Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Микроэкономика
| В. П. Бусыгин, Е. В. Желободько, А. А. Цыплаков. Лекции по микроэкономической теории, 1998 | |
1.4. Задача потребителя. Характеристики потребительского выбора |
|
|
Говоря нестрого, потребитель всегда выбирает из множества доступных ему альтернатив наилучшую (одну из наилучших). Доступные альтернативы в теории потребления - это доступные потребительские наборы, т.е. наборы, удовлетворяющие двум типам ограничений. Во-первых, это все "физические" ограничения на выбор потребителя (он не может работать более 24 часов в сутки, потреблять какое-то благо в отрицательных количествах и т.д.); все потребительские наборы, удовлетворяющие этим ограничениям, т.е. наборы, которые доступны потребителю без учета всевозможных институциональных ограничений, будем называть множеством допустимых альтернатив (потребительских наборов) и обозначать его через J. В дальнейшем, если не оговорено особо, в качестве J рассматривается множество Ж[. Во-вторых, это всевозможные типы институциональных ограничений. Наиболее простой тип ограничений этого типа - это так назывемое бюджетное ограничение вальрасовского типа - требование ограничить стоимость потребительской корзины фиксированной суммой денег (бюджетом). Множество потребительских наборов, удовлетворяющих этому ограничению, называют бюджетным МНО-жеСТВОМ. Таким образом, если р - вектор цен рассматриваемых благ, а - Ч до-ход потребителя, то его бюджетное множество имеет следующий вид: В(р, Ч) = {xeJ |px < Ч}. Таким образом, если потребитель сталкивается лишь с бюджетным ограничением, то его выбор - наилучший потребительский набор из бюджетного множества В(р, Ч). По введенному ранее определению бюджетное множество В(р, Ч) представляет собой частный случай ситуации выбора. С учетом вышесказанного, в случае, когда предпочтения задаются функцией полезности, выбор рационального потребителя должен быть решением следующей задачи математического программирования (задачи максимизации полезности): Задача 1 (Задача потребителя) u(x) ^ max px < - , (1-1) x > 0. (1-2) Соотношение (1-2) выделяет множество допустимых альтернатив, а соотноше-ние (1-1), - бюджетное ограничение, - выделяет, совместно с (1-2), бюджетное множество потребителя. При положительных ценах, неотрицательном доходе и непрерывных предпочтениях (функции полезности) решение задачи существует, что легко показать, используя соответствующую теорему Вейерштрасса. Соответствие между бюджет- ным множеством В(р, Ч) и множеством решений задачи потребителя представляет собой то, что выше называлось правшой выбора. Строгая выпуклость предпочтений гарантирует единственность решения; в этом случае правило выбора есть функция спроса. \ Определение 18. Пусть решение Задачи 1 существует и единственно для всех / \ значений параметров - положительных ценах р и доходе R. Тогда определена еле- ^ ^ дующая функция, которая ставит в соответствие каждому набору цен и доходов / \ решение задачи при этих параметрах - вектор х(р, R). Будем называть ее функ- ^ \ цией спроса Маршалла. Если решение задачи при некоторых значениях па- / ^ раметров не единственно, то говорят об отображении СПрОСЭ Маршалла. / В дальнейшем будем предполагать, если не оговорено противное, что маршаллианский спрос является функцией и определен для всех положительных цен и доходов; решение внутреннее: х(р, Ч) > 0; предпочтения локально ненасыщаемы (поэтому решение лежит на границе бюджетного множества, т.е. выполняется закон Вальраса). Утверждение 15 (свойства маршаллианского спроса х( р Ч)) . Отображение х(р, Ч) однородно нулевой степени, т. е. х(Хр, XЧ) = х(р, Ч). (Если цены и доходы изменятся в одно и то же число раз, то спрос не изменится.) Если предпочтения потребителя выпуклы, то х(р, Ч) - выпуклое множество. Если предпочтения потребителя локально ненасыщаемы, то х(р, Ч) удовлетворяет закону Вальраса, т.е. если хех(р, Ч), то рхс = Ч. (Бюджетное ограничение выполняется как равенство.) Если предпочтения потребителя строго выпуклы, то х(р, Ч) - функция. Если предпочтения потребителя непрерывны и строго выпуклы, то х(р, Ч) - непрерывная функция. Доказательство: Для доказательства однородности спроса по ценам и доходу отметим, что множество, на котором потребитель ищет лучший набор не меняется при одновременном умножении цен и доходов на некоторую положительную величину X > 0, т.