Нелинейные колебания и синхронизация колебаний
Курсовой проект - Физика
Другие курсовые по предмету Физика
вух столетий спустя рядом физиков; среди них были лорд Рэлей [6], Винцент, Мюллер, Эплтон и Ван дер Поль и др. Два последних автора существенно развили теорию синхронизации.
Рис. 3.7 Автогенератор с трансформаторной обратной связью, на который воздействует сигнал s(t)
На рис. 3.7 изображена электрическая схема, которая представляет типичный и важный случай, иллюстрирующий принцип синхронизации. Здесь резонансный контур находится в сеточной цепи автогенератора. Источник сигнала (внешняя э. д. с. ) также включен в цепь сетки. В системах связи это аналогично сигналу, принятому через антенну. Так как цепи сетки и анода связаны взаимной индуктивностью , дифференциальные уравнения схемы, записанные относительно тока контура и потенциала сетки , имеют вид
.(3.16)
Представляя характеристику лампы в виде полинома IIIстепени
,(3.17)
где и - положительные константы (часто называют потенциалом насыщения, a -крутизной характеристики), и вводя в (3.16) обозначения
, (3.18)
получаем уравнение Ван дер Поля при наличии внешнего воздействия:
. (3.19)
Отметим, что - частота свободных линейных колебаний контура генератора. Когда и , колебательная система вырабатывает нелинейные колебания. Если - стохастический процесс, то колебательная система (3.19) дает случайные нелинейные колебания.
3.3 Основные уравнения
Уравнения, которые описывают поведение колебательной системы, подчиняющейся (3.19), в наиболее интересном случае проще всего решаются в предположении о квазисинусоидальном характере решения:
, (3.20)
где ; ; и . При этом считается, что и - медленно меняющиеся функции времени.Другими словами, движение по существу представляет собой колебание, очень похожее на узкополосный сигнал, в котором и - функции, меняющиеся медленно по сравнению с . Заметим для себя, что аналогично опорному сигналу в ФАП. Полагая, что колебательная система находится под воздействием внешнего периодического сигнала , можно переписать (3.19) в виде
,(3.21)
где и по предположению . Если положить , величина , как увидим ниже, становится амплитудой свободных нелинейных колебаний с частотой , когда . И действительно, когда, колебания (см. рис. 3.6) характеризуются тремя параметрами: амплитудой , резонансной частотой колебаний и коэффициентом , который характеризует время переходного процесса (установления стационарных колебаний).
Амплитуда и фаза как полярные координаты на фазовой плоскости, вращающейся с угловой скоростью , определяются соотношениями
,
,
Причем. Такие определения удовлетворяют точным уравнениям
; .(3.22)
Замечая, что
и подставляя выражения для и в (3.22), получаем
,
.(3.23)
Здесь обозначили и приняли, что
,
а также пренебрегли членами с двойной частотой. В частности, если положить , то из (3.23) следует , , поскольку и не могут одновременно обратиться в нуль при . Это подтверждает ранее сделанное заявление, что - амплитуда свободных нелинейных колебаний.
Подставляя в (3.23) выражения и, получаем уравнения для фазы и амплитуды
(3.24)
Дифференциальное уравнение дляаналогично уравнению ФАПI порядка при синусоидальной характеристике фазового детектора, когда
, ,
а шум отсутствует. Когда, генератор захвачен по фазе, или синхронизирован входным сигналом. После того, как это произошло, можно рассматривать генератор как синхронизированный по фазе регенеративный приемник. Этот пример позволяет также иллюстрировать принцип действия захваченного автогенератора [7] и показывает, как можно повысить стабильность частоты генератора, воздействуя на него напряжением от второго генератора, хотя бы и менее мощного, но обладающего более высокой стабильностью частоты. Причинами нестабильности частоты являются флуктуации тока и напряжения в различных элементах автогенератора, например дробовой шум анодного тока, тепловые эффекты, нестабильность источника питания или внешние помехи. Все эти флуктуации могут быть учтены введением шумового источника в цепь сетки и уточнением рабочих уравнений.
Представляет далее интерес изложить вкратце работы Андронова и Витта [8, 9], так как они дают прекрасный пример приложения теории особых точек дифференциальных уравнений первого порядка к задаче синхронизации.
Введя в (3.23) безразмерные координаты и время
; ; ; ,(3.25)
получаем систему
;
,(3.26)
Где
и .
Исключив в (3.26) время , имеем дифференциальное уравнение первого порядка
.(3.27)
Особые точки расположены там, где и обращаются в нуль:
; . (3.28)
Выражая отсюда и через и и подставляя в , приходим к соотношению
,(3.29)
которое было получено Ван дер Полем другим методом. Заметим, что в новых переменных и выходное колебание приобретает вид
,(3.30)
так что для каждой частоты биений (для каждого ) и каждого уравнение (3.29) определяет через амплитуды и . По аналогии с резонансным усилителем эти кривые иногда называют резонансными кривыми автогенератора с захватыванием.
Ван дер Поль идет дальше и показывает, что условия для захвата (синхронизации) автоколебаний задаются соотношениями
; .(3.31)
.4 Колебания