', Y'). Положим p'' = pЧp'. По условию имеем ||p''|| / Y' ф 0, а значит, найдется такой е Ф 0, е > 0, что УН/ SY'ф 0. Но тогда для всех околостандартных y G *X будем иметь Ip''yI < IIp''II Х IIyII < SY', откуда следует p'y - SY' < py < p'y + SY', что влечёт Bw(p', Y' - SY') С Bw(p, Y') С Bw(p', Y' + SY'). Однако в силу доказанного выше, левая и правая части этой цепочки включений равны Bw(p',Y'). П Следующая теорема дает полную характеристику бюджетных множеств с нестандартными ценами и трансферабельными стоимостями. Используя лемму 2.4.1 и представление (2.4.17), для данного p G *]Rm поставим в соответствие нестандартной величине Y > 0 такой j = 1,... ,k +1, что Y/Aj-i Ф 0 & Y/AJ ф 0. (2.4.22) В (2.4.22) для определенности полагаем Ao = и A^+i = 0. Такой j = j(p, Y), в силу сказанного и леммы 2.4.1, определен корректно. Положим р = st(Y/Aj) при Y/Aj ф ж. Теорема 2.4.2 Пусть X - выпуклое полиэдральное множество, w G X, а p G *]Rm, нестандартный Y > 0 и номер j = j(p,Y) связаны соотношением (2.4.22). Тогда истинна одна из альтернатив: Bw(p, Y) = X при Y/A1 Ф +ж; существует такой t < j, что Bw(P,Y) = B(t,p, w), причем най дется такой y G X, что ety < etw; Bw(P,Y) = {x G X I ery = erw, r < j} при Y/Aj Ф +ж; Bw(P,Y) = {x G X I ery = erw, r < j, ejy < ejw + р} при Y/Aj ф Доказательство теоремы 2.4-2. Рассмотрим (m +1)-мерное множество X = X х{1}, вектор "исходных" запасов w* = (w, 0) и "бюджетное" множество B* = {x И *X \ p*x < p*w*}, (2.4.23) где вектор цен p* определяется по формуле k (p', -Y), при Y/Xj ф p' = p - Y, Кer, P* H 3 r=j (p', ЧXjр), при Y/Xj ф p' = Xrer. r=i По построению, в силу условия w И X и Леммы 2.4.3 проекция стан-дартной части множества (2.4.23) совпадает с Bw(p, Y). Чтобы убедиться в этом прежде всего заметим, что всегда имеет место stfc^m [B* ])=Pr]Rm [stB*], где рГ|? [А] означает проекцию множества А на подпространство L. Далее, из построения следует, что для любого x И *X при Y/Xj ф имеем p'x - Y = (p*, (x, 1)), а для второй альтернативы при Y' = Xjst(Y/Xj) выполняетсяp'xЧY' = (p*, (x, 1)). Таким образом st(pr|tRm [B*]) совпадает с Bw(P',Y) или Bw(p',Y') соответственно. Поскольку в обоих случаях для данных p,p',Y,Y' выполнены условия Леммы 2.4.3, то мы имеем искомый результат. Далее, из построения мы можем также написать: p* = ? Xr e* + X*e*, r (0, Ч1), при Y/Xj ф j Xj ej \ (ej, Чр), при Y/Xj ф и X* = [ Y, при Y/Xj ф j X Xj, при Y/Xj ф Поскольку система векторов {e*}r ? что все и доказывает. ((У, ^ (ej, ЧР))<((w, 0), (ej, ЧР)) =^ yej < wej + P,. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "2.4.2 Бюджетные множества без условия Слейтера" |
|
|