е. {х е м! | (Хр) х < (XЧ )} = {х е м! | ^х < - } Пусть предпочтения индивидуума выпуклы, х(р,Ч) не пусто и х', х'' - два элемента из множества х(р, Ч), т.е. х', х'' е х(р, Ч). Рассмотрим потребительский набор х = а х' + (1 - а) х'' (0<а<1). Так как х', х'' е х( р Ч), то по определению функции полезности х' @ х''. По определению выпуклости предпочтений х > х' @ х''. Кроме того набор х является допустимым в задаче потребителя. В силу этого х е х(р,Ч). Тем самым получили выпуклость множества х(р,Ч). Пусть x - решение задачи потребителя, и закон Вальраса не выполнен, т.е. px < Ч. Тогда по свойству локальной ненасыщаемости в любой окрестности точки x должен существовать набор x, такой, что x У x. Если выбрать достаточно малую окрестность, то x будет удовлетворять бюджетному ограничению (px: < Ч), что про-тиворечит оптимальности набора x. Пусть предпочтения индивидуума строго выпуклы и x', x'' - два различных элемента из множества x(p, Ч), т.е. x', x'' е x( р, Ч). Рассмотрим потребительский набор x = OX' + (1 - O)X'' (0 < а < 1). Так как x', x'' е x(р, Ч), то x' @ x''. По определению строгой выпуклости предпочтений имеем, что x У x' @ x''. Кроме того набор x допустим в задаче потребителя. В силу этих свойств получаем, что набор x допустим и, лучше наборов x' и x'', а это противоречит их оптимальности. Поэтому решение единственно, то есть x(^p, Ч) - (однозначная) функция. (Отметим еще раз, что существование следует из непрерывности функции полезности). Докажем непрерывность функции спроса. Рассмотрим последовательность {рп, ЧП}Г'=1Ч> {р, Ч}, где (р, Ч)> 0, и последовательность {xД}T=i решений задачи потребителя при ценахрп и доходах Чп (т.е. xn = x($n, Чп)), такую что {xn}Д=1Ч x. Посколькурп xn п, то переходя к пределу при п - получаем, что р Х . Нам нужно показать, что Х = x(p, Ч), т.е. Х является оптимальным выбором потребителя при ценах р и доходе Ч. Предположим, что это не так, и существует такой набор x:, что u(x) > u(x) и р x < Ч. Так как доход положителен, то существует потребительский набор xx такой, что u(x) > u(x) иpx < Ч. (Если x > 0 и xФ0, то можно подобрать е ^Ф0, так что x-ее I \ . По непрерывности функции полезности найдется достаточно малая величина е, такая что u(x - е) > u(x). Тем самым мы нашли xx = x - е, такой что u(x) > и(Х) и р x < Ч. Если же x = 0, то аналогичным образом найдется е ^Ф 0, такое что xx = x + е, дальнейшие рассуждения для этого случая совершенно аналогичны.) Далее, найдется достаточно большое N такое, что при n>N выполнено рп xx < Чп. Пусть это не так, т.е. существует такая возрастающая бесконечная последовательность натуральных чисел п^, что рДк xx > ЧПк Vk. Тогда, перейдя к пределу, мы получили бы /хx ^ Ч, что противоречит выбору xx. Для каждого п, такого что рп xx < Чп в силу оптимальности xn мы должны иметь u(xn) > u(xx). Так как функция полезности непрерывна, то, переходя к пределу, получаем и(Х) ^ u(x). Тем самым мы пришли к противоречию. Это означает, что набор Х оптимален при ценах /Х и доходе Ч, т.е. x = x(p, Ч). Таким образом, доказана не-прерывность функции спроса x( р,Ч) по ценам и доходу. Замечание. В общем случае можно показать, что отображение спроса имеет замкнутый график, используя, с незначительными изменениями предложенную схему доказательства. Одним из ключевых понятий теории потребителя является понятие непрямой функции полезности. Ниже мы даем его определения и основные свойства. Определение 19. Непрямая функция ПОЛеЗНОСТИ у(р, Ч) = и(х(р, Ч)) есть значение целевой функции Задачи 1 при ценах р и доходе - в точке оптимума. Утверждение 16 (свойства непрямой функции полезности v( р Ч)) Пусть предпочтения потребителя представляются непрерывной функцией по-лезности и(х). Тогда v( р - ) однородна нулевой степени: v(X р XЧ) = v(^, Ч). v(.) не убывает по доходу ^(р, - ') ^ v(^, Ч) при - '>Ч), причем строго возрас-тает по доходу, если предпочтения локально ненасыщаемы (У(р, - ') > v(^, Ч) при - '>Ч). v(.) не возрастает по ценам (v(^, Ч) < v(^', Ч) прир > Функция v^, Ч) непрерывна на множестве строго положительных цен и неотрицательных доходов, т. е. при (р, Ч) е М^+хМ+. Функция v^, Ч) квазивыпукла. Доказательство: