Нелинейные колебания и синхронизация колебаний
Курсовой проект - Физика
Другие курсовые по предмету Физика
?нутой кривой. Траектории, начинающиеся в бесконечности, стремятся к той же самой замкнутой кривой (предельному циклу), которая изображает периодическое движение с постоянной амплитудой.
Рис. 3.5 Фазовые портреты генератора Ван дер Поля при различных значениях параметра x
Для малых , например, предельный цикл только слегка отличается от эллипса рис. 3.5 - а, что указывает на синусоидальность колебаний; однако его форма меняется весьма резко с ростом - рис. 3.5 - б. Соответствующие графики, изображающие установление во времени амплитуды колебаний , растущих к предельному циклу, показаны на рис. 3.6. Видно, что при движение плавное и оченьблизко к синусоидальному.
Рис. 3.6 Изменение характера колебаний с ростом нелинейности
При (рис. 3.5 - в) колебание состоит из резких переходов между амплитудами противоположного знака; по этой причине Ван дер Поль назвал данный тип движения релаксационным колебанием. Он использовал его, чтобы объяснить работу сердца. Заслуживает внимания, что увеличение нелинейного трения (рост коэффициента ) не только вызывает переход от синусоидальных колебаний к релаксационным, но и понижает частоту первых. Это полная противоположность случаю свободных колебаний линейной системы, обсуждавшемуся ранее.
Устойчивость автоколебательного типа движения можно исследовать методом уравнений для вариаций. Можно показать, что движение, соответствующее периодическому решению , устойчиво, если линейный интеграл
,(3.15)
где определено (3.11).
Теория колебаний при нелинейном трении, обзор которой дан в этом разделе, имеет важные применения в технике связи.Кроме того, известно, что различные биологические процессы хорошо описываются уравнениями, подобными (3.11). Физиологическая реакция некоторых групп людей на изменение деловой обстановки вне всякого сомнения демонстрирует определенную аналогию с поведением генераторов незатухающих колебаний. Релаксационные колебания встречаются не только в электронике и биологии, но и в экономике. Например, крах на фондовой бирже - это релаксационное колебание, один его цикл. Релаксационное колебание характеризуется длинными интервалами спокойствия, за которыми следует внезапное, иногда катастрофическое изменение в течение очень короткого интервала времени.
Релаксационное колебание служит также исключительно удачным примером для иллюстрации механизма фазовой синхронизации. Изменяя степень нелинейности (изменяя ), можно изменить частоту генератора. Прикладывая внешний сигнал, можно изменить фазу и частоту релаксационных колебаний до уровня, где происходит их привязка к фазе и частоте внешнего сигнала.
Подведем итог, отметив, что было изучено два крайних типа колебаний: синусоидальныеи релаксационные. Как мы видели, синусоидальное колебание имеет плавное, непрерывное течение процесса, связанного с обменом энергией между двумя ее резервуарами. Комбинация из пружины и массы периодически обменивает потенциальную и кинетическую энергию. В генераторе существует обмен энергией между емкостью и индуктивностью.
При релаксационных колебаниях нет двух взаимно переключающихся резервуаров энергии. Имеется единственный накопитель энергии, который постепенно наполняется. Когда резервуар заполняется до определенного уровня, открывается выходной клапан, через который резервуар опорожняется, после чего снова начинается заполнение. При синусоидальных колебаниях сигнал, поступающий через цепь обратной связи, подталкивает генератор непрерывно, предохраняя колебания от затухания, подобно тому, как подталкивают качели с ребенком. Напротив, при релаксационном колебании нет резонансной частоты, но зато имеется пороговый эффект. Когда достигается порог, резервуар опорожняется, хотя источник, который наполняет его, продолжает действовать. Такое положение возникает при работе сердца.
.2 Связанные нелинейные колебания, регенеративный приемник с привязкой по фазе и принцип синхронизации
Рассмотрим различные аспекты влияния нелинейности на процессы в резонансных системах. Интерес здесь представляет в первую очередь случай, когда благодаря нелинейности в системе могут поддерживаться незатухающие колебания, что обсуждалось в предыдущем параграфе. Вопрос состоит в том, что происходит, когда такая система подвергается воздействию внешнего сигнала, имеющего частоту, близкую к резонансной частоте системы. Вместо того чтобы рассматривать случай наложения внешнего сигнала, можно спросить, что происходит, когда два нелинейных генератора, настроенных на близкие частоты, взаимно связываются. Ответ на эти весьма сложные вопросы дает принцип синхронизации, захватывания или фазовой синхронизации.
Явление синхронизации было среди первых изученных нелинейных явлений. Оно, как мы увидим, легко возникает в электронных схемах, где есть резонансный контур с частотой собственных колебаний . Если прикладывается посторонний сигнал частоты , возникают биения двух частот, т. е. появляется колебание частоты. Если приближается к , частота биений понижается; но так происходит только до определенного значения , после которого биения внезапно исчезают и остается только частота . Все происходит так, как если бы свободные колебания с частотой были захвачены приложенным сигналом с частотой .
Первым, кто наблюдал это явление на двух настенных часах, был Гюйгенс (1629 -1695). Эти эффекты в электрических цепях заново были открыты более д