Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Экономический анализ
| Блюмин С.Л., Суханов В.Ф., Чеботарёв С.В.. Экономический факторный анализ: Монография, 2004 | |
2.2.1. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА И СВЯЗАННЫЕ С НЕЙ ТЕОРЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА |
|
|
Сравнительный анализ, проведенный в предыдущем разделе на основе сведений из [7, 67, 85, 115, 125], выявляет ряд существенных недостатков в большинстве известных методов оценки количественного влияния факторов на результирующий показатель. При этом всё же существуют универсальные методы, позволяющие однозначно оценить величины факторного влияния. Среди последних, по мнению специалистов в области экономического анализа [7], позицию приоритетного занимает метод интегрирования, вытекающий из метода дробления приращений факторов, развивающего, в свою очередь, метод дифференциального исчисления. Действительно, применение интегрирования даёт возможность получить общий подход к решению задач разного вида. Однако и этот метод имеет ряд недостатков, затрудняющих его широкое применение в практике работы с нестандартными факторными моделями. В процессе изучения теории и практики экономического факторного анализа был разработан альтернативный существующим метод оценки количественного влияния факторов на результирующий показатель - метод конечных приращений [21, 23, 26, 106, 110, 113, 131-133], основанный на применении теоретического аппарата классического математического анализа. В связи с этим рассмотрим ряд базовых теорем дифференциального и интегрального исчисления [41, 59, 100], которые могут быть использованы в процессе изучения методологии экономического факторного анализа. Данные теоремы последовательно приводят к формуле конечных приращений (формуле Лагранжа) [48, 57, 137, 139], которая стала основой для разработки нового универсального метода экономического факторного анализа, применимого в условиях произвольных конечных приращений факторов. Теорема о связи знака производной с возрастанием и убыванием функции. Пусть функция /(х) имеет в точке Хо конечную производную /'(Хо). Тогда, если /'(хо) > 0, то /(х) возрастает в точке Хо (то есть для значений Х из некоторой окрестности Х0 выполняются условия: если Х < Хо, то /(х) < /(Хо), если Х > Хо, то /(х) > /(Хо)); если /'(Хо) < о, то / (х) убывает в точке Хо (то есть для значений х из некоторой окрестности Хо выполняются условия: если Х < Хо, то /(х) > /(Хо) , если Х > Хо , то /(х) < /(хо)). Доказательство. По определению, /'(хо) = Нт ^ = Ит /(х) -/(Хо). Лх о о Лх х о хо х - хо Рассмотрим случай /'(Хо) >о. Таким образом, существует окрестность точки Хо , в которой верно неравенство /(х) - /(хо) > о х - Хо что означает справедливость следующих соотношений: /(х) - /(Хо ) > о при х > Хо, /(х) - /(Хо ) < о при х < Хо, то есть функция /(х) возрастает в точке Хо. Случай /'(Хо) < о рассматривается аналогично. Теорема доказана. ? Теорема Ферма (необходимое условие оптимума (экстремума)). Пусть функция /(х) определена на отрезке [а;Ь] и во внутренней точке Хо этого отрезка принимает оптимальное (максимальное или минимальное значение) значение. Пусть в точке Хо существует производная /'(хо). Тогда /'(хо) = о. Доказательство. Предположим противное - пусть Хо - точка оптимума функции / (х), и пусть /'(Хо) Ф о. Рассмотрим для определённости случай, когда Хо - точка минимума; предположим, что /'(Хо) > о, тогда слева от точки Хо по теореме о связи знака производной с возрастанием и убыванием функции должно выполняться неравенство /(х) < /(хо), что противоречит предположению о том, что Хо - точка минимума. Если мы предположим, что /'(Хд) < 0, то справа от точки Хд должно быть верным неравенство /(Х) < /(Хо), чего также не может быть. Таким образом /'(Хд) = 0, что и требовалось доказать. ? Теорема Ролля. Пусть функция /(Х) непрерывна на отрезке [а;Ь] и дифференцируема во всех внутренних точках [а;Ь]. Пусть, кроме этого, /(а) = /(Ь). Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка с такая, что / '(с) = 0. Доказательство. По теореме Вейерштрасса непрерывная на отрезке функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений. Если оба значения достигаются на концах отрезка, то они равны по условию, а это означает, что функция тождественно постоянна на [а; Ь]. Тогда производная такой функции равна нулю. Если же хотя бы одно из значений - максимальное или минимальное - достигается внутри отрезка, то производная равна нулю в силу теоремы Ферма. Теорема доказана. ? Геометрический смысл этой теоремы проиллюстрирован на рис. 2.2: по теореме Ролля существует хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс, в этой точке производная равна нулю. У \ т , / / / / * < 1 0 а с ь X Рис. 2.2. Графическая интерпретация теоремы Ролля Теорема Лагранжа (теорема о среднем дифференциального исчисления). Пусть функция /(х) непрерывна на отрезке [а;Ь] и дифференцируема во внутренних точках этого отрезка. Тогда внутри отрезка [а;Ь] существу- ет по крайней мере одна точка с, такая, что для неё выполняется равенство / (Ь) - / (а) = /' (с)(Ь - а). Доказательство. Введем новую функцию (/(Ь) - /(а))Х (х - а) g(х) = /(X) - /(а) - Ь-а Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля: она непрерывна на [а; Ь], так как представляет собой разность между непрерывной функцией / (х) и линейной функцией; она имеет определённую конечную производную на (а; Ь), равную (х) = /х) - Ж/О . Ь-а Наконец непосредственной подстановкой убеждаемся в том, что g(а) = g(Ь) = о . Следовательно, найдется точка с е (а; Ь), такая, что g' (с) = / '(с) - ЛЬЬт = о Ь - а г г, \ /(Ь) - /(а) Отсюда / (с) = ЧЧ Ч, что и требовалось доказать. ? Ь-а Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа приведена на рис. 2.3. Заметим, что (/(Ь) - /(а))/(Ь - а) является угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки А(а,/(а)), В(Ь,/(Ь)) кривой у = /(х), а / (с) есть угловой коэффициент касательной к той же кривой, проходящий через точку С (с, / (с)). Из теоремы Лагранжа следует, что на кривой у = / (х) между точками А и В найдется такая точка С, касательная в которой параллельна секущей АВ . Доказанная формула /(Ь) - /(а) = /'(с)(Ь - а) носит название формулы Лагранжа или формулы конечных приращений. Она очевидно верна и для случая а > Ь. Дифференциальная теорема Лагранжа о среднем значении, записанная для функции многих переменных у = /(Х1, Х2,. ., хп), позволяет перейти к формуле п ДУ = Е fxi (c1,С2 Сп)Дх7 7 = 1 Рис. 2.3. Графическая интерпретация теоремы Лагранжа Поскольку С = х7- + аДх7- е (; х7- + Дх7-), а е (0;1), то формулу (2.9) можно переписать в виде п Ду = Е fXж (Х1 + аДх1,х2 + аДх2,..., хп + аДхп)Дх7-, (2.10) 7 = 1 где 0 < а < 1 - параметр, который используется при анализе модели, если существует необходимость более тщательного исследования влияния изменения факторов на вариацию результирующего показателя. Таким образом, теорема Лагранжа позволяет получать точные формулы для расчёта влияния изменения факторов на изменение обобщающего показателя в случае не малых, но конечных приращений. При этом, значение параметра а позволяет найти промежуточные значения факторов, при которых достигается точное разложение приращения анализируемого результирующего показателя на величины факторного влияния. На рис. 2.4 представлена графическая интерпретация результата применения теоремы о промежуточном значении в случае двухфакторной модели. (2.9) Траектория перехода от начальной точки к конечной в этом случае представляет собой прямолинейный ориентированный отрезок МоМ1. При этом точное разложение приращения функции достигается в некото рой промежуточной точке, через которую проходит касательная плоскость, построенная на касательных прямых, интерпретирующих соответствующие частные производные функции. Рис. 2.4. Иллюстрация применения теоремы Лагранжа для определения влияния факторов на результирующий показатель Если а находить не требуется, то выражение для разложения приращения результирующего показателя можно получить с использованием интегральной формы теоремы о среднем. Теорема о среднем интегрального исчисления. Пусть функция