Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Микроэкономика
| Бусыгин В.П, Желободько Е.В, Цыплаков А.А.. Микроэкономика. Третий уровень, 2005 | |
Приложение 5.A Теоремы существования равновесия 5.A.1 Существование равновесия в экономике обмена |
|
|
Приведем альтернативный вариант теоремы существования равновесия в модели обмена, в котором, в отличие от теоремы существования, приведенной в основном тексте, используются более слабые условия на избыточный спрос. Теорема 70: Предположим, что функция E(p) удовлетворяет следующим условиям: ^ E(p) непрерывна на S+-1 = j p > 0 ?keK pk = 1 }. ^ E(p) положительно однородна нулевой степени на S+-1. ^ Выполнено тождество pE(p) = 0 Vp ? S+-1 (закон Вальраса). ^ Функции избыточного спроса ограничены снизу, т. е. существует число t, такое что Ek(p) > t Vk, Vp ? Sl-i. ^ Если хотя бы одна из цен стремится к нулю, то избыточный спрос хотя бы на одно благо стремится к бесконечности, т. е. если pn ? Sl-i и pn ^ p0 при n ^ то, причем существует благо k', такое что pk' =0, то max(Ek(pn)) ^ то при n ^ то. k Тогда существует вектор p ? , такой что E(p) =0. J Доказательство: Доказательство условно разобьем на три этапа: Построение отображения единичного симплекса Sl-i в себя. Проверка замкнутости графика и выпуклозначности построенного отображения и применение к нему теоремы о неподвижной точке. Демонстрация того, что найденная неподвижная точка является вектором равновесных цен, рассматриваемой экономики. Этап 1. Каждой цене p ? S+-1 сопоставим множество g(p) = { q ? Sl-i | qE(p) ^ q'E(p) Vq' ? Sl-i } , и тем самым, построим отображение g(-) из S+-1 в Sl-i. Другими словами, значение отображения g(p) - множество всех векторов цен из Sl-i, максимизирующих стоимость избыточного спроса, вычисленного при старых ценах p. Можно заметить, что любому неравновесному вектору цен p ? S+"1 (т. е. в данном случае вектору p такому, что E(p) = 0) данное отображение ставит в соответствие подмножество (грань меньшей размерности) симплекса цен, а любому равновесному вектору - весь симплекс цен. На границе симплекса цен 51_1\5+_1 определим g(p) по правилу: g(p) = { Я ? S1-1 qp = 0 } = { q? S1-1 qk = 0, если pk > 0 } . Отметим, что множество g(p) непусто при любом p ? S1-1. Этап 2. Выпуклозначность построенного отображения очевидна в силу того, что условия, определяющие множества g(p), линейны. Таким образом, для доказательства существования неподвижной точки остается показать, что отображение g(-) имеет замкнутый график. Предположим, что последовательности {pn} ? S1-1 и {qn} ? S1-1 с пределами p0 и q0 соответственно таковы, что qn ? g(pn). Покажем, что q0 ? g(p0). Возможны две ситуации: (1) p0 ? S+-1, (2) p0 ?S1-1\S+-1. В случае p0 ? S+-1 существует N, такое что при n > N выполнено pn ? S+-1. Возьмем произвольный вектор q' ? S1-1. При n > N выполнено qnE(pn) Z q'E(pn). Переходя к пределу, получим, что q0E(p0) Z q'E(p0). Тем самым, мы показали, что в этом случае q0 ? g(p0). Рассмотрим теперь случай, когда p0 ? S1-1 \S+-1. Пусть k - благо, для которого pk > 0 . Покажем, что при достаточно больших n выполнено qj? = 0. Тем самым мы покажем, что q = lim q? = 0, и, следовательно, q0 ? g(p0). Если pn ? S1-1 \S+-1, то по определению отображения g(-) имеем q? = 0. Таким образом, нам осталось доказать в случае pn ? S+-1, что если pk > 0, то при достаточно больших n выполнено qj? = 0. По закону Вальраса имеем pjE(pn) = - Е P?Ey (pn). fc'=fc Используя ограниченность снизу функции избыточного спроса, имеем Ч Е pn Ey (pn) < Чt Е pn = Ч1(1Чp?). fc'=fc fc'=fc Отсюда w (тПЛ t(1 - pn) Efc(p ) ^ n . p? Поскольку p? сходится к положительному пределу, это означает, что значение Ey(pn) ограничено сверху. С другой стороны, величина maxs{Es(pn)} стремится к бесконечности. Поэтому при достаточно больших n выполнено неравенство Ey(pn) < msax{Es(pn)}. Отсюда следует, что при достаточно больших n вектор q ? g(pn) должен иметь qk = 0. Действительно, согласно определению g(-) для любого вектора q' из S1-1 должно быть выполнено q'E(pn) ^ qE(pn). Однако, если бы qk > 0, то при Ey(pn) < maxs{Es(pn)} мы могли бы построить на основе вектора q вектор q' для которого q'E(pn) > qE(pn). Действительно, пусть s - такое благо, для которого Ey (pn) < Es(pn). Для получения требуемого противоречия можно взять q' = q - qkek + qkes, где ek и es - соответствующие орты. Тем самым мы полностью доказали, что отображение g(-) имеет замкнутый график. Поскольку отображение g(-) имеет замкнутый график, выпуклозначно и отображает непустое компактное выпуклое множество Sl-1 в себя, то к нему применима теорема Какутани, и существует неподвижная точка p ? Sl-i: p ? g(p). Этап 3. Покажем, что неподвижная точка отображения g(-) является вектором цен равновесия. Неподвижная точка p отображения g(-) не может принадлежать границе симплекса цен (Sl_1\S+71). Этот факт следует из того, что согласно определению g(p) для p ? Sl_1\S+71 при всех q ? g(p) должно