Обработка и фильтрация данных дистанционного зондирования
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
щее:
Выражение 6.
Выражение 7. Комплексная экспонента является линейной комбинацией синуса и косинуса:
где i - мнимая единица.
Выражение 6 носит название прямого, а 7 - обратного преобразования Фурье. Переменные x и y - это координаты; u и v называются пространственными частотами; функция F(u, v) - спектром пространственных частот или спектром. Используя преобразование Фурье, мы переходим от координатной плоскости (x, y) к частотной плоскости (u, v). Преобразование Фурье линейное, так как интеграл - линейная функция. Переход в частотную плоскость имеет смысл, так как некоторые свойства у спектра проще, чем у функции f(x, y), описывающей распределение яркости в координатной плоскости. Пусть, например, требуется найти результат глобального линейного преобразования некоторого изображения:
Выражение 8. В координатной плоскости для этого требуется вычислить интеграл типа свертки (8), что часто бывает достаточно сложно. Если ввести частотный коэффициент передачи K(u, v), который на практике для ФРТ всегда существует и который связан парой преобразований Фурье с ФРТ:
Выражение 9.
Выражение 10. то в плоскости пространственных частот (8) сведется к перемножению функций F (u, v) и K(u, v):
Выражение 11. G(u, v) - спектр после линейного преобразования.
Спектр F (u, v) от вещественной функции f(x, y) является комплексной функцией. Для пространственно-инвариантных ФРТ частотный коэффициент передачи K(u, v) всегда вещественный и инвариантный относительно поворотов вокруг начала координат.
Реальное растровое изображение fn,m имеет конечные размеры A<= x<=B, C<=y<=D и состоит из отдельных пикселов, расположенных с некоторым шагом в узлах прямоугольной сетки. В этом случае для перехода в частотную плоскость применяется двойное дискретное преобразование Фурье (ДДПФ):
Здесь N - число пикселов по x; M - число пикселов по y. Величины Fp,qназываются коэффициентами ДДПФ, которые вычисляют следующим образом: вначале в выражении (12) производится суммирование по n (по строкам), потом полученный числовой массив суммируется по m (по столбцам), можно и наоборот. Разработан также алгоритм, сводящий двумерное дискретное преобразование Фурье к одномерному.
Коэффициент Fo,o - это среднее значение яркости изображения. Общее число комплексных коэффициентов Fp, q равно N M, однако часть из них связана между собой. Если N - четное число, например, то
звездочка означает комплексную сопряженность, так что число независимых коэффициентов равно N M/4.
Для вычисления ДДПФ согласно выражению (12) необходимо выполнить N2 M2 операций с комплексными числами, что требует значительных затрат времени. Если N = M = 512, то общее число операций составляет 5124 ? 6,81010. С целью ускорения вычислений разработаны алгоритмы быстрого преобразования Фурье (БПФ), отличающиеся логарифмической сложностью. При их применении общее число операций оценивается как N logN M logM, что для приведенного примера составляет 2107 операций. Таким образом, вычисления ускоряются более чем в 3 000 раз.
Глобальная линейная фильтрация изображений в частотной плоскости осуществляется умножением Fp, q на частотный коэффициент передачи Кр, q. На рис. 12, а приведено изображение г. Красноярска (спутник LNDSAT, разрешение 30 м), на рис. 12, б - модуль ДДПФ этого изображения. На рис. 12, в показан результат глобальной фильтрации фильтром с коэффициентом передачи Кр, q = exp [-(р2 + q2)/r], который изображен на рис. 12, г (фильтром нижних частот). Результат обработки фильтром верхних частот с коэффициентом передачи Кр, q = 1 - exp [- (р + q )/r], который изображен на рис. 12, е, приведен на рис. 12, д.
Темный тон на изображении фильтров означает, что фильтр не пропускает помеченные этим тоном частоты, белый означает пропускание. Фильтр нижних частот сглаживает изображение, фильтр верхних частот выделяет контуры объектов на изображении.
Рис. 12. Глобальная фильтрация: а - исходное изображение; б - модуль ДДПФ этого изображения; в - результат обработки фильтром нижних частот; д - результат обработки фильтром верхних частот; г - фильтр нижних частот; е - фильтр верхних частот
.3 Применение линейной фильтрации в частотной плоскости
При линейной фильтрации изображений в частотной плоскости требуется умножить спектр пространственных частот на частотный коэффициент передачи согласно выражению (11) и выполнить два двумерных преобразования Фурье с использованием алгоритма БПФ - прямое и обратное. Преобразование Фурье осуществляется от всего изображения целиком, спектр F(u, v) хранит информацию обо всем изображении целиком, поэтому мы говорим о глобальной фильтрации. В зависимости от выбора коэффициента передачи К(и,v) можно выделять изображение на фоне помех, улучшать и ухудшать резкость изображения, выделять контуры объектов на изображении и т. п. Качество обработки при этом несколько лучше, чем при локальной линейной фильтрации. Типичной задачей глобальной фильтрации, не характерной для цифровой обработки космических изображений земной поверхности, является восстановление расфокусированных изображений. Запишем спектр такого изображения в виде1(u, v) = F(u, v) К(и, v),
где F(u, v) - спектр исходного изображения; К(и,