Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Экономический анализ
| Маракулин В. М.. Равновесный анализ математических моделей экономики с нестандартными ценами., 2001 | |
Доказательство теоремы 2.2.2 |
|
|
. Аналогично предыдущему доказательству можем считать, без ограничения общности, что Q П Leff является шаром единичного радиуса в Leff, а в силу A1, A2, мы можем также считать, что X является компактным подмножеством в L (в противном случае заменим X его пересечением с подходящей компактной выпук-лой и "прямоугольной" окрестностью множества A(X)). Рассмотрим следующие стандартные аппроксимации бюджетных ограничений экономических агентов. Пусть даны е = (ei,...,en) ^ 0, текущее состояние экономики x G X и набор допустимых индивидуальных цен q = (qi, ..., qn) G Q. В качестве новых доходов примем величину a1(x, q) = т(q)ei + a4(x, q), где для фиксированного 0 < в < 1/2 положим т(q) = (e -||q||)+ + n ?min(e, Н||). N Отметим, что по построению 0 < т(q) < 1, откуда в силу ei > 0 и предположений A5, A7 следует, что функции a1(.) непрерывны и удовлетворяют условию Слейтера. Далее переходим к построению точечно-множественного отображения, чьи неподвижные точки реализуют е-равновесные состояния абстрактной экономики. Положим Xi = X, Yi = ВП = {y G L |||y||2 < П ? ej}, i GN N и K = П Yi X (Qp| Leff) xJJXi. NN Множество K является непустым выпуклым компактом. Определим отображения, действующие из K в себя. Для каждого i G N и к = (yi,..., yn, q, xi, ..., xn) G K, xi G Xi, q G Q положим *i(л) = ^i(q) = { y' G Yi | qiy' < -Птп(в, ||qi||) Х (? ?j) }. N Эти точечно-множественные отображения имеют замкнутый график и непустые выпуклые значения для всех к G K. Используя закон Вальраса A6 и отвечающее ему отображение проектирования g : LN ^ L, определим точечно-точечные отображения проектирования g'(.), g''(.) из K в X и Бе = {y G L | ||y|| - ^}, полагая д'(к) = g(xi,..., xn), д''(к) = g(yi,..., yn). Из построения в частности следует, что оба эти отображения непрерывны. Положим xo = g(xi,..., xn) и для ф,,(к) = фi(xo, xi, q) определим: 1(к)=\ {z' G Xi | qiz' \ {z' G Xi | qiz' к ^ {z' G Xi | qiz' < al(xi, q)} является полунепрерывным снизу и обладает непустыми, относительно открытыми и выпуклыми значениями. Следовательно, в силу A3 отоб-ражение к ^ ф^к) будет полунепрерывно снизу и иметь открытые в Xi и выпуклые значения. Однако отображение ф-^(.) может принимать пустые значения. Положим Ui =dom ф^.) = {к | ф^к) = 0}. Отображение ф^ принимает во всей своей области определения непустые значения. Более того, в силу ограниченности внешних влияний (2.2.9), по выбору q G Leff и определению пространства Leff, для всех к G Ui имеет место Ф^К) = РГ\:Ьъ Шк)] х Y[ Xt, teT\Ti где посредством pr|L _ [фДк)] обозначена проекция множества ф^к) на Li = Пte_T- Lt. Ясно, что точечно-множественное отображение фьг(.) : к ^ prL ф(к)] полунепрерывно снизу и имеет открытые, выпуклые и непустые при к G Ui значения. Следовательно, это отображение, (равно как и фi(.)), удовлетворяет теореме Майкла (о существовании непрерывного селектора). Выберем любой непрерывный селектор f этого отображения и определим непрерывный селектор отображения ф-^(.) по формуле ft(K) = (ft (к), g'L-(к)), к G Ui, где g'L(к) - проекция вектора g'(к) на пространство LЧi = ПteT\т. Lt. Другими словами, в силу сделанных предположений у отображения ф{,(.) существует и выбирается селектор, полученный как декартово произведение двух отображений, причём так, что "фрагмент" этого селектора, отвечающий дополнительному к Li пространству - L-i, где Li x LЧi = L, - совпадает с соответствующим "фрагментом" введённого