g(х) интегрируема в [а; Ь] и пусть на всём этом промежутке т < g(х) < М , тогда Ь | g(х)dх = т Х (Ь - а), а где т < т < М . Доказательство. Если а < Ь, то по свойству определённого интеграла получаем Ь Ь - а а Приняв в качестве т величину Ь т = { g(х)Сх , Ь - а а получаем требуемое равенство. ? По основной формуле интегрального исчисления (формуле Ньютона- Лейбница) определённый интеграл функции равен разности двух значений первообразной функции, а именно Ь | g (х)сХ = О(Ь) - О (а). (2.11) а Если применить к полученному выражению теорему о среднем диф-ференциального исчисления и учесть, что g (х) = О'(х), то получим О(Ь) - О (а) = О' (с)(Ь - а) = g (с )(Ь - а), а < с < Ь . Таким образом, с помощью формулы Ньютона-Лейбница устанавливается связь между теоремами о среднем в дифференциальном и интегральном исчислении. Геометрический смысл формулы Ь | g(х)Сх = g(с)(Ь - а) а проиллюстрирован на рис. 2.5. Рассмотрим криволинейную фигуру ЛБСО под кривой к = g(х). Тогда площадь этой криволинейной фигуры (выражаемая определённым интегралом) равна площади прямоугольника с тем же основанием и с некоторой средней ординатой g (с) в качестве высоты. Таким образом, используя соотношение (2.11), для функции у = / (х) получаем: х+Ах т < Ч-Ч | g(х)сХ < М . ь т(Ь - а) <| g(х)сх < М(Ь - а), а откуда Ау = /(х + Ах) - /(х) = | /'(?)С.? V 1 о к А № с в 0 а с Ъ х Рис. 2.5. Графическая интерпретация теоремы о среднем интегрального исчисления Так как = (а) = х + аДх, а (0;1), то в соответствии с формулой замены переменной в определённом интеграле, получим формулу для нахождения точного разложения приращения функции 1 1 Ду = | /' () Х ' (а)са = /'(х + аДх) Х Дха. 0 0 Применив интегральную форму теоремы о среднем значении для функции многих переменных, получаем: п 1 п Ду = У /Х (Х1 + аДХ1Хп + аДХп)Дх.1а = X Ах. . (2.12) =10 =1 При отыскании значений параметра а в случае анализа мультипликативной модели общего вида в соответствии с формулой (2.9) может потребоваться исследовать вопрос определения числа корней некоторого многочлена на заданном интервале. Для этого можно использовать теорему Бю- дана-Фурье [62, С. 252-255, 138]. Пусть дан многочлен /(х) п -й степени с действительными коэффициентами, причём допускаем, что он может обладать кратными корнями. Рассмотрим систему его последовательных производных /(х) = /(0)(х), /"(х), /"(х),..., /(п-1)(х), /(п)(х), (*) из которых последняя равна старшему коэффициенту л0 многочлена / (х), умноженному на п!, и поэтому всё время сохраняет постоянный знак. Если действительное число с не служит корнем ни одного из многочленов полученной системы производных, то обозначим через ? (с) число перемен знаков в упорядоченной системе чисел /(С), /"(с), /"(с),..., /(п-1)(с), /(п)(с). Таким образом, можно рассматривать целочисленную функцию ? (х), определённую для тех значений х, которые не обращают в нуль ни одного из многочленов в первоначальной системе производных. Посмотрим, как меняется число ?(х) при возрастании х. Пока х не пройдёт через корень ни одного из многочленов (*), число ? (х) не может измениться. Ввиду этого мы должны рассмотреть два случая: переход х через корень многочлена / (х) и переход х через корень одной из произ-водных /(к)(х), 1 < к < п -1. Пусть а будет / -кратный корень многочлена /(х), / > 1, то есть /(а) = /" (а) = ... = /(/ -1)(а) = 0, /(/ )(а) * 0 . Пусть положительное число столь мало, что отрезок [а - ; а + ] не содержит корней многочленов /(х), /'(х),..., /(1 -1)(х), отличных от а, а также не содержит ни одного корня многочлена /(1)(х). Докажем, что в системе чисел Да-), /'(а-),., /(-1)(а-), /(/)(а-) всякие два соседних числа имеют противоположные знаки, тогда как все числа /(а + ), /'(а + ),., /(/-1)(а + ), /(/)(а + ) имеют один и тот же знак. Так как каждый из многочленов системы (*) является производной от предыдущего многочлена, то нам нужно лишь доказать, что если х проходит через корень а многочлена / (х), то, независимо от кратности этого корня, до перехода /(х) и /'(х) имели разные знаки, а после перехода их знаки совпадают. Если /(а - ) > 0, то /(х) убывает на отрезке [а - ; а], а потому /' (а - ) < 0; если же / (а - ) < 0, то /(х) возрастает, и потому /'(а - ) > 0. Следовательно, в обоих случаях знаки различны. С другой стороны, если /(а + ) > 0, то /(х) взрастает на отрезке [а;а + ], а потому /'(а + ) > 0; аналогично из /(а + ) < 0 следует /'(а + ) < 0. Таким образом, после перехода через корень а знаки / (х) и /' (х) должны совпадать. Из доказанного следует, что при переходе х через I -кратный корень многочлена / (х) система /(Х), /" (х),..., /(1 -1)(х), /(1)(х) теряет I перемен знаков. Пусть а будет теперь корнем производных /(к)(х), /(к+1)(х),..., /(к+1 -1)(х), 1 ? к ? п - 1, I > 1, но не служит корнем ни для /(кЧ1)(х), ни для /(к+1)(х). По доказанному выше, переход х через а влечёт за собой потерю в системе /(к)(Х), I(к+1(х),..., /(к+1Ч'(х), /(к+1)(х) I перемен знаков. Правда, этот переход создаёт, возможно, новую перемену знаков между /(кЧ1)(х) и /(к)(х), однако, ввиду I > 1, при переходе х через а число перемен знаков в системе /(кЧ'(х), /(к(х), /(к+1)(х),., /(к+1Ч1)(х), /(к+1)(х) или не меняется, или же уменьшается. Оно может уменьшиться при этом лишь на чётное число, так как многочлены /(кЧ1)(х) и /(к+1)(х) не меняют своих знаков при переходе х через значение а . Из полученных результатов вытекает, что если числа а и Ь, а < Ь, не являются корнями ни для одного их многочленов системы (*), то число действительных корней этого многочлена /(х), заключенных между а и Ь и подсчитываемых каждый столько раз, какова его кратность, равно разности ? (а) - ? (Ь) или меньше этой разности на чётное число. Для того, чтобы ослабить ограничения, наложенные на числа а и Ь , введём следующие обозначения. Пусть действительное число с не является корнем многочлена / (х), хотя, быть может, служит корнем для некоторых других многочленов системы (*). Обозначим через ? + (с) число перемен знаков в системе чисел /(с), /'(с), /"(с),., /(пЧ1)(с), /(п)(с), (**) подсчитываемое следующим образом: если / (к)(с) = /(к+1)(с) = ... = /(к+1Ч1)(с) = 0, (***) но /(кЧ1)(с) ф 0, /(к+1 )(с) Ф 0, (****) то считаем /(к )(с), /(к+1)(с),..., /(к+1 1)(с) имеющими такой же знак, как у /(к+1)(с); это равносильно, очевидно, тому, что при подсчёте числа перемен знаков в системе (**) нули предполагаются вычеркнутыми. С другой стороны, через ? - (с) обозначим число перемен знаков в системе (**), подсчитываемое следующим образом: если имеют место условия (***) и (****), то считаем, что /(к+;)(с), 0 < < / -1, имеет такой же знак, как и /(к+1)(с), если разность / - чётная, и противоположный знак, если эта разность нечётная. Если мы хотим теперь определить число действительных корней многочлена /(х), заключенных между а и Ь, а < Ь, причём а и Ь не являются корнями / (х), но служат, быть может, корнями для других многочленов системы (*), то поступаем следующим образом. Пусть столь мало, что отрезок [а; а + 2] не содержит корней многочлена / (х), а также отличных от а корней всех остальных многочленов системы (*); с другой стороны, пусть ц столь мало, что отрезок [Ь - 2ц; Ь] также не содержит корней /(х) и отличных от Ь корней остальных многочленов системы (*). Тогда интересующее нас число действительных корней многочлена / (х) будет равно числу действительных корней этого многочлена, заключенных между а + и Ь - ц, то есть, по доказанному выше, равно разности ? (а + ) - ?(Ь - ц) или меньше этой разности на чётное число. Легко видеть, однако, что ? (а + ) = ? + (а), ? (Ь -ц) = ?- (Ь). Таким образом, доказана теорема Бюдана-Фурье: если действительные числа а и Ь, а < Ь, не являются корнями многочлена / (х) с действительными коэффициентами, то число действительных корней этого многочлена, заключенных между а и Ь и подсчитываемых каждый столько раз, какова его кратность, равно разности ? + (а) - ?- (Ь) или меньше этой разности на чётное число. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "2.2.1. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА И СВЯЗАННЫЕ С НЕЙ ТЕОРЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА" |
|
|