Нелинейные колебания и синхронизация колебаний
Курсовой проект - Физика
Другие курсовые по предмету Физика
сли предположить, что мало, так что уравнение (2.2) можно линеаризовать (т. е. ), тогда, чтобы применить линейную теорию, (2.2) можно заменить на
, . (2.3)
Из предыдущего обсуждения случая , вытекает, что это уравнение соответствует периодическому движению с периодом ; таким образом, период не зависит от начальной скорости и начального отклонения. При больших отклонениях уравнение (2.3) несправедливо и необходимо обращаться к другим методам анализа.
Первый интеграл уравнения нелинейной консервативной системы можно легко получить, так как подстановка
(2.4)
сводит (2.2) к дифференциальному уравнению первого порядка, из которого исключено время:
,(2.5)
а переменные разделяются, т.е.
.(2.6)
Если при имеем , то интегрирование обеих частей дает
,(2.7)
что выражает закон сохранения энергии. Левая часть этого равенства представляет изменение кинетической энергии; правая часть - работу, выполненную восстанавливающей силой, или изменение потенциальной энергии. Согласно (2.7) имеем
.(2.8)
Разделяя переменные и интегрируя вторично, можно найти время как функцию отклонения:
.(2.9)
Необходимо понимать, что следует переходить с одной ветви квадратного корня на другую, когда проходит через нуль. Кривые, задаваемые (2.7), проходят на плоскости , через точку с координатами , и представляют собой кривые постоянной энергии; часто их называют кривыми энергии на фазовой плоскости. Как увидим впоследствии, отсюда довольно легко получить важную информацию об основных качественных сторонах движения. Поскольку и функции , кривые на плоскости , можно рассматривать как заданные в параметрической форме св качестве параметра. Тогда из того, что , следует, что возрастает с , когда положительна, и убывает с , когда отрицательна.
Замкнутые кривые энергии соответствуют периодическим колебаниям , где период - время, необходимое для того, чтобы достичь прежних значений отклонения и скорости .Период можно вычислить при помощи линейного интеграла
,(2.10)
взятого вдоль замкнутых кривых энергии в положительном направлении .
Например, рассмотрим случай линейной функции , т. е. . Дифференциальное уравнение кривых энергии (m = 1)
.(2.11)
откуда
,(2.12)
где и - начальные значения при . Все кривые энергии для -эллипсы, и, следовательно, каждое движение периодично (рис. 2.1). Из предыдущего раздела известно, что это соответствует простому гармоническому движению с и
,(2.13)
где и . Это предполагает начальные условия (при ). Период колебаний согласно (2.10)
. (2.14)
Отметим, что в этом линейном случае период колебаний не зависит от амплитуды , так что обход любой замкнутой кривой энергии, представляющей решение на фазовой плоскости, совершается за одно и то же время. Если , кривые энергии превращаются в гиперболы и никаких периодических колебаний не существует.
Рис. 2.1 Фазовые портреты простого гармонического движения
В качестве второго примера рассмотрим маятник, поскольку его поведение аналогично поведению системы фазовой автоподстройки с идеальным интегратором: , работающей в отсутствие шума [см. (2.12)].
Рис. 2.2. Фазовые портреты математического маятника
Дифференциальное уравнение фазовых траекторий (2.2) принимает вид
,(2.15)
а кривые энергии определяются равенствами
,(2.16)
где константа представляет полную энергию системы.
Кривые энергии иллюстрируются рис. 2.2. Мы видим, что необходимо потребовать , так как иначе будет всегда отрицательным. Когда , из (2.16) следует, что эти кривые - замкнутые и центрированные относительно точек ,( - любое целое число). В указанных случаях амплитуду находят из соотношения
,
а период колебаний определяется равенством
.(2.17)
Если ввести новую переменную интегрирования
и использовать связь между и , из (2.17) можно найти
.(2.18)
Отметим, что увеличивается вместе с амплитудой (следствие нелинейности; в линейной области период от не зависит) и определяется полным эллиптическим интегралом I рода.
Когда полная энергия , замечаем из (2.16), что скорость никогда не становится нулевой; кривыепри этом разомкнуты (рис. 2.2). В верхней полуплоскости движение изображающей точки , происходит слева направо, а в нижней полуплоскости оно совершается справа налево. Граница перехода (проведена более жирной линией), т. е. переход от разомкнутых к замкнутым кривым, возникающая при , определяется из (2.16) соотношением . Иногда эту траекторию называют сепаратриссой.
Физическая интерпретация этих фактов вполне ясна. Маятник либо колеблется (фазовая ошибка меняется по гармоническому закону) вокруг его наинизшего положения () и кривые энергии замкнуты, либо ему придана настолько высокая начальная скорость, что он вращается все время в одном и том же направлении (по часовой стрелке в верхней полуплоскости и против часовой - в нижней) относительно точки подвеса. В последнем случае угловое отклонение неограниченно увеличивается или уменьшается с ростом времени, а угловая скорость периодически изменяется относительно некоторой средней величины. Легко показать, что время, необходимое для того, чтобы с нулевой скоростью достичь наивысшей точки ( - нечетное), равно бесконечност