выше отображения проектирования g'(.). Теперь можно определить необходимое для построения точечно- множественное отображение Ф (к) =1 {fi(к)}, пРи к G Ui, (к) I riter. Xt X {g'L г (к)}, при к G Ui. Из построения (ибо Ui открыто в K) следует, что данное отображение имеет замкнутый график и принимает непустые выпуклые значения . Последнее, завершающее конструкцию отображение соответствует "работе ценообразующего органа" и определяет реакцию рынка на текущий стратегический выбор экономических агентов: Г(к) = {q' G A(Q П Leff) | ? qi(yi + xi - ш) > ? qi(yi + xi - ш) yq'' G A(Q П Leff)}. NN "Собирая" теперь построенные отображения в одно по формуле H(к) = Л Щк) x Г(к) x Л (к), к GK, NN мы получаем точечно-множественное отображение, которое имеет замкнутый график и непустые выпуклые значения в K при любом к G K (в силу вышеуказанных свойств построенных отображений). Следовательно, применима классическая теорема Какутани и отображение H(.) имеет неподвижную точку в K. Пусть к G H(к). Сразу отметим основное отличительное свойство этой неподвижной точки от точки, полученной при доказательстве теоремы 2.2.1: для каждого i G N имеет место (xi)t = (g'(n))t Vt G T \ Ti. (2.2.13) На завершающем этапе доказательства мы исследуем другие свойства точки к. Используя рассуждения, полностью совпадающие с изложенными в доказательстве теоремы 2.2.1, установим, что qixi - ai(xo,q) и при этом {z' G Xi | qiz' < aei(xo,q)}['] co Pifa) = 0 V i GN. (2.2.14) Кроме того, по определению Г(.) функционал Q(q,y,x) = ?qi(xi + yi -w) N достигает максимума на q при ограничениях q G A(Qn Leff). Однако QnLeff по предположению является шаром единичного радиуса в Leff, поэтому рассуждениями, аналогичными изложенным в доказательстве теоремы 2.2.1, получаем Q(q,y,x) = 0, т. е. имеем ?qi(xi + yi - w) -J2 4i(xi + yi - w)=0 V q G A(Qn Leff). NN Более того, последнее соотношение выполняется тогда и только тогда, когда ? qi(xi + yi - w) = 0 V q G E(Leff) = {q G Leff | ker ? qi(.) D kerF(.)}. NN Анализ этой формулы позволяет сделать все необходимые выводы. Действительно, из предыдущего имеем (xi + yi - w,...,xn + yn - w) G E(Leff? Однако так как E(Leff) = E(L) П Leff, где E(L) = {q G (L')N | ker?qi(.) D kerF(.)}, N 17 то имеет место E(Leff = (E(L) П Leff = E(L) + (Leff). При этом в конце доказательства теоремы 2.2.1 фактически было дока-зано, что E (L)l = {(z, ...,z) G LN | z G kerF (.)}, а из определения пространства Leff следует, что (Leff = {(z1, ...,zn) G Ln | (zi)t = 0 У t G Ti}. В результате можно заключить существование такого z G kerF(.) и таких zi G L, удовлетворяющих условию (zi)t = 0 для всех t G Ti и i G N, что xi + yi = ш + z + zi. Последнее в силу (2.2.10) и определения отображений g'(.), g''(.) влечёт ш + z = g'(к) + g''(к) ^^ (ш + z)t = (xH + yi)t, t G Ti, i gN. В то же время, в силу (2.2.13), при t G Ti должно быть (xi)t = (g'(n))t, поэтому (g'mt + (Vi)t = (g'(*))t + (g''(n))t + (zi)t (zi)t = y)t - (g''(*))t. В итоге, если положить zi = xi, i G N и x = ш + z, то в силу последнего и предыдущего соотношения получаем (z ) = j (x)t - Ши при t G Ti, (zi)t 1 (x)t - (g''mt, при tGT \ Ti, из чего следует Hzi - xH n НУ] | Но, так как по построению Цуj || < nj2M ?k, то Hzi - xu^ N для всех i G N. Поскольку по определению x и свойствам z G kerF выполнено F(x) = F(w), а q G A(Q) по построению, то ввиду соотношения (2.2.14) заключаем, что (x,q) является ?-равновесием абстрактной модели с ограниченными внешними влияниями относительно "аппроксимаций" zo = xo = g(xi,... ,xn), zi = xi, i G N. ? |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "Доказательство теоремы 2.2.2" |
|
|