быть выполнено равенство qp = 0. Если бы p ? g(p), где p ? Sl_1\S+71, то мы имели бы pp = ||pУ2 = 0. Этому условию удовлетворяет только точка p = 0, не принадлежащая симплексу цен. Таким образом, p > 0 и поэтому, как было отмечено при определении отображения, E(p) = 0 . Покажем это формально. Предположим противное. В силу закона Вальраса, если E(p) = 0 и p > 0, то существуют s и s', такие что Es(p) > 0 и Es' (p) < 0. Поскольку p ? g(p) и p > 0, то по определению g(p) для любого q ? S1 -1 должно быть выполнено pE(p) ^ qE(p). Однако, так как Es(p) > Es' (p), то достаточно взять следующий вектор q : = ps + ps , = 0, qk = pk, k = s, s', чтобы получить pE(p) < qE(p). Мы пришли к противоречию. Тем самым мы доказали существование цен p, при которых избыточный спрос равен нулю. ж 1 Рис. 5.11. Иллюстрация доказательства теоремы существования Данное доказательство можно проиллюстрировать графически (см. Рис. 5.11). На рисунке B - неподвижная точка отображения g(-). Данное отображение определено на симплексе AC, и отображает точки отрезка AB, за исключением точки B, в точку C, точки отрезка BC, за исключением точки B, - в точку A, а точку B - во весь симплекс (отрезок AC). Опираясь на доказанную Теорему 70, можно показать, что в моделях обмена при непре-рывности, строгой выпуклости и строгой монотонности предпочтений потребителей равновесие существует, если совокупные начальные запасы строго положительны, т. е. иЕ > 0. Это утверждение очевидно в силу того, что функция избыточного спроса в модели обмена при данных условиях на предпочтения потребителей является непрерывной, положительно однородной нулевой степени и удовлетворяет закону Вальра- са на S+T 1. Ограниченность избыточного спроса снизу следует из того факта, что спрос потребителей неотрицателен (в качестве константы t можно взять t = - maxk wEk). Для того, чтобы продемонстрировать выполнение условий Теоремы 70 для случая непрерывных, строго выпуклых и строго монотонных предпочтений, осталось показать выполнение последнего условия теоремы: если хотя бы одна из цен стремится к нулю, то избыточный спрос хотя бы на одно благо стремится к бесконечности. Покажем это формально. В силу того, что p0 ? S1 -1 и шЕ > 0, имеем, что pwE > 0. Таким образом, существует потребитель i, такой что pWj > 0. Следующее утверждение показывает, что спрос этого потребителя, по крайней мере, на одно из благ стремится к бесконечности по мере того, как p' стремиться к p, т. е. max x^k(pn) ^ то при n ^ то, k что и доказывает, что max Ek(pn) ^ то при n ^ то. k Теорема 71: Пусть {pn} ? S1-1 - последовательность цен, причем pn ^ p при n ^ то, и существует благо к, такое что pk = 0. Предположим, что: Потребитель имеет строго монотонные непрерывные предпочтения. Начальные запасы потребителя ш таковы, что pw > 0 . Тогда max Xk(pn) ^ то при n ^ то. , k -I Доказательство: Предположим противное. Пусть спрос потребителя на все товары, ограничен, т. е. существует некоторое число A, такое что 0 ^ Xk (p) ^ A для всех к ? K .В силу того, что бесконечная последовательность на компакте имеет точки сгущения, найдется некоторая подпоследовательность {pnt} такая, что x(pnt) ^ x. Так как x(pnt) - оптимальное решение задачи потребителя, а предпочтения строго монотонны, то при ценах pnt выполняется бюджетное равенство, т. е. pnt x(pnt) = pnt ш. Переходя в этом тождестве к пределу, получим, px = pw. Пусть pk = 0. Тогда в силу kk строгой монотонности предпочтений x + aek У x, где a - некоторое строго положительное число, а ek - орт. В силу того, что предпочтения потребителей непрерывны, найдется такое 5 > 0, что x У x, где x = x + aek - 5es, а s - номер товара, для которого p > 0. Очевидно также, что px = px + apk - 5p = px - 5p < px. В силу непрерывности отношения предпочтения имеем, что существует N, такое что x У x(pnt) для каждого t > N. Так как pnt ^ p и x(pnt) ^ x, то lim pnt (x(pnt) - x) = p(x - x) > 0. Из определения предела следует, что найдется число M, такое что для каждого t большего M справедливо, что pnt (x(pnt) - x) > 0, т. е. pntx(pnt) > pntx. Таким образом, мы получили, что при t > max{M, N} набор x строго лучше набора x(pnt) и при этом стоит дешевле. Тем самым мы получили противоречие с оптимальностью набора x(pnt). Таким образом, не существует A такого, что 0 ^ Xk(p) ^ A для всех к, т. е. maxk Xk (pn) ^ то при n ^ то. ж Резюмируя проделанные выше рассуждения, сформулируем утверждение о существовании равновесия в экономике обмена при более слабых, чем ранее, предположениях. Теорема 72: Рассмотрим экономику обмена и предположим, что Хг = R+ Vi, предпочтения потребителей локально ненасыщаемы, непрерывны, строго выпуклы и монотонны, а совокупные начальные запасы положительны (> 0). Тогда в этой экономике существует равновесие, такое что p ? R++. J |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "Приложение 5.A Теоремы существования равновесия 5.A.1 Существование равновесия в экономике обмена" |
|
|