Нелинейные колебания и синхронизация колебаний
Курсовой проект - Физика
Другие курсовые по предмету Физика
?ии напряжения на сетке и анодного напряжения , поэтому можно написать
,(3.5)
где
,(3.6)
причем - константа, определяемая коэффициентом усиления лампы. Функциюиногда называют характеристикой лампы, и она, вообще говоря, существенно нелинейна.
На основании (3.3) - (3.6) можно написать
,(3.7)
и из (3.5) следует, что (3.7) - нелинейное дифференциальное уравнение, в котором нелинейность связана с первой производной. Если ввести новую зависимую переменную
,(3.8)
то (3.2) переходит в
,(3.9)
где и,
.(3.10)
Предположим далее, что . Без этого условия, как впоследствии увидим, незатухающие колебания были бы невозможны. Важно также иметь возможность подобрать характеристику лампы и установить параметры схемы так, чтобы для , но для больших . Это означает, что трение отрицательно для малых , так что на основе наших предыдущих рассуждений можно было бы ожидать, что амплитуда будет возрастать. Однако при больших система рассеивает энергию, и поэтому можно ожидать, что амплитуда должна быть ограничена сверху. Следовательно, после окончания переходного процесса, вероятно, установятся колебания определенной амплитуды.
Первоначальные исследования, посвященные решениям уравнения (3.9), принадлежат Ван дер Полю [5], который предпочитал работать с эквивалентным уравнением для. Подставляя и дифференцируя (3.9) по , получаем
,(3.11)
где . Если характеристика лампы такова, что принадлежит к типу, изображенному на рис. 3.2 - а, то имеет вид, показанный на рис. 3.2 - б. Для малых , а для больших , что указывает на возможность существования незатухающих колебаний.
Рис. 3.2 Характеристики схемы с обратной связью
Чтобы исследовать переходный процесс в системе (3.9), аппроксимируем отрезками прямых (рис. 3.3). Тогда можно искать приближенное решение нелинейного дифференциального уравнения на каждом из отрезков и . Запишем (3.9) как систему двух уравнений:
,(3.12)
где - скорость изменения, и предположим , т.е. . Из (3.12) следует
.(3.13)
Рис. 3.3 Кусочно-линейная аппроксимация нелинейного трения
Если построить решенияуравнения (3.13) на фазовой плоскости , возникает семейство кривых, которое определяет переходный процесс в системе для любых комбинаций начального положения и скорости .
Если бы трение было равно нулю, можно было бы непосредственно интегрировать предыдущее уравнение, что привело бы к уравнению для энергии вида , где - постоянная интегрирования. На фазовой плоскости это решение образует набор окружностей (см. рис. 2.1) для различных . Если подставить решение в уравнения, получается привычный результат и , т. е. простое гармоническое движение. Если же добавить положительное трение, тотраектории будут накручиваться по спирали на начало координат.
Для полигональной функции трения (рис. 3.3) можно сшить на фазовой плоскости спирали, соответствующие трем линейным отрезкам . В каждой из трех областей строятся соответствующие траектории и соединяются на границах (рис. 3.4). В центральной области спиральные траектории раскручиваются; в верхней и нижней областях они скручиваются.
При некоторой промежуточной амплитуде имеется замкнутая кривая, которая не скручивается и не раскручивается. Все другие траектории стремятся к этому предельному циклу, который отображает стабильное периодическое колебание, осуществляемое системой самостоятельно.
Рис. 3.4 Фазовые траектории нелинейного генератора, включающие предельный цикл
Этот пример позволяет проиллюстрировать поведение простой нелинейной системы.
Конечно, если усложнить нелинейную функцию , можно ожидать, что получатся более сложные фазовые портреты. Одним из первых, кто исследовал поведение таких нелинейных систем, был Пуанкаре [4], работы которого были столь всеобъемлющи, что составили основу почти всего, что было сделано позднее.
Предельные циклы можно разделить на устойчивые, неустойчивые и нейтральные. Устойчивый предельный цикл - вид периодического колебания, которое после воздействия возмущения возвращается к своему первоначальному состоянию. Колебание, соответствующее неустойчивому предельному циклу, никогда не возвращается к своему первоначальному виду после произвольно малого возмущения. Нейтральный предельный цикл зависит только от начальных условий, и любое возмущение изменяет его пропорционально величине возмущения. Фактически возмущения можно рассматривать как новые начальные условия; маятник без трения, который сохраняет информацию о протекании процесса в прошлом, служит здесь примером. Устойчивые предельные циклы иногда классифицируются как жесткие и мягкие.
.1 Качественный анализ уравнения Ван дер Поля
Если положить в (3.11) и , получаем одну из форм уравнения Ван дер Поля
.(3.14)
Особенность этого уравнения состоит в том, что, когда мало, трение отрицательно; оно становится положительным при больших . С помощью компьютерной техники можно построить семейство траекторий уравнения Ван дер Поля на фазовой плоскости (фазовый портрет). На рис. 3.5 приведен типичный фазовый портрет для различных значений . Обсудим, что происходит при изменении . Вблизи начала координат фазовые траектории имеют форму логарифмических спиралей, однако вместо того, чтобы уходить в бесконечность, они сходятся к зам?/p>