Однородность нулевой степени следует из определения непрямой функции полезности и однородности нулевой степени функции спроса х(р, Ч) (см. Утверждение 15). Покажем, что v(^, Ч) не убывает по Ч. Рассмотрим непрямую функцию полезности при двух разных уровнях дохода - ' и Ч, таких что - '>Ч. Поскольку при '>Ч бюджетное множество {х е м! | ^х < Ч' } содержит бюджетное множество {х е м! | ^х < - }, а непрямая функция полезности по определению есть максимум функции полезности на бюджетном множестве, то v^, - ') ^ v^, Ч). Предположим, что предпочтения локально ненасыщаемы. Если бы при - '>Ч мы имели v(^, - ') = v^, Ч), то наборы из х(р, Ч) принадлежали бы х(р, Ч'), но для них не выполнялся бы закон Вальраса. Значит, должно выполняться строгое неравенство v^, - ') > v(^, Ч), т.е. при локальной ненасыщаемости непрямая функция полезности возрастает по доходу. Доказательство невозрастания непрямой функции полезности v^, Ч) по ценам р можно провести по той же схеме. Заметим, что при локальной ненасыщаемо-сти предпочтений, если р >то v^, Ч) < v^', Ч). Непрерывность следует из определения непрямой функции полезности и непрерывности функции х(р, Ч), которую мы доказали в Утверждении 15 в предположении строгой выпуклости предпочтений. Доказательство в общем случае оставляем читателю. Мы хотим показать, что v(o?I + (1 - а>2, аЧI + (1 - а)Ч2) < max {v^I, ЧI), v(Ч2)}. Пусть х - решение Задачи 1 при ценах р = ар1 + (1 - а)р2 и доходе - = аЧL + (1 а)Ч2, Сначала докажем, что x - допустимое решение Задачи 1 при ценах р\ и доходе Ч1, либо при ценахр2 и доходе Ч2. Пусть x не является допустимым решением Задачи 1 ни при цене р1 и доходе Ч1, ни при ценер2 и доходе Ч2. Тогдаp1x > Ч1 иp2x > Ч2. Отсюда следует, что ар1 x + (1 - O^X > аЧ1 + (1 - а)Ч2, что противоречит тому, что x - допустимое решение при ценах р и доходе Ч. Таким образом, либо р1x < Ч1, либоp2x < Ч2. Предположим, например, что р^x < Ч1. Из того, что v(p1, Ч1) есть по определению значение целевой функции на оптимальном решении Задачи 1 при ценах р1 и доходах Ч1, следует, что у(р1,Ч1) ^ u(x), так как x - допустимое решение этой задачи. Тем более должно выполняться и требуемое соотношение u(x) = v( ар + (1 - а)р2 , аЧ1 + (1 - а)Ч2) < max {v(pb Ч1), v(р2, Ч2)}. Если дополнительно предположить, что и является дифференцируемой функцией, то для характеристики решений Задачи 1 можно применить теорему Куна- Таккера: Пусть Х - решение Задачи 1. При Ч>0 условие Слейтера выполнено. Из теоремы Куна-Таккера следует, что найдется множитель Лагранжа X ^ 0, такой, что функция Лагранжа 3(x, X) = u(x) + X (Ч - px) Задачи 1 имеет в точке (x,X) производ-ную по xi, не превышающую ноль. Другими словами, мы имеем необходимое условие оптимальности: ди _ ^ dxj ( x,X) < X P В случае же внутреннего решения (Х>0) это условие принимает вид: dx (х,р)=х Pi. Можно показать, что двойственная оценка бюджетного ограничения Задачи 1 X представляет собой (в случае внутреннего решения) производную непрямой функ- х dv ции полезности по доходу, т.е. X = дЧ(р, Ч). Замечание. Квазивыпуклость по доходу дифференцируемой непрямой функции полезности и ее строгая монотонность по доходу (которая следует из локальной ненасышаемости предпочтений) гарантируют положительность двойственной оценки ограничения всюду, за исключением не более чем счетного множества точек ее области определения. Таким образом, даже выпуклость предпочтений и их локальная ненасышаемость не гарантируют, вообще говоря, положительность оценки ограничений (положительность предельной полезности дохода при некоторых его уровнях). В ситуации же, когда существует вогнутая функция полезности, представляющая локально ненасыщаемые предпочтения, при любом уровне дохода его предельная полезность всегда положительна. В большей части следующего ниже материала, который составляет ядро не-оклассической теории поведения потребителей, мы, не вполне последовательны и уклоняемся от программы построения теории на основе только свойств предпочтений, часто считая некоторые свойства функций полезности заданными априорно, а не выводя их из характеристик лежащих в их основе предпочтений. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "1.4. Задача потребителя. Характеристики потребительского выбора" |
|
|